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5 exercices pour OShine

Envoyé par christophe c 
Re: 5 exercices pour OShine
07 mai 2021, 12:42
avatar
1. Montre que la famille $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$.
2. Détermine la matrice de la famille de vecteurs $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ écrite dans la base précédente.
3. Conclus.
Re: 5 exercices pour OShine
07 mai 2021, 12:43
avatar
règle number one, prends ton temps pour comprendre, si on essaie de comprendre les choses vite , on les oublie (aussi) vite

Signature: Je suis de passage .
Re: 5 exercices pour OShine
07 mai 2021, 19:33
D'accord merci. C'est plus clair comme ça.

1) La famille $(e_1,e_2, \cdots, e_n)$ est une famille libre car c'est une famille de vecteurs propres. Elle contient $n$ éléments, c'est donc une base de $E$.

2) $M= \begin{pmatrix}
1 & \lambda_1 & \cdots & \lambda_1 ^{n-1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
1 & \lambda_n & \cdots & \lambda_n ^{n-1}
\end{pmatrix} =V^T$

3) Une matrice est inversible si et seulement si sa transposée l'est. La matrice de vandermonde étant inversible car les $\lambda_i$ sont distincts, la matrice de la famille de vecteurs $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est donc libre.
Re: 5 exercices pour OShine
07 mai 2021, 23:20
avatar
Intéressant !

Citation
OS
La famille $(e_1,e_2, \cdots, e_n)$ est une famille libre car c'est une famille de vecteurs propres.

Signature: Je suis de passage .



Modifié 1 fois. Dernière modification le 08/05/2021 00:38 par AD.
df
Re: 5 exercices pour OShine
08 mai 2021, 00:32
J’ai un peu bâclé la fin de la démonstration: il était tard et je commençais à voir trouble !
Un résultat utile de la dernière partie est que si $(e_1, e_2,..., e_n)$ est une famille de vecteurs propres de $M$ associée à $n$ valeurs propres $\textbf{distinctes}$: $(\lambda_1,...,\lambda_n)$, alors la famille $(e_1, e_2,...,e_n)$ est libre. Démonstration par récurrence.
Bien sûr, le $x \in \mathbb{R}^n$ est choisi de manière à pouvoir exploiter ce fait.
...



Modifié 5 fois. Dernière modification le 08/05/2021 01:52 par df.
Re: 5 exercices pour OShine
08 mai 2021, 12:05
Oui j'ai vu ce résultat dans le mon livre merci.
df
Re: 5 exercices pour OShine
14 mai 2021, 23:33
Bonsoir, j’aimerais proposer un dernier exercice à OShine. Il m’a été inspiré par son fil « Valeur propre et équivalence ».
Il serait certainement profitable pour lui de s’y pencher… sans limite de temps !

Ce qui est intéressant, c’est qu’il y a trois (et peut-être plus) solutions au problème.
La première utilise un raisonnement ensembliste sur les spectres des applications concernées.
La deuxième est calculatoire (les définitions du cours et un produit de matrices par blocs).
La subtilité de la troisième m’échappe encore un peu et repose sur un argument de « densité ».

Exercice 90

Soient $\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)$, l’ensemble des applications linéaires de $\mathbf{R}^n$ dans lui-même et $(f,g) \in \big[\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\big]^2$.
Montrer que $f \circ g$ et $g\circ f$ ont les mêmes valeurs propres.
Re: 5 exercices pour OShine
15 mai 2021, 00:20
avatar
Df pour la 3 tu peux démontrer que si A et B sont inversibles, AB et BA ont le même polynôme caractéristique, après tu passes par densité de GLn(R) dans Mn(R)

Signature: Je suis de passage .
Re: 5 exercices pour OShine
15 mai 2021, 11:06
Pardon pour mes retards et absences, je suis en montagne à regarder les Alpes suisses des sommets des Vosges, on les voit très bien, elles sont proches.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 15/05/2021 13:54 par AD.
Re: 5 exercices pour OShine
15 mai 2021, 11:09
Je maintiens à jour le premier post du fil avec les liens vers les exos. Je viens d'ajouter le 90, mais je n'ai pas dû MAJ pour les 88 et 89. Je reviendrai les chercher dans le fil et les indexer.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: 5 exercices pour OShine
15 mai 2021, 23:11
avatar
Df je pense que tu n'as pas remarqué mon message en blanc.

Signature: Je suis de passage .



Modifié 1 fois. Dernière modification le 15/05/2021 23:16 par AD.
df
Re: 5 exercices pour OShine
15 mai 2021, 23:24
Gebrane: en effet, je ne l’avais pas vu ! Mais oui… C’est tout à fait l’idée !
df
Re: 5 exercices pour OShine
16 mai 2021, 12:03
Une petite remarque sur l’exercice $88$: on sait que si un endomorphisme $E$ de $\mathbf{R}^n$ possède $n$ valeurs propres distinctes, il est diagonalisable. Mais l’inverse n’est pas vrai ! C’est ce qui m’a un peu bloqué quand je me suis (re)-plongé dans l’exercice.

Je donne juste un survol de la troisième solution. Il n’est pas du tout impossible que j’ai dit des c…ries car j’ai dû compléter les non-dits d’un corrigé très partiel.
N’hésitez pas à compléter ou à corriger ! D’autre part, il y a encore des passages que je n’arrive pas à justifier.
Le but est de démontrer que l’ensemble des matrices inversibles est dense dans $\mathscr{M}_n(\mathbf{R})$.

Une application linéaire $T: \mathbf{R}^n \longrightarrow \mathbf{R}^n$ a un vecteur propre $v$ associé à une valeur propre $\lambda$ si
\begin{equation}
Tv=\lambda v \Longleftrightarrow (T-\lambda)v=0
\end{equation}

Cela est vérifié si et seulement si $T-\lambda$ n’est pas inversible.

Posons $F_{\lambda}=F-\lambda I \:$ avec $\lambda \in \mathbf{R}$.

$F_{\lambda}$ est inversible pour une infinité de valeurs réelles. Si ce n’était pas le cas, l’ensemble $S_p(F)$ des valeurs propres de $F$ serait infini. Or son cardinal est inférieur ou égal à $n$.
Soient $F,G$ les matrices de $f,g$ dans la base canonique de $\mathbf{R}^n$.
Supposons donc $\lambda \notin S_p(F)$. On a $F^{-1}_{\lambda}(F_{\lambda}G-\lambda I_n)F_{\lambda}=GF_{\lambda}-\lambda I_n$ et $\det(F_{\lambda}G-\lambda I_n)=\det (GF_{\lambda}-\lambda I_n)$.
Pour $\lambda \in \mathbf{R}$, soit $u \xrightarrow{\varphi} \det[(F-uI_n)G-\lambda I_n]-\det[G(F-uI_n)-\lambda I_n]$.
Comme $u \notin S_p(F)$, $\varphi(u)=0$.

Mais ce polynôme $\varphi$ en $u$ est de degré inférieur ou égal à $n$. Je ne sais pas le justifier.
Comme il est annulé par une infinité de $u$, ce polynôme ne peut-être que le polynôme nul $\varphi \equiv 0$.

Je ne comprends pas non plus l’argument de densité qui permet de conclure le problème.

PS: S’il vous plaît, ne vendez pas la mèche pour les deux autres solutions.
Édit: première phrase corrigée suite à la remarque de Poirot.
..



Modifié 3 fois. Dernière modification le 16/05/2021 12:08 par df.
Re: 5 exercices pour OShine
16 mai 2021, 12:04
@df : Tu as inversé les choses dans ta première phrase.
df
Re: 5 exercices pour OShine
16 mai 2021, 12:09
Merci Poirot: j’ai édité mon post.
Re: 5 exercices pour OShine
16 mai 2021, 12:09
Bonjour,

Est ce que l'identité possède $n$ valeurs propres distinctes ?

Cordialement,

Rescassol

Edit: Ok.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 16/05/2021 12:29 par Rescassol.
Re: 5 exercices pour OShine
16 mai 2021, 12:12
Citation
df
Mais ce polynôme $\varphi$ en $u$ est de degré inférieur ou égal à $n$. Je ne sais pas le justifier.
C'est une différence de sommes de produits de $n$ termes constants ou linéaires en $u$ (voir la formule donnant le déterminant en fonction des coefficients de la matrice).
df
Re: 5 exercices pour OShine
16 mai 2021, 12:17
Rescassol: l’identité $I_n$ n’a qu’une valeur propre $\lambda=1$. J’ai inversé les rôles dans ma première phrase.
Re: 5 exercices pour OShine
16 mai 2021, 12:17
Pour l'argument de densité,il existe $D\subseteq \R^2$ dense tel que $det(FG-uG-\lambda I_n)=det(GF-uG-\lambda I_n)$ pour tous $(\lambda,u)\in D$ et comme les applications $x,y\in \R^2 \mapsto det(FG-xG-y I_n)$ et $x,y\in \R^2 \mapsto det(GF-xG-y I_n)$ sont continues (polynômes à plusieurs indéterminées) elles sont égales partout.
df
Re: 5 exercices pour OShine
16 mai 2021, 12:31
Merci Foys !
df
Re: 5 exercices pour OShine
17 mai 2021, 21:23
Exercice 91

Ceci n’est pas un $n$-ième exercice de maths pour OShine mais un petit thème de réflexion autour d’un extrait de la RMS (date et auteur inconnue mais pour la date: probablement fin du dix-neuvième-début du vingtième.)
Cet extrait, je l’avais appelé: La petite bibliothèque d’un candidat. Il est comme l’écho lointain d’un conseil que OShine a déjà dû lire et entendre un bon millier de fois.
Il devrait servir de marque-page à tous les candidats quels que soient leurs niveaux !

Bonne soirée à tous et bonne continuation pour OShine.




Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/05/2021 21:30 par df.


df
Re: 5 exercices pour OShine
17 mai 2021, 21:53
Au temps pour moi ! Après une brève recherche sur le net, il apparaît que l’auteur de ces lignes parues dans les Nouvelles annales de mathématiques (1868) n’est autre que Joseph Bertrand !
Re: 5 exercices pour OShine
17 mai 2021, 21:57
Excellente citation df thumbs down
Re: 5 exercices pour OShine
21 mai 2021, 12:03
Bon, afin de m'auto-contraindre, je poste une "promesse" (peu crédible) que je vais corriger dans les prochains jours les exos du premier post que je n'ai pas encore corrigé. Un autre fil s'est ouvert en aide à OS, mais (et je m'adresse à toi OS) tu ne dois pas négliger le présent fil.

Par exemple, tu n'as rien proposé pour l'exo 90, qui était une Lapalissade, ce qui montre que tu n'as pas d'estime pour la facilité introduite dans les exercices qui te sont donnés par d'autres dans le présent fil alors même qu'ils font l'effort de mettre des choses extrêmement faciles, non pas pour t'aider, mais pour tester si tu essaies (il suffit d'essayer pour les réussir).

Je te "pête" le 90 exprès pour te frustrer et te faire regretter de ne pas avoir cherché. Je ne le ferai pas pour les autres de même nature je ne corrigerai que les miens. Mais je t'invite avec force à vitre sentimentalement tes relations émotionnelles avec tes succès et tes échecs présents dans ces présents échanges. Arrête de mettre un bouclier et nous parler de "tes livres"

Pêtage du 90: (je te laisse un WLOG, et je crypte LEGEREMENT).

1/ C'est ok pour $0$ ($0$ est VP de AB ssi $0$ est VP de $BA$)

2/ Wlog, il suffit de prouver que c'est aussi vrai pour $1$ (exercice91 : justifier ce WLOG)

3/ Si $AB(u)=u$ et $u\neq 0$ alors $B(u)\neq 0$ et $BA (B(u)) = B(u)$


Je préviens tout auteur potentiel de Lapalissades données en exos à OS que je laisserai bien une semaine, mais m'accorderai le droit de corriger sans préavis sauf si un post des auteurs me l'interdit.

OShine: je te demande de regretter de ne pas l'avoir traité et de ne pas commenter à la "Thierry Rolland" ton échec

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/05/2021 12:05 par christophe c.
Re: 5 exercices pour OShine
21 mai 2021, 12:10
Je t'énonce de manière autonome le 91.

Soit $R\subset E^2$ avec $E:=M_n(K)$ tel que:

1/ $\forall (u,v)\in R: 1\in VP(u)\iff 1\in VP(v)$

2/ $\forall (u,v)\in R \forall (x,y)\in (K^*)^2: (xu,yv)\in R$

Soit $(u,v)\in R$. Prouver que $VP^*(u) = VP^*(u) $ où $\forall x: \ VP^*(x) := (VP(x))\setminus \{0\}$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/05/2021 12:11 par christophe c.
Re: 5 exercices pour OShine
21 mai 2021, 21:13
@Christophe : "OShine: je te demande de regretter de ne pas l'avoir traité et de ne pas commenter à la "Thierry Rolland" ton échec".

Paix à son âme ! (Thierry Roland, pas OShine).

Je ne suis pas un grand footeux, mais quand même le "Put1 !" du 12 juillet 1998 valait son pesant de cacahuètes...
Re: 5 exercices pour OShine
22 mai 2021, 12:46
thumbs down thumbs down thumbs down

TR sous le coup de l'émotion, s'adressant à Zidane :
[www.les-mathematiques.net]

TR s'adressant sur cnews à P.Ménès (merci Foys), qui vient de le contredire:
[www.les-mathematiques.net]

TR expliquant aux auditeurs la magie quasi-surnaturelle avec laquelle Messi travers plusieurs murs de défense adverse.
[www.les-mathematiques.net]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/05/2021 12:56 par christophe c.
Re: 5 exercices pour OShine
22 mai 2021, 12:49
grinning smileygrinning smiley
On écrit Pierre Ménès cela dit.
Re: 5 exercices pour OShine
17 juin 2021, 09:25
avatar
Je me permets de proposer un exercice pédagogique concernant la calculatrice.

Un élève : " Msieur, ma calculette donne tan(89,9°) ~ 572,9

et tan(89,99°) ~ 5729,5

et tan(89,999°) ~57295,8

Comment ça se fait ? "



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/06/2021 09:28 par Cidrolin.
Re: 5 exercices pour OShine
24 juin 2021, 02:33
avatar
Facile
$\tan(\frac \pi 2 -\frac {2\pi} n 10^{-m}) \sim (\frac {2\pi} n 10^{-m})^{-1}$.

Signature: Je suis de passage .



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/06/2021 04:04 par AD.
Re: 5 exercices pour OShine
24 juin 2021, 07:14
Bonjour,

Énoncé incomplet: quand quoi tend vers quoi ?

Cordialement,

Rescassol
Re: 5 exercices pour OShine
24 juin 2021, 11:37
avatar
Rescassol. Pourquoi c'est incomplet?
On constate un phénomène avec la calculette, on demande une justification.

Signature: Je suis de passage .
Re: 5 exercices pour OShine
24 juin 2021, 12:28
Bonjour,

Citation
Gebrane
Pourquoi c'est incomplet?
Ben:
Citation
Moi
quand quoi tend vers quoi ?

Cordialement,

Rescassol

Edit: Je n'ai lu que l'exo proposé par Gebrane, je ne savais pas que c'était la reprise de quelque chose plus haut.
De toutes façons, quand on écrit un équivalent il faut préciser: équivalent dans quelles conditions.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/06/2021 12:32 par Rescassol.
Re: 5 exercices pour OShine
24 juin 2021, 13:01
avatar
Le symbol ~ repris du message de Citrolin ne signifie pas un équivalent, ca signifie = au sens d'une calculette.

Signature: Je suis de passage .
Re: 5 exercices pour OShine
24 juin 2021, 14:24
Bonjour,

Ah ! J'aurais alors plutôt écrit $\simeq$, mais bon, n'en parlons plus.

Cordialement,

Rescassol
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