Récurrence transfinie : aménagement licite ?
Bonjour
Dans une démonstration s'appuyant sur une récurrence transfinie.
1°) Un ensemble bien ordonné possède toujours un plus petit élément mais l'auteur s'autorise à considérer que l'ensemble bien ordonné peut être muni d'un élément maximum.
2°) Un élément générique à un successeur immédiat pourtant l'auteur considère naturelle l'existence de son prédécesseur immédiat
Ces deux aménagements sont-ils licites aux yeux des experts logiciens du forum ?
Au plaisir de lire vos réponses.
Dans une démonstration s'appuyant sur une récurrence transfinie.
1°) Un ensemble bien ordonné possède toujours un plus petit élément mais l'auteur s'autorise à considérer que l'ensemble bien ordonné peut être muni d'un élément maximum.
2°) Un élément générique à un successeur immédiat pourtant l'auteur considère naturelle l'existence de son prédécesseur immédiat
Ces deux aménagements sont-ils licites aux yeux des experts logiciens du forum ?
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Réponses
J'ai l'impression que l'auteur dont tu causes a ordonné son ensemble à l'envers. C'est un peu comme si tu disais que $0 >1>2>...>n>...> \omega > \omega+1...$
Je t'explique la récurrence transfinie quand on la fait "dans le bon sens". J'appelle $0$ le plus petit élément :
1) Montrer que $0$ satisfait la propriété.
2) Si $\alpha$ a un prédécesseur immédiat $\beta$ et si $\beta$ satisfait la propriété, alors $\alpha$ la satisfait.
3) Si $\lambda$ est limite (i.e. s'il n'a pas de prédécesseur immédiat) et si la propriété est vraie pour tout $\alpha < \lambda$, alors elle est vraie pour $\lambda$.
Si ces 3 conditions sont satisfaites, alors tu peux en déduire que la propriété est vraie partout.
Evidemment, dans le cas de ton auteur il faut remplacer $<$ par $>$, prédécesseur par successeur etc.
Mais quelle idée de vouloir faire une récurrence transfinie à l'envers !
Je ne peux raisonnablement pas me prononcer en vertu des éléments qui nous sont fournis par l'auteur du fil. Ce serait bien d'avoir le texte intégral pour émettre une réponse valable et non supposée.
Par exemple, dans ton texte est-il fait mention d'ensemble inductif ? d'élément maximal ? (...)
Bien cordialement,
Thierry
.
Merci mais c'est en fait l'affirmation de l'existence du prédécesseur immédiat pour tout élément j d'un ensemble bien ordonné qui me pose un problème car il n'y est fait nulle part mention dans la littérature consultée (contrairement au successeur immédiat d'un élément).
Je considère A infini et poserais bien i = union des k< j mais est-ce correct et ne pourrait-on pas alors avoir i = j dans certains cas (par exemple si j est dénombrable)?
J'en viens à me demander si ce théorème 14.13 est bien valide ...
Saurais-tu si le résultat à démontrer est valide ?
Je rajoute alors un élément $\alpha \in N\setminus L$ inséparable sur $L$, pour obtenir $L(\alpha)$. Alors $[L(\alpha) : K] = [L:K]$ (parce que ce dernier est infini), et $ [L:K] = [L(\alpha):K] \geq |Emb_K(L(\alpha), N)|\geq |Emb_K(L,N)| \geq [L:K]$, ce qui donnerait donc une égalité et donc la séparabilité de $L(\alpha)$, absurde précisément par choix de $\alpha$. Bon je vais un peu vite sur quelques détails donc je me gourre peut-être mais ça me semble suspect pour des extensions infinies.
Plus précisément c'est le "only if" qui me semble suspect.
(et le cas fini est prouvé par récurrence)
Quant à l'inégalité, elle me parait après réflexion suspecte aussi dans le cas infini. En effet, prenons par exemple $N=L = \overline{\mathbb Q}, K= \mathbb Q$. Alors le côté droit est dénombrable et le côté gauche indénombrable (le groupe de Galois absolu est profini et non fini, donc indénombrable).
Donc je pense qu'il faut oublier cette preuve dans le cas infini et prétendre que tout est fini :-D
*** les "embedding" qui bougent quelque chose (autre que l'identité) les bougent AVANT la limite.
(ce que tu dis était initialement mon hypothèse mais un peu de réflexion montre que le côté gauche est beaucoup trop gros en général; en fait c'est "co-continu" si tu veux, donc ça va être de type "produit" alors que le côté droit est de type "somme"; à partir de là aucune chance que ça passe à la limite)
Je dépose ici un montage contenant notamment le lemme 13.14 et la définition 13.4. Il est possible de télécharger l'image et de la visionner en l'agrandissant.
Comme le montre la reproduction ci-jointe, la cas fini a déjà fait l'objet d'un traitement par l'auteur, avant de traiter le cas général (où $[L:K]\geqslant\mbox{card}(\Bbb{N})$).