Nombre et opérateur

Mister Da
Mister Da
dans Fondements et Logique
Bonjour,
en bouquinant quelques documents et en regardant une vidéo d'Alain Connes sur internet, j'ai cru comprendre qu'on pouvait faire un parallèle entre certains opérateurs et certains nombres. Ainsi, sur un espace de Hilbert, on peut faire un parallèle entre
  1. les nombres complexes et les opérateurs normaux ;
  2. les nombres réels et les opérateurs auto-adjoints ;
  3. les nombres réels positifs et les opérateurs auto-adjoints semi-définis positifs.
A. Connes entre la minute 9 et la minute 10 de cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=tLdQqsWPAKI explique des choses sur la coexistence des variables discrètes et continues (étant donné qu'un opérateur peut avoir un spectre continu ou discret) et que notamment elles ne commutent pas. J'arrive ici à la limite de ma compréhension.

Je m'y connais un peu en algèbre, pas du tout en mécanique quantique et en tant que mathématicien du dimanche je suis à peu près à 10 000 années lumières d'Alain Connes en termes de compréhension.
Connaitriez-vous des ressources (livres articles, vidéos...) mathématiques, physiques voire philosophiques accessibles pour un profane qui me permettrait de creuser un peu cette histoire ? Sur internet j'ai trouvé quelques vagues choses mais rien qui parle vraiment de la coexistence du discret et du continu. Je trouve cette approche par opérateur merveilleuse et j'aimerais vraiment me coucher un peu moins bête le soir.

J'en suis arrivé là suite à la lecture de certains livres de vulgarisation de Carlo Rovelli (notamment "l'ordre du temps"). Ce dernier a croisé un jour la route d'Alain Connes et de fil en aiguilles j'essaye de comprendre les thèses qu'ils défendent.

Je vous remercie par avance pour vos conseils.
Cordialement,
Mister Da
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Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Ne t'inquiète pas, tout ça, c'est du flan, j'ai déjà investigué ces slogans.

    A.Connes est quelque de fort et sérieux, mais aussi quelqu'un qui "sait vendre sa camelote". Il est très gentil, fait des super-maths, mais quand il s'agit de présenter la beauté des choses, il est assez astucieux et ce ne sont plus des maths.

    Exemple, il aime bien dire des choses comme $\R/\Q$ "est beaucoup plus gros que" $\R$ car sans choix, le premier ne s'injecte pas dans le deuxième alors que si si pour l'autre sens, etc.

    Il dit aussi des choses comme "l'axiome du choix permet une vue d'avion du paysage" (ce qui est carrément plutôt faux, autrement que superficiellement vrai)

    Sur le plan de sa maitrise de l aTQ il a des idées claires et je pense arrêtées qui se concentrent beaucoup dans le lien avec les maths. Pas sûr qu'il soit très attentif "aux vrais fondements problématiques" de la TQ, qui n'ont rien à voir avec les maths qu'il fait.

    Je le classerai dans les savants qui s'occupent plus du passage du fini à l'infini (le fini étant supposé donné) que dans ceux qui s'occupent de toute la problématique.

    Bref, tout ça pour dire, qu'en dehors de phrases peut-être prononcées un peu intempestivement, il n'est pas exclus (mais j'espère pour toi que je me trompe) qu'il n'y ait ni labo, ni article qui te permettrait de "pousser ces jumelages".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    merci beaucoup pour ta réponse. Visiblement je me suis fait abuser par le côté technico-commercial car j'y ai cru surtout que j'ai lu ça
    wiki a écrit:
    Self-adjoint operators on a Hilbert space (for example, self-adjoint square complex matrices) generalize the reals in many respects: they can be ordered (though not totally ordered), they are complete, all their eigenvalues are real and they form a real associative algebra. Positive-definite operators correspond to the positive reals and normal operators correspond to the complex numbers.
    dans le bas de la page https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number alors je m'étais dit que c'était quelque chose de connue et bien établie. Quelle déception.

    Donc pour résumer, il y a une certaine analogie entre certains opérateurs et certains nombres mais ça s'arrête là, il n'y a rien de plus profond à creuser.

    En fait j'avais juste une question qui m'avait traversé la tête et c'est cette réponse que je cherchais finalement : dans cette analogie est-ce raisonnable de rapprocher les opérateurs autoadjoints compacts des nombres entiers ? Sentimentalement (ou sentilamentablement) je mets une petite pièce là dessus mais bon ça se saurait si on pouvait faire des mathématiques avec des sentiments surtout quand on a mon faible niveau.

    Je te remercie par avance pour ton aide.
    Cordialement,
    Mister Da
  • christophe c
    christophe c
    En fait, il me semble que comme notre cerveau a "une mémoire cache" limitée, on retombe sur très souvent les mêmes choses (au niveau d'elle) et on peut faire des tas de "correspondances". On peut aussi les retrouver syntaxiquement en contemplant les preuves et non ce dont elles parlent.

    Par contre, compte-tenu de la façon dont la recherche marche, il me semble rare que des analyses poussées et systématiques finissent par aboutir sans que ça dure des décennies et progressent de manière assez continue, avec médiatisation idem.

    Du coup, quand un ponte raconte quelque chose, ou bien il peut donner des points d'entrée dans les références qu'il met en bibliographie, ou bien il y a de fortes probas qu'il fasse (sans le dire) un "appel de ses voeux de voir un indice investigué".

    Mais dans cette deuxième hypothèse, ça prendra longtemps car "les petits jeunes qui font des thèses" ont souvent "interdiction" d'aller en "hors piste" de ce genre par leur coach et les "petits vieux" qui n'ont plus rien à prouver risquent de le faire "tranquillement". Exemple typique la correspondance de Curry Howard qui a mis 80ans à se développer jusqu'au bout.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    @Mister Da : Je n'y connais pas grand-chose, mais peut-être qu'une recherche avec le mot-clé "algèbres de Von Neumann" ou "$C^*$-algèbres" te permettront de creuser la chose.
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    merci pour votre aide.
    @christophe c, oui je vois ce que tu veux dire.
    @Poirot, merci pour la piste, je vais essayer de voir, je viens de jeter un coup d'œil et je pense qu'il va falloir que je passe au magasin m'acheter un gros sac de neurones. Moi qui faisais du tourisme scientifique, j'étais venu faire de belles photos et malheureusement le brouillard s'épaissit !

    Si je trouve des choses intéressantes je viendrai mettre les pointeurs ici.

    Cordialement,
    Mister Da
  • christophe c
    christophe c
    @Mister Da, je viens seulement de lire :
    Les opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert (par exemple, les matrices complexes carrées auto-adjointes ) généralisent les réels à bien des égards: ils peuvent être ordonnés (mais pas totalement ordonnés), ils sont complets, toutes leurs valeurs propres sont réelles et ils forment un véritable algèbre associative . Les opérateurs définis positifs correspondent aux réels positifs et les opérateurs normaux correspondent aux nombres complexes.

    Cela dit, ce n'est pas grave du tout, je te confirme exactement ce que j'ai dit en encore plus fermement. C'est en fait très léger et très "cool". Pas besoin de te ruiner en livres.

    C'est quelque chose qui est continuel en maths, et je te donne des exemples (j'en suis en fait friand) :

    1/ un ultrafiltre sur $E$ généralise un élément de $E$

    2/ une simple application d'ailleurs de $(E\to F)\to F$ généralise un élément de $E$

    3/ un uplet pondéré d'éléments de $E$ (avec des trucs qui peuvent être considérés comme des probas ou autre) généralise un élément de $E$ (c'est une superposition statistique quantique ou exptique de tels éléments

    4/ une distribution généralise une fonction borélienne

    5/ un topos (bin construit avec de bonnes propriétés sémantiques) généralise un univers ensembliste

    6/ une catégorie généralise un topos

    7/ une moniode associatif généralise une catégorie

    etc, etc.

    En fait, on a des phénomènes que l'on prouve à partir forcément de "pas toutes les propriétés" du l'objet concerné au départ et on s'aperçoit que l'on peut recenser ce que l'on peut garder comme théorèmes à propos de ses généralisations divers, quelles opérations continuent de passer. Par exemple un ensemble de couples généralise une fonction et $R^{-1} := \{(x,y)\mid (y,x)\in R\}$ est sa réciproque

    8/ $(E^*)^*$ généralise $E$

    Je pense que les sous-entendus derrière les mentions de la page wikipedia sont juste que des sous-ensembles de matrices diagonisables, bien marqués et donc qui se comportent "comme des diagonales" forment une généralisation de (3) ci-dessus.

    Et tu n'as pas tort de t'y intéresser et de sentir la bonne odeur de cuisine qui s'y prépare. Pour donner un exemple de l'efficacité de cette "rêverie", c'est la clé du fait que "j'existe, moi, cc, en tant que matheux sans avoir eu besoin de formation", c'est à dire que j'ai en quelque sorte sans cesse adopté toute ma vie intellectuelle ces va et vient de sorte que des argumentations concernant le triplet $T:=(2,9,4)$ par exemple, je les voyais comme concernant les triplet $(a,b,c)$ vérifiant les admis seulement faits sur $T$. Et visiblement, ça m'a plutôt pas mal réussi, car je peux démarrer une vieillesse avec pas mal de sujets de réflexion

    Maintenant, je maintiens qu'il doit être très difficile de trouver des ouvrages qui regroupent une application SYSTEMATIQUE de ce paradigme idéologique car comme toute idéolgie, elle doit probablement contenir ses inconvénients et "mise à l'ombre" de choses qu'un regard neutre aurait vu avec une aurte approche.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    merci pour ton message. Tu me redonnes espoir quand tu dis "Et tu n'as pas tort de t'y intéresser et de sentir la bonne odeur de cuisine qui s'y prépare.".

    Quand tu dis "des sous-ensembles de matrices diagonalisables", c'est fort probable, un peu comme un nombre complexe $z = a+\mathrm{i}b$ qu'on peut se représenter par un opérateur dont la matrice dans la base canonique est $Z = \begin{bmatrix} a & -b\\b & a \\\end{bmatrix}$, plein de choses naturelles se passent comme $|z|^2 = \det Z$ etc.

    Suite aux mots clefs de Poirot je suis tombé sur cette page : https://golem.ph.utexas.edu/category/2013/08/linear_operators_done_right.html.

    Notamment dans les commentaires on peut lire :
    Erik Crevier a écrit:
    The appropriate generalization to a $C^\star$-algebra is “a normal element is like a complex number”. Normality in this context is still the same algebraic condition as for operators. The fact that makes the analogy work is called the commutative Gelfand-Naimark theorem.
    Qu'en pensez-vous ?

    En fait ce qui m'intéresse le plus est le mariage du discret et du continu.
    Actuellement, la seule chose que je connaisse un peu est la suivante : je parle en langage profane (je n'ai pas le vocabulaire mathématique), pour traiter un signal à temps discret en version à temps continu on se place dans le royaume des distributions tempérées et on pondère les distributions de Dirac d'un peigne de Dirac par les échantillons ce qui redonne par la suite la formule sommatoire de Poisson et on passe de la transformée de Fourier à la transformée de Fourier discrète.

    Et là pour m'amuser (je n'ai pas d'autre but) je me disais que si on pouvait voir un lien entre les opérateurs et les nombres, comme certains opérateurs ont un spectre continu et d'autres qu'un spectre discret je pensais qu'on pouvait voir ça comme un cadre agréable pour faire un mariage heureux du type : les opérateurs autoadjoints représentent les réels et les opérateurs autoadjoints compacts les entiers.

    Après voilà c'est juste une idée en l'air mais si les $C^*$-algèbre sont le cadre approprié je prendrais le temps qu'il faut pour essayer de comprendre avec mon maigre bagage mathématique.

    Cordialement,
    Mister Da
  • Foys
    Foys
    Pour ce qui est des analogies du début du fil, signalons tout de même qu'étant donné un entier $n\in \N$ pour une application linéaire de $f$ de $\C^n$ dans lui-même, $\C^n$ étant muni de son produit scalaire hermitien canonique dans la suite du message:

    1°) $f$ est normale (i.e. commute avec son adjoint) si et seulement si elle est diagonalisable dans une base unitaire.
    2°) $f$ est hermitienne si et seulement si elle est diagonalisable dans une base unitaire avec valeurs propres réelles.
    3°) $f$ est hermitienne positive si et seulement si elle est diagonalisable dans une base unitaire avec valeurs propres réelles positives.
    4°) $f$ est hermitienne définie positive si et seulement si elle est diagonalisable dans une base unitaire avec valeurs propres réelles strictement positives.

    Ces résultats sont accessibles avec très peu de backround (algèbre linéaire en dimension finie et réduction des endomorphismes).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,
    merci Foys pour ce résumé. J'avais effectivement ces caractérisations en tête sauf que je dis "base orthonormée" là où tu dis "base unitaire", sommes-nous d'accord que c'est un synonyme ? Tu dis unitaire pour préciser que l'on travaille avec des complexes ? Remarque c'est plus cohérent avec le langage qu'on utilise pour les matrices finalement.
    Cordialement,
    Mister Da
  • Foys
    Foys
    Mister Da a écrit:
    je dis "base orthonormée" là où tu dis "base unitaire", sommes-nous d'accord que c'est un synonyme ?
    Oui.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    En fait ce qui m'intéresse le plus est le mariage du discret et du continu.

    De ton côté, évidemment, ton intimité y pense peut-être, mais je rajoute un point pour les lecteurs: c'est le défi majeur et inaccessible des maths du futur au sens suivant:

    1/ Toute application continue de $[0,1]$ dans lui-même possède un point fixe.

    2/ Autre exemple: pas d'application non constante et continue de $\R$ dans $\D$,

    etc

    Or 50 milliards de fois par jour, un être humain (je ne parle même pas des animaux) renvoie $y\neq x$ voyant $x$, ou associé à $x$ un décimal $y$ tel que $dist(x,y)\leq 0.1$

    Certes la TQ a "terminé" (au sens de Terminator) la question (on a découvert que la Nature le fait tout autant), mais "en pensées" on n'a pas encore réussi à concevoir "ce que nous faisons" quand nous réussissons ça, étant raisonnablement exclus que nous appliquions une fonction discontinue, et étant "pas du jeu" et un battage en touche verbale que nous utilisions un générateur quantiquement aléatoire (qui honnêtement n'aide pas, puisque qu'il ne ferait que ... tirer un application continue au hasard, ou un réel au hasard).

    La séparation entre les deux n'est pas conquise par les maths.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    merci pour tous ces éclaircissements. Je trouve ce sujet vraiment passionnant. Aurais-tu des lectures (mathématiques/physiques/philosophiques) accessibles pour un profane à me recommander ? J'ai lu un certain nombre d'auteurs et je n'ai pas vu (suis-je peut-être passé complétement à côté ?) ce sujet de la coexistante continu/discret explicitement discuté.

    Cordialement,
    Mister Da
  • igrec27
    igrec27
    Une BD: le mystere du monde quantique. texte de Thibault Damour.
  • christophe c
    christophe c
    @Mister, pardon pour le retard, j'avais dû remettre à plus tard et ça avait eu comme effet de tagguer en "lu", donc me faire oublier ton post.

    De toute façon, je ne connais pas non plus e livre où c'est discuté, il semble que cette question "vienne de moi". Tout au long de mon expérience, j'ai remarqué que quand j'en parlais, ça avait l'air de faire "tomber des nues" mes interlocuteurs. Pour illustrer d'ailleurs, ce tombage des nues, répondant à "brule-pourpoing", ils disaient des choses involontairement aberrantes comme:

    - "ah bin, en fait il y a des points fixes, mais tellement peu probable qu'on ne les rencontre pas dans la vie"

    - "on ne peut pas juste jouer un point, il serait invisible, on joue une tâche"

    - "ça ne me choque pas que la fonction humaine soit discontinue"

    etc.

    Ca n'a rien d'étonnant que ce ne se soit pas popularisé puisque ça a été écrasé par la mécanique quantique (qui balance dans la mare des pavés bien plus gros et remise celui-ci au rang des douces épines dans pied de philosophe du 18e siècle). Il n'en reste pas moins que ça reste un problème ouvert de principe, l'exécution du problème à coup de magie quantique n'étant bien entendu pas une solution.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • igrec27
    igrec27
    Quel est la difficulté mathématique soulevée par Connes dans sa vidéo minute 9?
  • Foys
    Foys
    christophe c a écrit:
    - "ça ne me choque pas que la fonction humaine soit discontinue"
    Je ne vois pas en quoi c'est aberrant; du reste le monde est essentiellement finitiste, les réels sont une idéalisation plus qu'autre chose.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone

    @igrec merci, mais peux-tu mettre un lien ?

    @foys : faudrait que tu localises ton idée: nos réactions corporelles sont toutes continues (même les os sont mous etc). Par compositions, tout est mou.

    Par ailleurs les nombres réels n'y sont pour rien, le TVI émerge d'un raisonnement robuste généralisable.

    Certes sans contradiction logique stricte tu peux d'écrire des mécanos discrets idéalisés, mais tu vois bien que ça ne correspond pas à l'immédiateté CONSCIENTE qu'on gagnerait à ce jeu dans TOUT MONDE nous "proposant" l'épreuve, et ce sans aller regarder la réglette divine et ses graduations à 10^-43 près.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • igrec27
    igrec27
    @christophe
    le lien pour la vidéo est dans le premier post.
  • christophe c
    christophe c
    Merci beaucoup Igrec!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • igrec27
    igrec27
    Si je prends deux variables aléatoires réelles définies sur R, 0l'une c'est l'identité et l'autre envoie les réels négatifs ou nuls sur 0 et les autres sur 1. Quel est le problème ?

    [L'absence d'apostrophe rend difficile la compréhension du message ! AD]
  • christophe c
    christophe c
    Merci donc j'ai écouté es minutes 8.5 à 11.

    1/ Je confirme qu'il "semble" évoquer cette problématique

    2/ Mais j'ai déjà répondu à ça en disant, dans mon post la chose suivante:
    moi-même ci-dessus a écrit:
    Ca n'a rien d'étonnant que ce ne se soit pas popularisé puisque ça a été écrasé par la mécanique quantique (qui balance dans la mare des pavés bien plus gros et remise celui-ci au rang des douces épines dans pied de philosophe du 18e siècle). Il n'en reste pas moins que ça reste un problème ouvert de principe

    Là, il y a un point important à bien comprendre. Et c'est en cela que les vidéos sont bien car la respiration, les petits réflexes de l'orateur en disent 10 fois plus que le discours. On voit sur la plage 00.09.00-00.10.30 que AC a complètement "intégré à ses tripes" que le problème (qu'ils semble percevoir, encore heureux, en tant que méthémticien) est "écrasé donc résolu" par l'explication quantique.

    Et c'est bien entendu là qu'il "se trompe". Le problème est bien

    - écrasé (à savoir que la Nature a bien le même pouvoir que nous de "réaliser" une $f:[0,100]\to [0,100]$ telle que $\forall x\in [0,100]: dist(x,f(x)) >20$)

    - mais non "résolu"

    Pour faire une analogie, vous découvrez un jour que vous pouvez voler dans les airs à la vitesse que vous voulez. Vous êtes sidéré par ce nouveau pouvoir, mais vous sentez seul. C'est un "problème non résolu". Quelques semaines plus tard, vous apprenez que tous vos voisins volent aussi et que tout le village, même, a le pouvoir de voler. Vous vous sentez moins seul, et partez en groupe faire de belles escapades, y compris sur la lune.

    Autrement dit, vous avez "oublié de puis longtemps" de vous demander à quoi c'est dû que le pouvoir de voler est subitement apparu chez tous les habitants d'un village. Ca ne "résout pas l'énigme".

    Remarque HS: AC se trompe à la minute 00.01.30, si ce n'était qu'expérimental, il ne pourrait pas dire ce qu'il dit ensuite. Bon, ce n'est pas très grave, mais ces petites erreurs peuvent freiner l'appréhension par le public de la TQ.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Le problème (je n'ai pas trop le temps là) est de réaliser une violation du TVI (et théorème analogue). Je détaillerai.

    Ce qu'il se passe qui est important est que nous avons conscience et nous "sentons pourquoi" nous sommes sûr d'avance de gagner au jeu "donne-moi $x$, je répondrai par un $y$ loin de $x$".

    Mais que ce ressenti ne s'exprime pas avec des mots. Bien entendu, on peut TRES FACILEMENT modéliser des appareils non déterministes qui réussissent ça, mais on "se les donne", ça n'a aucun intérêt de fond.

    Qu'entends-je par ça n'a aucun intérêt de fond?

    Bin c'est très simple:

    Toto : prouve-moi que tu es capable de jouer aléatoirement
    Gertrude : je ne peux pas te le prouver, mais je te le promets, crois-moi

    Modélisation évidente: Gertrude a raison, il suffit d'ajouter aux axiomes de leur roman qu'elle utilise une machine aléatoire. C'est du "donné"


    Toto : prouve-moi que tu es capable de jouer aléatoirement
    Gertrude : ok, je suis sûr d'avance que si tu me donnes $x\in [0,1]$, je vais te répondre par $y\in [0,1]$ tel que $y\neq x$
    Toto: Oh putèèèèè, tu m'as convaincu, mince c'est vrai que sincèrement, je suis obligé de te croire


    C'est du donné constaté
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Foys
    Foys
    christophe c a écrit:
    @foys : faudrait que tu localises ton idée: nos réactions corporelles sont toutes continues (même les os sont mous etc). Par compositions, tout est mou.

    "mou" veut dire non constant (avec le temps on va dire), pas "réel" ou "satisfaisant le tvi" et donc n'a rien à voir avec ces concepts. Le tvi n'est pas "robuste", c'est juste une propriété des sous-ensembles connexes de $\R$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    @Foys, mais si c'est robuste puisque tu peux remplacer par un module de continuité que tu estimes réaliste. Et ici par "mou", je veux justement dire "continu".

    Si tu modélises "des machins mous, qui réagissent à d'autres machins mous, tu obtiens des histoires molles et continues :-D

    La discontinuité est une "dureté" (un élastique qui pette par exemple, le pétages introduisant une "dureté" dans la mollesse". Mais des pétages en chaine d'élastiques intérieurs à nos organismes, bonjour l'apocalypse intérieure)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Pour les lecteurs aures que Foys, je précise que si vous avez par exemple

    $$\forall x,y: dist(f(x),f(y))< \phi (dist(x,y)) $$

    ce que j'entends par robustesse est que vous aurez $0 = inf_x (dist(x,f(x))$ sans avoir besoin de dire "on est dans $\R$", ou encore "dans $\Q$" ou quelqu'autre sous-dense de $[0,1]$. Le seul truc qui n'existera pas c'est que cette inf soit atteinte.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • igrec27
    igrec27
    Le vrai problème avec les variables aléatoires c'est qu'elles ne peuvent modéliser l'aléa quantique. Les inégalités de Bell en découlent. mais la Nature les viole.


    [L'absence d'apostrophe rend difficile la compréhension du message ! AD]
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,
    merci à tous pour vos réponses.

    @igrec27 : merci pour ta référence, on m'a justement offert cette BD il y a quelques temps déjà et je n'ai encore jamais pris le temps de la lire encore (non pas par snobisme mais parce que je voulais prendre mon temps pour la lire calmement).

    @Foys : les jours pairs je pense comme toi que "le monde est essentiellement finitiste, les réels sont une idéalisation plus qu'autre chose" et les jours impairs je sombre dans le délire et je me dis que le monde n'est pas de cette nature et seule l'expérience sensible que nous en avons l'est.

    @christophe c aucun problème pour le retard qui n'en est pas un à mes yeux. Je suis bien content que des personnes prennent le temps de réagir à mes pseudo digressions philosophiquoriendutout.

    De toute façon je régresse à vue d'oeil. Plus je lis de choses sur le sujet moins je comprends. Sur le concept de variable, par exemple voici une chose que j'avais acceptée volontiers et qui me dérange depuis quelques temps. On considère trois ensembles : $A$, $B$ et un ensemble composé d'un seul élément $\{\heartsuit\}$ et des applications $x\colon \{\heartsuit\}\to A$ et $y\colon A\to B$. Faites vous une différence entre
    1. l'application $y$ vue comme une application d'une variable "indépendante" $x$, c'est-à-dire $x\mapsto y(x)$ et
    2. l'application $y\circ x$ ?
    Pour motiver mon interrogation et bien que cela ne me gêne en rien pour faire les calculs cette question me revient dès que je fais un changement de carte sur une variété. On imagine deux cartes compatibles ($\mathcal{U},u$} et ($\mathcal{V},v)$ sur une variété différentiable $M$ de dimension $m$. On a donc $u\colon \mathcal{U}\to \mathrm{R}^m$ et $v\colon \mathcal{V}\to \mathrm{R}^m$ et au moment du calcul de la jacobienne de l'application $v\circ u^{-1}\colon \mathrm{R}^m \to \mathrm{R}^m$, on raisonne comme si c'était une application de $m$ variables indépendantes $u_1,\dots u_m$.

    Est-ce que je m'embrouille inutilement l'esprit ?
    Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
    Cordialement,
    Mister Da
  • igrec27
    igrec27
    As tu saisi le pb de Connes ? Si la variable prend 2 valeurs, une infinité d'éléments vont prendre chaque valeur. il y a un problème ? L'été c'est bien pour pas bronzer idiot.

    [L'absence d'apostrophe rend difficile la compréhension de tes messages ! AD]
     [Lis-tu les indications qui te sont fournies ? AD]
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone le latex apparaît en microscopique.

    Mais je te rassure, la MQ introduit une magie prouvable.

    Pour rigoler, on peut fouiller longtemps nos retours psychanalytiques aux début du CE1 en espérant débusquer un axiome qu'on aurait trop facilement admis, mais même si c'est un bon exercice ça ne t'elucidera pas la TQ.

    Tu as une preuve formelle que TQ + RR + déterminisme => 0=1 , ce qui est beaucoup plus fort que juste "pas trouver une manière de voir qui les engloberait ensemble".

    Donc t'inquiète.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • igrec27
    igrec27
    @AD Je suis malvoyant
    Qu'on me pardonne les erreurs de frappe.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    J'avoue que je n'avais pas trop compris ce que racontait Connes à propos du discret qui coexiste avec le continu (je ne sais plus comment il avait dit ça) alors que ce slogan vague s'applique aussi à la théorie de la mesure qui précède la théorie spectrale dans les études de maths en France...

    @Mister Da : Pour cette histoire de variable, ben, oui, on fait la différence entre $y$ et $x$. Par contre, GBZM a dit, une fois, qu'on a qu'à dire que "la variable $x$" est $Id : X \rightarrow X$ (où $X$ est l'espace où "habite" $x$). J'ai pas trop compris ce que ça avait d'intéressant (si tu passes par là, GBZM, tu peux réexpliquer ?).

    En tout cas, moi, je vois plutôt la chose comme ça :

    1) Soit $\Omega$ un ensemble fini. Une $\Omega$-variable est une application $\Omega \rightarrow \mathbb{C}$.
    2) Soit $V$ un espace de Hilbert de dimension finie. Une $V$-variable est un opérateur normal $V \rightarrow V$.
    3) Le point 2) "généralise" le point 1), au sens suivant : soit $\Omega$ un ensemble fini. Posons $V := \mathbb{C}^\Omega$. Pour tout $\omega \in \Omega$, notons $e_\omega$ la fonction indicatrice de $\{\omega\}$ ; la famille $(e_\omega)_{\omega \in \Omega}$ est alors une base de $V$. Enfin, soit, pour tout $v \in V$, $P_v$ le projecteur orthogonal sur la droite engendrée par $v$ (ce qu'on note aussi $w \mapsto \langle v,w\rangle v$). Soit $\phi$ une $\Omega$-variable. Alors on pose $A_\phi := \sum_{\omega \in \Omega} \phi(\omega) P_{e_\omega}$. Ce "plongement" du 1) dans le 2) est sympathique à différents égards.
    4) Le 2) est "mieux" que le 1) car il laisse de la place à des trucs un peu magiques (que les personnes qui font des expériences quantiques voient) arriver.
  • Foys
    Foys
    Les variables ne sont rien d'autre que des artifices syntaxiques. Tenter de les réifier condamne les gens à souffrir des mêmes confusions mentales indéfiniment ("mais pourquoi on dit <<quelque soit $x\in \emptyset$, blabla>> alors que je ne peux pas prendre $x$ avec mes maaaains snif snif").
    George Abitbol a écrit:
    alors que ce slogan vague s'applique aussi à la théorie de la mesure qui précède la théorie spectrale dans les études de maths en France...
    Le fossé qui sépare en termes de difficulté et de complexité technique la théorie spectrale en dimension finie (de l'algèbre linéaire un peu étoffée en gros) et en dimension infinie (elle inclut la théorie de la mesure dans ses prérequis entre autres) y est peut-être pour quelque chose.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    @GA,concernant la question que tu poses à GBZM, attention, il y a des contextes de discussions qui peuvent rendre les choses différentes. Par exemple, dans le contexte où on parle souvent en physique, $f(x)$ qui vaut en fait $f(x(t))$ peut s'écrire $f\circ x(t)$, et je ne détaille pas plus, le petit $t$ étant souvant un temps implicite (et tout ça tout ça étant des discussions autour d'abus de langage, donc non fondamentales).

    Par contre, la dépendance AU CONTEXTE (manière polie pour parler du MONDE dans lequel on "croit" faire le calcul) et non plus "de l'instant seul", fait qu'il faudrait dire $f(c)(x(c))$ et pas juste $f(x(c))$, puisque $f$ elle-même dépend du contexte. Autrement dit, en LC, on a affaire à

    $$S(f)(x) (c)$$

    qui, et c'est connu, a une parenté forte avec

    $$ ApplicationDeA(f,x)$$

    par exemple à travers la preuve de

    $$[\forall x(A_x\to B_x)] \to [(\forall xA_x) \to (\forall xB_x)]$$

    Concernant l'alea irréductible quantique, comme je l'ai dit ci-dessus et comme ça a été rappelé par Igrec quand il évoque les inégalités de Bell, c'est un vestige des habitudes prises en début de siècle d'utiliser ces termes "à fortes odeurs probabilistes".

    En fait, les inégalités de Bell violées ne sont qu'une vision intermédiaire avec l'inconvénient de "laisser à voir" qu'on utiliserait des probabilités ou des statistiques alors qu'il n'en est rien, puisque c'est le théorème de Kochen Specker qui formalise ça correctement et sans la moindre notion statistique.

    Une PART de (c'est un "au moins") magie quantique est FORMELLEMENT décrite avec KS, mais attention, ELLE NE S Y ARRTE MEME PAS. Il existe un supplément "magique" qui lui n'est pas formalisé à l'heure actuelle, qui est la capacité de la Nature à rendre réel le conditionnel (le fait de savoir ce qu'il seRAIT arrivé si on avAIT fait un truc... qu'on n'a pas fait)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Foys
    Foys
    Sauf erreur, en réalisabilité classique, $(\forall (A_x \to B_x)) \to \forall x A_x \to \forall x B_x$ est réalisé (prouvé) par $E:=\lambda x. \lambda y .xy$, je ne sais pas si $"S"$ marche aussi.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    tout dépend si tu vois $\forall$ comme une borne inf (dans ce cas c'est l'identité) ou comme un produit (dans ce cas, c'est $S$). Vu que ce n'était pas le sujet, je n'ai pas détaillé et "opportunément" passé sous silence la nuance :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @Foys : Oui, oui, je suis d'accord que la théorie spectrale de dimension infinie est bien plus dure que celle de dimension finie (et je ne déplore pas que la théorie spectrale soit enseignée après la théorie de la mesure).

    Ce que je reproche à Alain Connes, ou plutôt à la compréhension que j'ai de son slogan, c'est qu'il est faux de dire "il n'y a qu'en théorie spectrale que le discret et le continu coexistent". Mais bon, rien de grave.
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour
    Merci à tous pour vos messages.

    @Georges Abitbol merci pour ton message sur les $\Omega$ et $V$ variables, j'ai trouvé ça très instructif. Aurais-tu des références qui me permettraient de grenouiller autour de ce genre de choses ? Comme par exemple la dimension infinie où l'on pourrait prendre des opérateurs compacts comme variable ?

    @Foys effectivement le terme confusion mentale me va comme un gant ! C'est souvent que je me pose de fausses questions dont le seul résultat est de me faire douter de tout.

    Concernant les autres messages portant sur la logique et la mécanique quantique merci beaucoup mais je ne vais surtout rien dire pour le moment car ça serait juste une perte de temps pour tout le monde. Je n'ai absolument pas le niveau nécessaire.
    Merci de votre bienveillance face à mes élucubrations.
    Cordialement,
    Mister Da

    Édit: correction de finie en infinie.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @Mister Da : Je n'ai pas vraiment de référence... Mais attends : le concept d'opérateur compact n'a d'intérêt qu'en dimension infinie (puisqu'en dimension finie, tous les opérateurs sont compacts).

    Si tu veux aller plus loin, n'hésite pas à poser des questions, quelqu'un saura bien y répondre !
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    Désolé je voulais écrire "infinie" bien entendu...

    Merci pour ta correction.

    Cordialement,
    Mister Da
  • igrec27
    igrec27
    Pour les opérateurs compacts Connes dit qu'ils sont plus petits que les autres et que dans un sens ils sont comme les infinitésimaux de l'analyse non standard qui sont plus petits que tous les entiers standards.
    j'ai trouvé https://math.stackexchange.com/questions/173073/why-are-compact-operators-small ce lien sur stack exchange ou un forumeur s'intéressait à ce coté de ces opérateurs.
  • igrec27
    igrec27
    Il y a eu dans l'histoire beaucoup d'extensions de la notion de nombre.
    Il y a eu d'abord les entiers puis les fraction, les irrationnels, les imaginaires, les octonion, les nombres de Grassmann, les entiers non standards.
    Pour les opérateurs cités dans ce fil, Dirac les a appelés q-numbers.
    Tous sont des extensions de N.
    Ils sont tous intéressants mais ça dépend des goûts.
    Puisque tu as la bd de Damour, je te conseille de commencer sa lecture, tu verras comment les q-nombres sont venus à l'esprit de Heisenberg.
    Bonne lecture.
  • Médiat
    Médiat
    Ayant commis un document sur des "Ensembles de nombres", j'ai une affection particulière pour les hyper-duaux et, évidemment les surréels grâce au document de Knuth : "Comment deux anciens étudiants découvrirent les mathématiques pures et vécurent heureux" qui est une merveille
  • Palabra
    Palabra
    Médiat: Les nombres hyper-duaux? Qui sont ces nombres et qu'ont-ils fait pour mériter autant d'affection?
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    @igrec27, merci pour tes pistes. J'ai sorti la bd de ma bibliothèque la semaine dernière et j'envisage de l'ouvrir très prochainement.

    @Médiat, c'est la première fois que j'entends parler des hyper duaux. A tout hasard, est-ce que ton document est disponible quelque part ? En guise de marque-page je mets le lien vers la traduction du livre de Knuth : https://tex.loria.fr/historique/loeb-nombres-surreels.pdf.

    Sans savoir pourquoi, je me suis pris assez récemment d'affection pour toutes ces généralisations. Tout est parti en étudiant différentes façon de construire les réels et les nombres complexes. J'ai alors pris connaissance de l'existence des nombres duaux (puis digressé sur le travail d'Abraham Robinson et l'ans) et des nombres complexes déployés (en dehors des complexes je ne "connaissais" (de nom) que les hypercomplexes : quaternions, octonions,...). J'ai luzerné également du côté des nombres p-adiques. Puis j'ai glissé sur l'algèbre extérieure (est-ce ça dont tu parlais en évoquant les nombres de Grassmann ?) et l'algèbre de Clifford. Bref sans nécessairement les maitriser, j'aime bien découvrir ces concepts par simple curiosité.

    J'avais remarqué sans le creuser certains parallèles que l'on pouvait faire entre certains opérateurs et certains nombres complexe et la petite remarque d'Alain Connes a fait remonter tout ça et avec mon modeste niveau j'essaye de creuser un peu cette affaire.

    En tout cas, merci à tous pour vos messages qui m'éclairent beaucoup.

    Cordialement,
    Mister Da
  • igrec27
    igrec27
    pour les nombres hyperduaux il faut googler hyper-dual numbers
    j'ai trové ceci
    Hyper-dual numbers are a higher-dimensional extension of dual numbers in the same way that quaternions are a higher-dimensional extension of ordinary complex numbers. Dual numbers and ordinary complex numbers are types of generalized-complex numbers
  • Médiat
    Médiat
    Je mets en pièce jointe le document complet (chaque fois que je le regarde je ttrouve des fautes de frappe), les hyperduaux se trouvent dans la partie "Algèbres de dimension 4 sur IR", mais il n'y a pas de limite à cette dimension.

    L'affection que j'ai pour eux vient de ce qu'il permettent de calculer la valeur d'une fonction et de ses dérivées (dépend de la dimension)) en même temps sans calcul formel, ni approximation (sauf celle de l'ordinateur)

    Je précise qu'il faut une heure pour écrire le programme (si on connaît un bon algorithme pour le parser)
  • Mister Da
    Mister Da
    Bonjour,

    merci beaucoup pour ce document ! Je ne pouvais pas rêver mieux ! Il y a non seulement les concepts mais aussi les aspects "historiques" et des exemples d'application. C'est vraiment un super cadeau que tu viens de me faire ! Je n'ose imaginer le temps que ça à du prendre de rédiger un tel ouvrage. J'en suis tombé de ma chaise. Vous n'avez jamais cherché à le publier ?

    Concernant le calcul automatique de la dérivée, je pensais que les nombres duaux le permettaient déjà. Bref, il est temps pour moi d'aller bouquiner.

    Encore un immense merci.

    Cordialement,
    Mister Da
  • Médiat
    Médiat
    Je n'ose imaginer le temps que ça à du prendre de rédiger un tel ouvrage.
    5 ans entre les recherches et les démonstrations (j'aime bien le refaire), et 2-3 résultats "nouveaux"
    Vous n'avez jamais cherché à le publier ?
    Une dizaine de chapitres ont été écrits par d'autres personnes que je ne sais plus contacter
    Concernant le calcul automatique de la dérivée, je pensais que les nombres duaux le permettaient déjà
    Oui, pour la dérivée première

    Merci de ce retour enthousiaste.
  • Palabra
    Palabra
    Ah merci Médiat, je ne sais jamais si la version du document qu'on peut trouver sur le forum futura-mathématiques est d'actualité.

    Cet article pourrait vous intéresser concernant les infinitésimaux. Il y a notamment une autre voie portée par Du Bois-Reymond et Hardy, selon laquelle les infinitésimaux sont des fonctions qui tendent vers $0$ plus ou moins rapidement.
  • Médiat
    Médiat
    je ne sais jamais si la version du document qu'on peut trouver sur le forum futura-mathématiques est d'actualité.
    Non, c'est cette version qui est la dernière.

    Je vais regarder l'article, merci
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