5 exercices pour OShine

Bon OShine, je le fais maintenant car sinon, je risque de repousser. Comme promis, je te donne une preuve que tu vas comprendre en y mettant un peu de langue française. Et je te commente les preuves déjà données (dont la version française que je te donne est + ou - un mix; de Ex70).

L'argument clé de départ est que tu peux ajouter l'hypothèse que $T$ est fini, et ça, je ne vais pas en parler maintenant.

1/ Soit $E$ la réunion des éléments de $T$. Il est dans $T$ et son cardinal est impair. En outre $\forall X\in T: X\subset E$.

2/ Au lieu d'étudier $T$, on va étudier $W$ l'ensemble des $E\setminus X$ quand $X$ parcourt $T$. J'espère que tu comprends jusque là.

3/ Les éléments de $W$ ont tous un cardinal PAIR. De plus, l'intersection de deux éléments de $W$ est un élément de $W$ (ça va? Prends le temps)

4/ Je mets dans une liste TOUS les éléments de $W$ et je la note $A_1,..,A_n$.

5/ Mon objectif maintenant (même si c'est déjà évident pour beaucoup de gens) est de prouver que $A_1\cup \dots A_n$ a un cardinal pair. Comme $E$ est impair, j'aurai alors gagné car obtenu un élément de $E$ qui n'est dans aucun élément de $W$, donc dans tous les éléments de $T$.

6/ Au lieu de travailler dans $\Z$, on va travailler dans $F_2$. Je te rappelle que $F_2:=\Z/2\Z$. C'est un corps qui a deux éléments, qui sont $Pairs$ et $Impairs$ doté des opérations $Pairs+Impairs = Impairs; etc$ (par exemple $Impairs\times Impairs = Impairs$). Mais les gens ont pris l'habitude de préférer noter comme suit $(0,1):=(Pairs, Impairs)$

7/ Les opérations d'intersection et de réunions "passent au quotitent" (tu n'as pas besoin de comprendre cette phrase, je l'écris juste pour te dire que c'est le post de Raoul juste précédant). Dans $F_2$, en notant $\forall X\ [f(X):=\pi(card(X))]$, tu as :

$$\forall X,Y\ finis : \ f(X\cup Y) = f(X)+f(Y) + f(X\cap Y)$$

en notant $\pi : n\mapsto $ if $n$ pair then $0$ else $1$ (autrement dit, le reste modulo 2 de $n$ divisé par $2$)



8/ Ca ressemble à la formule des classes de 4e-3e-2nde, mais dans $F_2$, tu as $- 1 = + 1$, donc c'est plus cool.

9/ Rappelle-toi que $\forall X\in W : \ f(X)=0$.

10/ Il s'en suit que pour calculer la réunion des éléments de $W$ tu vas juste faire des additions des divers images par $f$ d'éléments de $W$, donc additionner des $0$. En conclusion tu auras donc :

$$ f(A_1)\cup ..,\cup A_n) = 0 $$

11/ qui en français dit que la réunion des éléments de $W$ a un cardinal qui est pair.


Je commente et te ré-écris la preuve à laquelle tous les intervenants avaient pensé quand j'ai posté l'exercice pour la première fois.

1/ On peut supposer que $T$ est fini (toujours la même chose que je te laisse méditer sans la justifier)

2/ On a la formule

$$ card(A_1\cap \dots \cap A_{n+1}) + card([A_1 \cap \dots \cap A_n] \cup A_{n+1} ) = card(A_1\cap \dots \cap A_{n}) + card(A_{n+1}) $$

que je vais profiler par $But + Chaud = impair + impair$, en vue d'envisager une récurrence.

3/ L'hypothèse de récurrence, que je n'écris pas encore, permettra de conclure le but est impair, après avoir prouvé que Chaud est impair, SACHANT sans rien faire, juste par hypothèse de récurrence ce qu'on a à droite du signe $=$.

4/ Regarde bien "Chaud". C'est un ensemble compliqué. MAIS ZEN FÊTE, c'est

$$card( (A_1\cup A_{n+1}) \cap (A_2\cup A_{n+1}) \cap \dots \cap (A_n\cup A_{n+1}) ) $$

qui intersecte $n$ (je dis bien $n$ et non pas $n+1$) éléments de $T$.

5/ Voilà ce que tu obtiens avec 2+3+4:

6/ Soit $R(n)$ l'énoncé $<<$ n'importe quelle liste de $n$ éléments de $T$ a un cardinal impair$>>$. On peut prouver (2+3+4) que:

$$\forall n\in \N^* : R(n) \Rightarrow R(n+1)$$

7/ Il te reste donc à vérifier $R(1)$ (ce qui est normalement à ta portée) pour CONCLURE sans autre justification que

$$ \forall n\in \N^*: R(n)$$

@JLT merci je m'en vais corriger ça.

Correction du 72

Comme signalé par certains intervnants, c'est trivial (à cause d'un oubli de ma part). Prendre $f:=identite$.

Pour éviter de modifier sans cesse le premier post, je mets le 77 ici et mets un lien seulement dans le premier post.

Exercice77: soit $g$ une application de $[0,1]\to [0,1]$. On suppose que pour toute application $f$ de $[0,1]\to [0,1]$ qui est limite simple d'une suite de fonctions continues, il existe $a\in [0,1]$ tel que $g(f(a)) = a$.

Prouve que $g$ est continue

Pour les curieux, je rappelle l'axiome AD.

Pour toute partie $X$ de $[0,1]^2$, il existe une application $f$ de [0,1]\to [0,1]$ continue sur $\R\setminus \D$ telle que (1) ou (2), avec:

(1) $f\subset A$

(2) $\forall x: (f(x),x)\notin A$

Cet axiome est fort et incompatible avec l'axiome du choix. Je vous épargne les Lipschitz-possibilités

J'en ai extrait une "friandise pour OS" en prenant une application quelconque $g$ pour $A$ et en hypothèsant non(2).

@rescassol et Cyrano, j'ai numéroté vos exercices. Merci.

Exercice numéro 81.

Quelques notations: $J:= [0,1]$; $K:= J^2$

$C :=$ ensemble des applications continues de $J$ dans $J$

$D:= $ ensemble des applications continues de $K$ dans $K$

$T$ est une bijection de $C$ dans $D$

$W$ est une bijection de $J$ dans $K$

Prouve l'existence de $f$ dans $C$ et $a$ dans $J$ tel que:

$$ T(f) (W(a)) \neq W(f(a)) $$