Intersections d'unions

Bonjour, soient $(A_i)_{i}$ des sous-ensembles de $\mathbb R$.
Il me semble que l'écriture $(A_0\cup A_1\cup A_2\cup \dots)\cap (A_1\cup A_2\cup A_3\cup \dots)$ donne $A_1\cup A_2\cup A_3\cup \dots$.

Quelle est la raison pour laquelle on écrit alors $\cap_{n\geq 0}\cup_{k\geq n}A_k$ au lieu de $\lim_{n\to \infty}\cup_{k\geq n}A_k$ qui me semble un peu plus intuitive par rapport à ce que l'on veut dire? Je sais que les deux veulent dire la même chose (je pense) mais une notation me semble plus claire que l'autre.