Les "rédactions banales de profs de prepa" ne sont pas aussi "en moyenne" économes de RPA etc. Mais pour le voir il faut avoir une situation de spectateur sur le forum et ailleurs qui n'est pas forcément courante de toute façon, et je ne vais pas faire la liste de tout ce que j'ai vu en 14ans de forum
En fait si mais pour le voir il faut un peu connaître le programme de prépa et ce qui s'y passe.
C'est un exo de colle archi classique. j'avais une floppée de manuels d'avant 2000 à une époque, ils étaient farcis de ce genre de choses et leurs corrigés étaient rédigés comme ça (par qui? Pas par un noble logicien, ils ne sont pas assez nombreux; c'est sûrement encore un de ces vils mathématiciens qui croient que A->B=B->A).
il n'y a pas beaucoup de RPA parce qu'il n'y en a pas dans l'exo.
Après oui cette rédaction ressemble assez furieusement à celle d'un livre alors peut-être que notre ami OShine s'en est inspiré on ne sait pas.
OShine: il faut que tu arrêtes de demander de l'aide sinon tu ne t'en sortiras pas. Fais des exos deux fois plus faciles à la rigueur ou des énigmes de magazine ou pour enfants (tu as déjà demandé de l'aide sur du kangourou: il ne faut pas).
Dorénavant il ne faut plus que tu postes autre choses que des solutions complètes (ou des tentatives d'icelles). Et prends ton temps (pas besoin d'aller vite).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
ce problème m’a été posé au CNAM (mathématiques pour l’informatique, valeur B1), il y a de longues années. Mais il faut dire que notre prof puisait à sa source: les sujets des ENSI (École Nationale Supérieure d’Ingénieurs) devenu les concours communs Polytechnique (CCP) je crois.
J’ai relu la solution telle qu’on l’avait traitée en TD: le sens $\Longleftarrow$ ne me paraît pas si difficile finalement.
Tu me diras: c’est facile à dire quand on a la solution. C’est pas faux ! De toute façon, je pense que c’est tout à fait à ta portée.
Ce que tu peux faire, c’est attaquer directement le problème par les valeurs propres de $u$.
...
OS n'est pas dans la démarche de réécrire ou amalgamer divers thématiques, et je pense que c'est pluss par refus que par difficulté. Il exige "qu'on paie" en provoquant ces guidages en quelque sorte, à savoir que ce soit d'autres qui refilent les parties inspirées. Je ne sais pas si c'est conscient.
Mais je ne l'imagine même pas ACCEPTER (sans parler de trouver) les solutions (que j'imagine, il y a peut-être des façons déterministes de faire) à ce genre d'exo. Par exemple, à aucun moment il ne se servira du côité diagonalisable je pense, "par principe un peu idéologique" chez lui.
Quant à accepter qu'on lui fasse "l'outrance" d'évoquer des coefficients de polynômes qui seraient "aussi" des coefficients de liaison linéaire, idem, j'ai du mal à l'imaginer. Il y a une "attente" que d'autres le fassent je pense. Pas seulement un manque d'inspiration.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Et si on demande à Oshine de démontrer la réciproque dans un cas plus au moins claire. Oshine au lieu de supposer u diagonalisable, tu supposes que u est nilpotent
(sauf étourderie :-D , je pense que ça marche )
Ajout : Pour t'aider sur la question de df ( elle n'est pas évidente) , car tu me rappelles mes débuts, lis bien ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,463712 et reviens avec une belle rédaction de la question df ( la réciproque )
Je n'ai rien dit de sensiblement accessible à OS. Je m'adressais aux gens qui connaissent ou devinent des solutions. Ca n'aide pas où très peu.
De mon téléphone
Si tu veux une vraie aide la voici:
Mets les choses clairement sous forme d'une matrice à analyser. Il y a une situation simple où tous les vecteurs vont donner du lié. Cette situation s'exprime en parlant des valeurs propres.
La réciproque est plus dure et ne te sera pas accessible car elle est culturelle, il fait connaître un truc par coeur que tu 'e connais pas sinon c'est dur.
Moi même n'est su ce truc et ne l'ai pas oublié que suite à un émerveillement : quand j'ai traduit l'interpolation polynomiale en termes matriciels et ai été ébloui que sans calculs kje puisse "voir" que "ya toujours des solutions donc déterminant non nul".
Pour faire venir l'inspiration les POLYNOMES ANNULATEURS PEUVENT T'AIDER mais maintenant que je t'ai raconté ça tu peux oublier.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Supposons $(Id, u, u^2,...,u^{n-1})$ linéairement indépendante.
Soient $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k$, les valeurs propres de $u$ distinctes $2$ à $2$. On a $k \leq n$.
Le polynôme $f(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_k)$ est unitaire donc non-nul.
$u$ étant diagonalisable:
\begin{equation}
\displaystyle f(u)=(u-\lambda_1Id)(u-\lambda_2Id)...(u-\lambda_kId)=0.
\end{equation}
Il s’agit d’un polynôme en $u$ de degré $k>n-1$. En effet, un indice $k \leq n-1$ et l’annulation de $f$ en $u$ prouveraient l’existence d’une dépendance linéaire non triviale entre $Id, u, u^2,..., u^k$ ce qui serait en contradiction avec l’hypothèse de liberté de la famille $(Id, u, u^2,..., u^{n-1})$.
Donc $k=n$ et $u$ a $n$ valeurs propres distinctes.
quand j'évoquais mon "émerveillement récent" (la surjectivite de la matrice de Vandermonde) c'est de ça que je voulais dire que OS ne le sait probablement pas par coeur.
@OS on peut voir qu'elle est surjective grâce au théorème d'interpolation polynomiale.
De plus autre "par coeur": surjectivite=> det non nul
Tout bien réfléchi c'était difficile pour toi, avouons le.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Christophe c oui difficile sans indication. Pourtant j'y ai réfléchi pendant 2 jours.
Je pense qu'avec 2 questions intermédiaires je l'aurais trouvé.
Je connais Vandermonde par cœur, j'ai fait plusieurs sujets de concours où on utilisait cette matrice, elle semble très importante en algèbre.
J'ai pensé à Vandermonde mais je n'ai pas trouvé le bon système de Cramer.
@Df d'accord merci. Je n'ai pas eu l'idée de poser $x=e_1+e_2+ \cdots +e_n$ ni l'idée de montrer que $k=n$. Ce sont les 2 points cruciaux ici.
Oshine écrivait @Df d'accord merci. Je n'ai pas eu l'idée de
poser $x=e_1+e_2+ \cdots +e_n$
Tu ne sais pas lire un fil avec attention, dommage. Le fil que je t'ai indiqué donne les ingrédients nécessaires pour monter une preuve .
1. Montre que la famille $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$.
2. Détermine la matrice de la famille de vecteurs $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ écrite dans la base précédente.
3. Conclus.
1) La famille $(e_1,e_2, \cdots, e_n)$ est une famille libre car c'est une famille de vecteurs propres. Elle contient $n$ éléments, c'est donc une base de $E$.
3) Une matrice est inversible si et seulement si sa transposée l'est. La matrice de vandermonde étant inversible car les $\lambda_i$ sont distincts, la matrice de la famille de vecteurs $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est donc libre.
J’ai un peu bâclé la fin de la démonstration: il était tard et je commençais à voir trouble !
Un résultat utile de la dernière partie est que si $(e_1, e_2,..., e_n)$ est une famille de vecteurs propres de $M$ associée à $n$ valeurs propres $\textbf{distinctes}$: $(\lambda_1,...,\lambda_n)$, alors la famille $(e_1, e_2,...,e_n)$ est libre. Démonstration par récurrence.
Bien sûr, le $x \in \mathbb{R}^n$ est choisi de manière à pouvoir exploiter ce fait.
...
Bonsoir, j’aimerais proposer un dernier exercice à OShine. Il m’a été inspiré par son fil « Valeur propre et équivalence ».
Il serait certainement profitable pour lui de s’y pencher… sans limite de temps !
Ce qui est intéressant, c’est qu’il y a trois (et peut-être plus) solutions au problème.
La première utilise un raisonnement ensembliste sur les spectres des applications concernées.
La deuxième est calculatoire (les définitions du cours et un produit de matrices par blocs).
La subtilité de la troisième m’échappe encore un peu et repose sur un argument de « densité ».
Exercice 90
Soient $\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)$, l’ensemble des applications linéaires de $\mathbf{R}^n$ dans lui-même et $(f,g) \in \big[\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\big]^2$.
Montrer que $f \circ g$ et $g\circ f$ ont les mêmes valeurs propres.
…
Df pour la 3 tu peux démontrer que si A et B sont inversibles, AB et BA ont le même polynôme caractéristique, après tu passes par densité de GLn(R) dans Mn(R)
Pardon pour mes retards et absences, je suis en montagne à regarder les Alpes suisses des sommets des Vosges, on les voit très bien, elles sont proches.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je maintiens à jour le premier post du fil avec les liens vers les exos. Je viens d'ajouter le 90, mais je n'ai pas dû MAJ pour les 88 et 89. Je reviendrai les chercher dans le fil et les indexer.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Une petite remarque sur l’exercice $88$: on sait que si un endomorphisme $E$ de $\mathbf{R}^n$ possède $n$ valeurs propres distinctes, il est diagonalisable. Mais l’inverse n’est pas vrai ! C’est ce qui m’a un peu bloqué quand je me suis (re)-plongé dans l’exercice.
Je donne juste un survol de la troisième solution. Il n’est pas du tout impossible que j’ai dit des c…ries car j’ai dû compléter les non-dits d’un corrigé très partiel.
N’hésitez pas à compléter ou à corriger ! D’autre part, il y a encore des passages que je n’arrive pas à justifier.
Le but est de démontrer que l’ensemble des matrices inversibles est dense dans $\mathscr{M}_n(\mathbf{R})$.
Une application linéaire $T: \mathbf{R}^n \longrightarrow \mathbf{R}^n$ a un vecteur propre $v$ associé à une valeur propre $\lambda$ si
\begin{equation}
Tv=\lambda v \Longleftrightarrow (T-\lambda)v=0
\end{equation}
Cela est vérifié si et seulement si $T-\lambda$ n’est pas inversible.
Posons $F_{\lambda}=F-\lambda I \:$ avec $\lambda \in \mathbf{R}$.
$F_{\lambda}$ est inversible pour une infinité de valeurs réelles. Si ce n’était pas le cas, l’ensemble $S_p(F)$ des valeurs propres de $F$ serait infini. Or son cardinal est inférieur ou égal à $n$.
Soient $F,G$ les matrices de $f,g$ dans la base canonique de $\mathbf{R}^n$.
Supposons donc $\lambda \notin S_p(F)$. On a $F^{-1}_{\lambda}(F_{\lambda}G-\lambda I_n)F_{\lambda}=GF_{\lambda}-\lambda I_n$ et $\det(F_{\lambda}G-\lambda I_n)=\det (GF_{\lambda}-\lambda I_n)$.
Pour $\lambda \in \mathbf{R}$, soit $u \xrightarrow{\varphi} \det[(F-uI_n)G-\lambda I_n]-\det[G(F-uI_n)-\lambda I_n]$.
Comme $u \notin S_p(F)$, $\varphi(u)=0$.
Mais ce polynôme $\varphi$ en $u$ est de degré inférieur ou égal à $n$. Je ne sais pas le justifier.
Comme il est annulé par une infinité de $u$, ce polynôme ne peut-être que le polynôme nul $\varphi \equiv 0$.
Je ne comprends pas non plus l’argument de densité qui permet de conclure le problème.
PS: S’il vous plaît, ne vendez pas la mèche pour les deux autres solutions.
Édit: première phrase corrigée suite à la remarque de Poirot.
..
Mais ce polynôme $\varphi$ en $u$ est de degré inférieur ou égal à $n$. Je ne sais pas le justifier.
C'est une différence de sommes de produits de $n$ termes constants ou linéaires en $u$ (voir la formule donnant le déterminant en fonction des coefficients de la matrice).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Pour l'argument de densité,il existe $D\subseteq \R^2$ dense tel que $det(FG-uG-\lambda I_n)=det(GF-uG-\lambda I_n)$ pour tous $(\lambda,u)\in D$ et comme les applications $x,y\in \R^2 \mapsto det(FG-xG-y I_n)$ et $x,y\in \R^2 \mapsto det(GF-xG-y I_n)$ sont continues (polynômes à plusieurs indéterminées) elles sont égales partout.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Ceci n’est pas un $n$-ième exercice de maths pour OShine mais un petit thème de réflexion autour d’un extrait de la RMS (date et auteur inconnue mais pour la date: probablement fin du dix-neuvième-début du vingtième.)
Cet extrait, je l’avais appelé: La petite bibliothèque d’un candidat. Il est comme l’écho lointain d’un conseil que OShine a déjà dû lire et entendre un bon millier de fois.
Il devrait servir de marque-page à tous les candidats quels que soient leurs niveaux !
Bonne soirée à tous et bonne continuation pour OShine.
…
Au temps pour moi ! Après une brève recherche sur le net, il apparaît que l’auteur de ces lignes parues dans les Nouvelles annales de mathématiques (1868) n’est autre que Joseph Bertrand !
…
Bon, afin de m'auto-contraindre, je poste une "promesse" (peu crédible) que je vais corriger dans les prochains jours les exos du premier post que je n'ai pas encore corrigé. Un autre fil s'est ouvert en aide à OS, mais (et je m'adresse à toi OS) tu ne dois pas négliger le présent fil.
Par exemple, tu n'as rien proposé pour l'exo 90, qui était une Lapalissade, ce qui montre que tu n'as pas d'estime pour la facilité introduite dans les exercices qui te sont donnés par d'autres dans le présent fil alors même qu'ils font l'effort de mettre des choses extrêmement faciles, non pas pour t'aider, mais pour tester si tu essaies (il suffit d'essayer pour les réussir).
Je te "pête" le 90 exprès pour te frustrer et te faire regretter de ne pas avoir cherché. Je ne le ferai pas pour les autres de même nature je ne corrigerai que les miens. Mais je t'invite avec force à vitre sentimentalement tes relations émotionnelles avec tes succès et tes échecs présents dans ces présents échanges. Arrête de mettre un bouclier et nous parler de "tes livres"
Pêtage du 90: (je te laisse un WLOG, et je crypte LEGEREMENT).
1/ C'est ok pour $0$ ($0$ est VP de AB ssi $0$ est VP de $BA$)
2/ Wlog, il suffit de prouver que c'est aussi vrai pour $1$ (exercice91 : justifier ce WLOG)
3/ Si $AB(u)=u$ et $u\neq 0$ alors $B(u)\neq 0$ et $BA (B(u)) = B(u)$
Je préviens tout auteur potentiel de Lapalissades données en exos à OS que je laisserai bien une semaine, mais m'accorderai le droit de corriger sans préavis sauf si un post des auteurs me l'interdit.
OShine: je te demande de regretter de ne pas l'avoir traité et de ne pas commenter à la "Thierry Rolland" ton échec
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
En fait si mais pour le voir il faut un peu connaître le programme de prépa et ce qui s'y passe.
C'est un exo de colle archi classique. j'avais une floppée de manuels d'avant 2000 à une époque, ils étaient farcis de ce genre de choses et leurs corrigés étaient rédigés comme ça (par qui? Pas par un noble logicien, ils ne sont pas assez nombreux; c'est sûrement encore un de ces vils mathématiciens qui croient que A->B=B->A).
il n'y a pas beaucoup de RPA parce qu'il n'y en a pas dans l'exo.
Après oui cette rédaction ressemble assez furieusement à celle d'un livre alors peut-être que notre ami OShine s'en est inspiré on ne sait pas.
OShine: il faut que tu arrêtes de demander de l'aide sinon tu ne t'en sortiras pas. Fais des exos deux fois plus faciles à la rigueur ou des énigmes de magazine ou pour enfants (tu as déjà demandé de l'aide sur du kangourou: il ne faut pas).
Dorénavant il ne faut plus que tu postes autre choses que des solutions complètes (ou des tentatives d'icelles). Et prends ton temps (pas besoin d'aller vite).
Si j'avais la solution j'aurais donné la réciproque. Or je ne l'ai pas trouvée.
ce problème m’a été posé au CNAM (mathématiques pour l’informatique, valeur B1), il y a de longues années. Mais il faut dire que notre prof puisait à sa source: les sujets des ENSI (École Nationale Supérieure d’Ingénieurs) devenu les concours communs Polytechnique (CCP) je crois.
J’ai relu la solution telle qu’on l’avait traitée en TD: le sens $\Longleftarrow$ ne me paraît pas si difficile finalement.
Tu me diras: c’est facile à dire quand on a la solution. C’est pas faux ! De toute façon, je pense que c’est tout à fait à ta portée.
Ce que tu peux faire, c’est attaquer directement le problème par les valeurs propres de $u$.
...
Mais je ne l'imagine même pas ACCEPTER (sans parler de trouver) les solutions (que j'imagine, il y a peut-être des façons déterministes de faire) à ce genre d'exo. Par exemple, à aucun moment il ne se servira du côité diagonalisable je pense, "par principe un peu idéologique" chez lui.
Quant à accepter qu'on lui fasse "l'outrance" d'évoquer des coefficients de polynômes qui seraient "aussi" des coefficients de liaison linéaire, idem, j'ai du mal à l'imaginer. Il y a une "attente" que d'autres le fassent je pense. Pas seulement un manque d'inspiration.
(sauf étourderie :-D , je pense que ça marche )
Ajout : Pour t'aider sur la question de df ( elle n'est pas évidente) , car tu me rappelles mes débuts, lis bien ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,463712 et reviens avec une belle rédaction de la question df ( la réciproque )
...
Je n'ai pas réussi à faire la question. Je n'ai pas trouvé l'idée.
De mon téléphone
Si tu veux une vraie aide la voici:
Mets les choses clairement sous forme d'une matrice à analyser. Il y a une situation simple où tous les vecteurs vont donner du lié. Cette situation s'exprime en parlant des valeurs propres.
La réciproque est plus dure et ne te sera pas accessible car elle est culturelle, il fait connaître un truc par coeur que tu 'e connais pas sinon c'est dur.
Moi même n'est su ce truc et ne l'ai pas oublié que suite à un émerveillement : quand j'ai traduit l'interpolation polynomiale en termes matriciels et ai été ébloui que sans calculs kje puisse "voir" que "ya toujours des solutions donc déterminant non nul".
Pour faire venir l'inspiration les POLYNOMES ANNULATEURS PEUVENT T'AIDER mais maintenant que je t'ai raconté ça tu peux oublier.
Quoi tu veux dire que la M@rine d'il y a 12 ans c'était toi (:D
ou Bouzar plutôt ?
Ce qui me chagrine c'est que OS ne voit pas que la partie 4 du fil cité est d'une aide précieuse.
Soient $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k$, les valeurs propres de $u$ distinctes $2$ à $2$. On a $k \leq n$.
Le polynôme $f(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)...(x-\lambda_k)$ est unitaire donc non-nul.
$u$ étant diagonalisable:
\begin{equation}
\displaystyle f(u)=(u-\lambda_1Id)(u-\lambda_2Id)...(u-\lambda_kId)=0.
\end{equation}
Il s’agit d’un polynôme en $u$ de degré $k>n-1$. En effet, un indice $k \leq n-1$ et l’annulation de $f$ en $u$ prouveraient l’existence d’une dépendance linéaire non triviale entre $Id, u, u^2,..., u^k$ ce qui serait en contradiction avec l’hypothèse de liberté de la famille $(Id, u, u^2,..., u^{n-1})$.
Donc $k=n$ et $u$ a $n$ valeurs propres distinctes.
Soit $(e_i)_{i \in \{1,...,n\}}$ tel que $u(e_i)=\lambda_ie_i$ et $e_i \neq 0 \:\: \forall i \in \{1,2,...,n\}$.
Posons $x=e_1+...+e_n$. On a
\[
\begin{pmatrix}
x\\
u(x)\\
\vdots\\
u^{n-1}(x)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & \dots & 1\\
\lambda_1 & \: & \lambda_n\\
\vdots & \: & \vdots\\
\lambda_1^{n-1} & \dots & \lambda_n^{n-1}
\end{pmatrix}\:
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
\vdots\\
e_n
\end{pmatrix}
\]
Or,
\[
\begin{vmatrix}
1& \dots & 1\\
\lambda_1 & \dots & \lambda_n\\
\vdots & \: & \vdots\\
\lambda_1^{n-1} & \dots & \lambda_n^{n-1}
\end{vmatrix}
=
\prod_{i<j}(\lambda_j-\lambda_i)\neq 0 \: \: \text{(déterminant de Vandermonde)}.
\]
Donc le système $(x, u(x),..., u^{n-1}(x))$ est libre.
...
quand j'évoquais mon "émerveillement récent" (la surjectivite de la matrice de Vandermonde) c'est de ça que je voulais dire que OS ne le sait probablement pas par coeur.
@OS on peut voir qu'elle est surjective grâce au théorème d'interpolation polynomiale.
De plus autre "par coeur": surjectivite=> det non nul
Tout bien réfléchi c'était difficile pour toi, avouons le.
Elle est marrante, la remarque de l'emm... sur le nom de Vandermonde, à la fin du fil mis en lien par Gebrane. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,463712,463914#msg-463914
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Je pense qu'avec 2 questions intermédiaires je l'aurais trouvé.
Je connais Vandermonde par cœur, j'ai fait plusieurs sujets de concours où on utilisait cette matrice, elle semble très importante en algèbre.
J'ai pensé à Vandermonde mais je n'ai pas trouvé le bon système de Cramer.
@Df d'accord merci. Je n'ai pas eu l'idée de poser $x=e_1+e_2+ \cdots +e_n$ ni l'idée de montrer que $k=n$. Ce sont les 2 points cruciaux ici.
poser $x=e_1+e_2+ \cdots +e_n$
Tu ne sais pas lire un fil avec attention, dommage. Le fil que je t'ai indiqué donne les ingrédients nécessaires pour monter une preuve .
Par contre je n'ai pas compris la toute fin, pourquoi si la matrice est inversible, pourquoi la famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est libre ?
J'ai relu mon cours sur les systèmes de Cramer mais je ne trouve rien.
2. Détermine la matrice de la famille de vecteurs $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ écrite dans la base précédente.
3. Conclus.
1) La famille $(e_1,e_2, \cdots, e_n)$ est une famille libre car c'est une famille de vecteurs propres. Elle contient $n$ éléments, c'est donc une base de $E$.
2) $M= \begin{pmatrix}
1 & \lambda_1 & \cdots & \lambda_1 ^{n-1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
1 & \lambda_n & \cdots & \lambda_n ^{n-1}
\end{pmatrix} =V^T$
3) Une matrice est inversible si et seulement si sa transposée l'est. La matrice de vandermonde étant inversible car les $\lambda_i$ sont distincts, la matrice de la famille de vecteurs $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est donc libre.
Un résultat utile de la dernière partie est que si $(e_1, e_2,..., e_n)$ est une famille de vecteurs propres de $M$ associée à $n$ valeurs propres $\textbf{distinctes}$: $(\lambda_1,...,\lambda_n)$, alors la famille $(e_1, e_2,...,e_n)$ est libre. Démonstration par récurrence.
Bien sûr, le $x \in \mathbb{R}^n$ est choisi de manière à pouvoir exploiter ce fait.
...
Il serait certainement profitable pour lui de s’y pencher… sans limite de temps !
Ce qui est intéressant, c’est qu’il y a trois (et peut-être plus) solutions au problème.
La première utilise un raisonnement ensembliste sur les spectres des applications concernées.
La deuxième est calculatoire (les définitions du cours et un produit de matrices par blocs).
La subtilité de la troisième m’échappe encore un peu et repose sur un argument de « densité ».
Exercice 90
Soient $\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)$, l’ensemble des applications linéaires de $\mathbf{R}^n$ dans lui-même et $(f,g) \in \big[\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\big]^2$.
Montrer que $f \circ g$ et $g\circ f$ ont les mêmes valeurs propres.
…
…
Je donne juste un survol de la troisième solution. Il n’est pas du tout impossible que j’ai dit des c…ries car j’ai dû compléter les non-dits d’un corrigé très partiel.
N’hésitez pas à compléter ou à corriger ! D’autre part, il y a encore des passages que je n’arrive pas à justifier.
Le but est de démontrer que l’ensemble des matrices inversibles est dense dans $\mathscr{M}_n(\mathbf{R})$.
Une application linéaire $T: \mathbf{R}^n \longrightarrow \mathbf{R}^n$ a un vecteur propre $v$ associé à une valeur propre $\lambda$ si
\begin{equation}
Tv=\lambda v \Longleftrightarrow (T-\lambda)v=0
\end{equation}
Cela est vérifié si et seulement si $T-\lambda$ n’est pas inversible.
Posons $F_{\lambda}=F-\lambda I \:$ avec $\lambda \in \mathbf{R}$.
$F_{\lambda}$ est inversible pour une infinité de valeurs réelles. Si ce n’était pas le cas, l’ensemble $S_p(F)$ des valeurs propres de $F$ serait infini. Or son cardinal est inférieur ou égal à $n$.
Soient $F,G$ les matrices de $f,g$ dans la base canonique de $\mathbf{R}^n$.
Supposons donc $\lambda \notin S_p(F)$. On a $F^{-1}_{\lambda}(F_{\lambda}G-\lambda I_n)F_{\lambda}=GF_{\lambda}-\lambda I_n$ et $\det(F_{\lambda}G-\lambda I_n)=\det (GF_{\lambda}-\lambda I_n)$.
Pour $\lambda \in \mathbf{R}$, soit $u \xrightarrow{\varphi} \det[(F-uI_n)G-\lambda I_n]-\det[G(F-uI_n)-\lambda I_n]$.
Comme $u \notin S_p(F)$, $\varphi(u)=0$.
Mais ce polynôme $\varphi$ en $u$ est de degré inférieur ou égal à $n$. Je ne sais pas le justifier.
Comme il est annulé par une infinité de $u$, ce polynôme ne peut-être que le polynôme nul $\varphi \equiv 0$.
Je ne comprends pas non plus l’argument de densité qui permet de conclure le problème.
PS: S’il vous plaît, ne vendez pas la mèche pour les deux autres solutions.
Édit: première phrase corrigée suite à la remarque de Poirot.
..
…
Est ce que l'identité possède $n$ valeurs propres distinctes ?
Cordialement,
Rescassol
Edit: Ok.
…
…
Ceci n’est pas un $n$-ième exercice de maths pour OShine mais un petit thème de réflexion autour d’un extrait de la RMS (date et auteur inconnue mais pour la date: probablement fin du dix-neuvième-début du vingtième.)
Cet extrait, je l’avais appelé: La petite bibliothèque d’un candidat. Il est comme l’écho lointain d’un conseil que OShine a déjà dû lire et entendre un bon millier de fois.
Il devrait servir de marque-page à tous les candidats quels que soient leurs niveaux !
Bonne soirée à tous et bonne continuation pour OShine.
…
…
Par exemple, tu n'as rien proposé pour l'exo 90, qui était une Lapalissade, ce qui montre que tu n'as pas d'estime pour la facilité introduite dans les exercices qui te sont donnés par d'autres dans le présent fil alors même qu'ils font l'effort de mettre des choses extrêmement faciles, non pas pour t'aider, mais pour tester si tu essaies (il suffit d'essayer pour les réussir).
Je te "pête" le 90 exprès pour te frustrer et te faire regretter de ne pas avoir cherché. Je ne le ferai pas pour les autres de même nature je ne corrigerai que les miens. Mais je t'invite avec force à vitre sentimentalement tes relations émotionnelles avec tes succès et tes échecs présents dans ces présents échanges. Arrête de mettre un bouclier et nous parler de "tes livres"
Pêtage du 90: (je te laisse un WLOG, et je crypte LEGEREMENT).
1/ C'est ok pour $0$ ($0$ est VP de AB ssi $0$ est VP de $BA$)
2/ Wlog, il suffit de prouver que c'est aussi vrai pour $1$ (exercice91 : justifier ce WLOG)
3/ Si $AB(u)=u$ et $u\neq 0$ alors $B(u)\neq 0$ et $BA (B(u)) = B(u)$
Je préviens tout auteur potentiel de Lapalissades données en exos à OS que je laisserai bien une semaine, mais m'accorderai le droit de corriger sans préavis sauf si un post des auteurs me l'interdit.
OShine: je te demande de regretter de ne pas l'avoir traité et de ne pas commenter à la "Thierry Rolland" ton échec
Soit $R\subset E^2$ avec $E:=M_n(K)$ tel que:
1/ $\forall (u,v)\in R: 1\in VP(u)\iff 1\in VP(v)$
2/ $\forall (u,v)\in R \forall (x,y)\in (K^*)^2: (xu,yv)\in R$
Soit $(u,v)\in R$. Prouver que $VP^*(u) = VP^*(u) $ où $\forall x: \ VP^*(x) := (VP(x))\setminus \{0\}$
Paix à son âme ! (Thierry Roland, pas OShine).
Je ne suis pas un grand footeux, mais quand même le "Put1 !" du 12 juillet 1998 valait son pesant de cacahuètes...
TR sous le coup de l'émotion, s'adressant à Zidane :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2248346,2248902#msg-2248902
TR s'adressant sur cnews à P.Ménès (merci Foys), qui vient de le contredire:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2248346,2248994#msg-2248994
TR expliquant aux auditeurs la magie quasi-surnaturelle avec laquelle Messi travers plusieurs murs de défense adverse.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2248346,2249710#msg-2249710
On écrit Pierre Ménès cela dit.
Un élève : " Msieur, ma calculette donne tan(89,9°) ~ 572,9
et tan(89,99°) ~ 5729,5
et tan(89,999°) ~57295,8
Comment ça se fait ? "
$\tan(\frac \pi 2 -\frac {2\pi} n 10^{-m}) \sim (\frac {2\pi} n 10^{-m})^{-1}$.
Énoncé incomplet: quand quoi tend vers quoi ?
Cordialement,
Rescassol