Super, tu as utilisé la calculatrice, bravo OS, t'es vraiment trop fort. Comme quoi, la nuit, tu fais rien de mieux que le jour, Batman enfin "Bad maths", je veux dire.
Oui, mais c'était la question $1$.
Maintenant, question $2$, sans la calculatrice, et bien sûr sans faire la moindre multiplication dépassant les deux chiffres.
Exercice 85 : l'on pose $x=12^6, y=6^8, z=2^{11}\times 3^7$. Montrer que $x^x\times y^y=z^z$
avec la possibilité d'utiliser une calculatrice ;
sans utiliser de calculatrice, et (bien sûr) sans faire la moindre multiplication dépassant les deux chiffres.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Poirot l'exercice 89 montre ma difficulté à manipuler les éléments de $\mathcal L(E)$ et à lier des éléments de $L(E)$ avec des éléments de $E$, c'est exactement le même problème que j'ai eu sur l'exo de mon livre sur lequel je bloque depuis 5 jours.
Pour compléter ce que dit Poirot : pour le sens direct, c'est juste un jeu de réécriture, c'est-à-dire ce que tu as certainement fait pour traduire/reformuler ton énoncé. Il n'y a pas vraiment de "manipulation" d'éléments de $\mathcal{L}(E)$.
Que signifie "$(x,u(x),\dots,u^{(n-1)}(x))$ est libre" ?
Que signifie "$(Id,u,\dots,u^{(n-1)})$ est libre" ?
c'est exactement le même problème que j'ai eu sur l'exo
Arrête de mentir et de te mentir éventuellement à toi-même, en parlant de problème. Tu aurais dû écrire:
c'est exactement le même refus que j'ai eu sur l'exo
Tu n'es ni le premier, ni le dernier, ni rare dans ce refus qui s'accompagne d'un rêve: celui de découvrir comment faire des maths sans avoir à lire les $\forall$ et les $\exists$.
Et bien, je te le redis une 13561e fois, la personne qui trouvera ça aura un prix Nobel, une médaille Field, sera milliardaire et sauvera le monde.
En maths si tu refuses de prendre en compte les quantificateurs à peu près toutes les phrases disent la même chose. Mais bon, continue dans ton obstination et tes évitements, après tout, peut-être qu'au bout de 250000 posts, tu sauveras le monde.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
$(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre si et seulement si $\exists (a_0,a_1, \ldots, a_{n-1})$ tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k = 0_{L(E)} \implies \forall k \in [|0,n-1|], \ a_k=0$
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k = 0_{L(E)}$ est une combinaison linéaire des endomorphismes $id_E$, $u$, $u^2$, etc $u^{n-1}$ qui vaut l'endomorphisme nul.
Mais va jusqu'au bout au lieu d'avancer pas à pas ! Qu'est-ce que ça veut dire que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k$ est l'endomorphisme nul ? Quel rapport avec la liberté d'une famille de la forme $(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x))$ ?
$(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre si et seulement si $\exists (a_0,a_1, \ldots, a_{n-1})$ tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k = 0_{L(E)} \implies \forall k \in [|0,n-1|], \ a_k=0$
Michael oui c'est faux ce que j'avais écrit. J'ai mis un "il existe" alors qu'il fallait mettre "pour tout".
La famille $(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre si tout combinaison linéaire égale à l'endomorphisme nul est telle que tous ses coefficients sont nuls.
Réciproque :
Supposons que la famille $(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre.
Supposons qu'il existe $x \in \R^n$ tel que $\forall (a_0,a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \R^n \ \ \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k(x)=0_E$.
Montrons que $\forall i \in [|0,n-1|] \ a_i=0$
Fixons $x$ et les $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$
Comme $u$ est diagonalisable, si on note $sp(u)=\{\lambda_1, \cdots, \lambda_r \}$ alors $E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^r E_{\lambda_i}$
Soit $x \in E$. Alors $x=x_1+x_2+ \cdots +x_r$ où $(x_1,x_2, \cdots, x_r) \in E_{\lambda_1} \times E_{\lambda_2} \times \cdots \times E_{\lambda_r}$
Donc $u(x)= \displaystyle\sum_{k=1}^r \lambda_i x_i$ puis $u^{n-1}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^r \lambda_i ^{n-1} x_i$ (Je n'ai pas abouti)
Il y a une perfection exceptionnelle dans ce que tu as écrit, qui est louche. Peu de mathématiciens rédigeraient de cette manière aussi "parfaite"**, en dehors des logiciens. Je continue de croire que ton jeu n'est pas très clair et que tu n'es pas si nul que tu veux le laisser paraitre.
** précision, il ne s'agit pas d'une critique des matheux non logiciens, juste une remarque sur la rareté de ce genre de process chez les non logiciens pros.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Il y a une perfection exceptionnelle dans ce que tu as écrit, qui est louche. Peu de mathématiciens rédigeraient de cette manière aussi "parfaite"**, en dehors des logiciens. Je continue de croire que ton jeu n'est pas très clair et que tu n'es pas si nul que tu veux le laisser paraitre.
C'est une rédaction banale de prof de prépa.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Je le redis, je ne voulais nullement critiquer. Je le "sens" à de petits détails, mais surtout je ne me fie pas qu'à CE POST que j'ai commenté où OS fait une production réussi.
Les "rédactions banales de profs de prepa" ne sont pas aussi "en moyenne" économes de RPA etc. Mais pour le voir il faut avoir une situation de spectateur sur le forum et ailleurs qui n'est pas forcément courante de toute façon, et je ne vais pas faire la liste de tout ce que j'ai vu en 14ans de forum :-D
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je lis : $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k(x)=0_E$. Vraiment ?
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
@OS : je lis : Supposons que la famille $(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ soit libre. Je te laisse maintenant trouver la bourde.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
Réponses
Oui, mais c'était la question $1$.
Maintenant, question $2$, sans la calculatrice, et bien sûr sans faire la moindre multiplication dépassant les deux chiffres.
Cordialement,
Rescassol
Exercice 85 : l'on pose $x=12^6, y=6^8, z=2^{11}\times 3^7$. Montrer que $x^x\times y^y=z^z$
Les nombres sont tous strictement positifs, cela revient à montrer que :
$z \ln(z)= x \ln(x)+y \ln(y)$
On a d'une part : $2^{11} \times 3^{7} \ln(2^{11} \times 3^{7})= \boxed{11 \times 2^{11} \times 3^{7} \ln(2) + 7 \times 2^{11} \times 3^{7} \ln(3)}$
D'autre part, $ x \ln(x)+y \ln(y)=6 \times 12^6 \ln(12)+8 \times 6^8 \ln(6)$
Or $\ln(12)=\ln(2^2 \times 3)=2 \ln(2)+\ln(3)$ et $\ln(6)=\ln(2)+\ln(3)$
Donc $x \ln(x)+y \ln(y)= 6 \times 12^6 ( 2 \ln(2)+\ln(3) )+8 \times 6^8 (\ln(2)+\ln(3))$
Soit $x \ln(x)+y \ln(y)=(12^7 + 8 \times 6^8) \ln(2)+(6 \times 12^6+8 \times 6^8) \ln(3)$
Or $12^7 + 8 \times 6^8=3^7 \times 2^{14}+ \times 2^{11} \times 3^8=2^{11} (8 \times 3^7 +3 \times 3^7)=2^{11} \times 11 \times 3^7$
De même $6 \times 12^6+8 \times 6^8=2 \times 3 \times 3^6 \times 2^{12}+2^3 \times 3^8 \times 2^8 =2^{11} (4 \times 3^7+3^8)=2^{11} \times 7 \times 3^7$
L'égalité est démontrée.
Solution: j'utilise le logarithme.
Très bonne idée!
Nahar je n'ai pas compris l'histoire de la multiplication qui dépasse deux chiffres.
Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb{R}^n$.
Montrer que:
\begin{equation}
(\exists x \in \mathbb{R}^n)\: \big((x, u(x),..., u^{n-1}(x)\big) \: \text{libre} \Longleftrightarrow (Id, u, u^2,..., u^{n-1}) \: \text{libre}
\end{equation} ...
Soit
\begin{array}{cccc}
f: & \mathbb{R}^3 &\longrightarrow &\mathbb{R}^3 \\
&(x,y,z) &\longmapsto& (x,0,y).
\end{array} 1) Déterminer le noyau et l’image de $f$.
2) Soit $E=\{(x,y,0), \: (x,y) \in \mathbb{R}^2\}$.
Trouver $f(E)$ et $f^{-1}(E)$.
3) $f$ est-il diagonalisable ?
...
Merci. Ces exercices 88 et 89 semblent adaptés à mon niveau je vais essayer de les chercher dans les 2-3 jours.
$Ker(f)= \{ (x,y,z) \in \R^3 \ \ | \ \ x=y=0 \} = \{ (0,0,z) \ | \ z \in \R \} =\boxed{ Vect(0,0,1)}$
Le théorème du rang nous donne que $Im(f)$ est un plan vectoriel.
$Im(f)= \{ (x,0,y) \ (x,y) \in \R^2 \} =\boxed{ Vect ( (1,0,0),(0,0,1) \} }$
Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb{R}^n$.
Montrer que: $\begin{equation} (\exists x \in \mathbb{R}^n)\: \big((x, u(x),..., u^{n-1}(x)\big) \: \text{libre} \Longleftrightarrow (Id, u, u^2,..., u^{n-1}) \: \text{libre} \end{equation} $
Si $(Id, u, u^2,..., u^{n-1})$ est libre, elle l'est pour tout $x \in \R^n$.
Réciproquement, si $(\exists x \in \mathbb{R}^n)\: \big((x, u(x),..., u^{n-1}(x)\big) \: \text{libre}$ alors ...
Je ne trouve pas d'idée pour utiliser la diagonalisation.
Peux-tu détailler un peu la preuve de cette affirmation ?
Pour le 89, c’est bon ! Je l’ai complété par deux questions qui permettent d’aborder la diagonalisation sur un exemple assez simple.
Pour le 88: il y a deux sens à traiter.
Je te laisse un peu chercher. Je rajouterai des indications.
...
@Df
Question $2$ :
$f(E)= \{ f(x,y,0) \ | \ (x,y) \in \R^2 \} =\{ (x,0,y) \ | \ (x,y) \in \R^2 \ \}=\boxed{ Im(f)}$
$f^{-1}(E)= \{ (x,y,z) \in \R^3 \ | \ \ y=0 \} = \{ (x,0,z) \ | \ (x,y) \in \R^2 \} = \boxed{ Vect( (1,0,0) ,(0,0,1) \} }$
Question $3$ :
Notons $B=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$.
On a $f(e_1)=e_1$ , $f(e_2)=e_3$ et $f(e_3)=0$
Notons $A=Mat_B(f)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
On trouve $\boxed{\chi_f(X)=X^2 (X-1)}$ donc $sp(A)=\{0,1 \}$
Le polynôme caractéristique est scindé sur $\R$. Le sous-espace propre associé à la valeur propre $0$ est $E_0 (A)=Vect(0,0,1)$.
C'est une droite vectorielle de dimension $1$, or $0$ est de multiplicité $2$ donc :
$\boxed{ \text{ f n'est pas diagonalisable }}$
Que signifie "$(x,u(x),\dots,u^{(n-1)}(x))$ est libre" ?
Que signifie "$(Id,u,\dots,u^{(n-1)})$ est libre" ?
$(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est libre si et seulement si $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k u^k(x)=0_E \implies a_0=a_1= \cdots = a_{n-1}=a_n=0$
$(id,u, \cdots, u^{n-1})$ est libre si et seulement si $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k u^k=0_{L(E)} \implies a_0=a_1= \cdots = a_{n-1}=a_n=0$
Continuons la traduction : que signifie $\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k u^k=0_{L(E)}}$ ?
Arrête de mentir et de te mentir éventuellement à toi-même, en parlant de problème. Tu aurais dû écrire:
Tu n'es ni le premier, ni le dernier, ni rare dans ce refus qui s'accompagne d'un rêve: celui de découvrir comment faire des maths sans avoir à lire les $\forall$ et les $\exists$.
Et bien, je te le redis une 13561e fois, la personne qui trouvera ça aura un prix Nobel, une médaille Field, sera milliardaire et sauvera le monde.
En maths si tu refuses de prendre en compte les quantificateurs à peu près toutes les phrases disent la même chose. Mais bon, continue dans ton obstination et tes évitements, après tout, peut-être qu'au bout de 250000 posts, tu sauveras le monde.
$(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre si et seulement si $\exists (a_0,a_1, \ldots, a_{n-1})$ tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k = 0_{L(E)} \implies \forall k \in [|0,n-1|], \ a_k=0$
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k = 0_{L(E)}$ est une combinaison linéaire des endomorphismes $id_E$, $u$, $u^2$, etc $u^{n-1}$ qui vaut l'endomorphisme nul.
Je n'ai pas compris la deuxième question de Michael.
Supposons que la famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ soit libre pour un certain $x \in \R$. Fixons ce $x$.
Posons $v=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_k u^k$. Supposons $v=0$.
Ainsi, $\forall y \in E \ v(y)=0$
Cela signifie que $\forall y \in E \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_k u^k(y)=0$ et en particulier $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_k u^k(x)=0$
La famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ étant libre, on en déduit $ \forall k \in [|0,n-1|] \ \ a_k =0$.
Donc la famille $(Id_E,u, \cdots, u^{n-1})$ est libre.
Je n'ai pas trouvé comment utiliser l'hypothèse de diagonalisation.
...
En revanche, ceci est faux :
@poirot
OK merci je vais chercher dans cette voie.
La famille $(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre si tout combinaison linéaire égale à l'endomorphisme nul est telle que tous ses coefficients sont nuls.
Réciproque :
Supposons que la famille $(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre.
Supposons qu'il existe $x \in \R^n$ tel que $\forall (a_0,a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \R^n \ \ \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k(x)=0_E$.
Montrons que $\forall i \in [|0,n-1|] \ a_i=0$
Fixons $x$ et les $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$
Comme $u$ est diagonalisable, si on note $sp(u)=\{\lambda_1, \cdots, \lambda_r \}$ alors $E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^r E_{\lambda_i}$
Soit $x \in E$. Alors $x=x_1+x_2+ \cdots +x_r$ où $(x_1,x_2, \cdots, x_r) \in E_{\lambda_1} \times E_{\lambda_2} \times \cdots \times E_{\lambda_r}$
Donc $u(x)= \displaystyle\sum_{k=1}^r \lambda_i x_i$ puis $u^{n-1}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^r \lambda_i ^{n-1} x_i$ (Je n'ai pas abouti)
Il y a une perfection exceptionnelle dans ce que tu as écrit, qui est louche. Peu de mathématiciens rédigeraient de cette manière aussi "parfaite"**, en dehors des logiciens. Je continue de croire que ton jeu n'est pas très clair et que tu n'es pas si nul que tu veux le laisser paraitre.
** précision, il ne s'agit pas d'une critique des matheux non logiciens, juste une remarque sur la rareté de ce genre de process chez les non logiciens pros.
Les "rédactions banales de profs de prepa" ne sont pas aussi "en moyenne" économes de RPA etc. Mais pour le voir il faut avoir une situation de spectateur sur le forum et ailleurs qui n'est pas forcément courante de toute façon, et je ne vais pas faire la liste de tout ce que j'ai vu en 14ans de forum :-D
Je suis à des années lumière du niveau des profs de prépa.
Je ne vois pas d'erreurs de quantificateurs dans mon dernier message.
Je lis : $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k(x)=0_E$. Vraiment ?
@Thierry
Oui pourquoi ?