Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
228 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Nombre fini de classes d'équivalence

Envoyé par Julia Paule 
Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 11:07
Bonjour,

Je bute sur un point d'une démonstration. Pour simplifier, on a un ensemble $E$ muni d'une relation d'équivalence $\sim$, et on a montré que : $\forall c \in E$, $\exists b \in E$ en nombre fini, tels que $b \sim c$.
La démonstration conclut que le nombre de classes d'équivalence de $E$ modulo $\sim$ est fini.

En effet, $\forall c \in E$, il existe un nombre fini de classes d'équivalence tel que $c$ appartient à l'une de ces classes. Sauf que dans la démonstration, $b$ dépend de $c$ (i.e. $b$ a été défini à partir de plusieurs éléments successivement dont le premier part de $c$).

Donc j'ai un doute. Cette démonstration vous parait-elle valable ?

Merci d'avance.
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 11:38
Pour tout $c$ il n'existe qu'une seule classe à laquelle $c$ appartient, donc c'est certainement un nombre fini grinning smiley

Mais ton hypothèse est que chaque classe d'équivalence est finie, et n'a rien à voir avec le nombre de classes d'équivalences: je prends n'importe quel ensemble infini muni de la relation triviale où chaque $x$ n'est relié qu'à $x$.

Il manque beaucoup de choses pour conclure que $E/\sim$ est fini. Plus précisément, les informations que tu présentes n'apportent rien. Enfin, pire encore : si $E$ est infini, puisque chaque classe d'équivalence est finie, alors $E/\sim$ est nécessairement infini (et si $E$ est fini bah tu n'as rien à montrer)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 11:41
Ok je viens de relire ton message et je viens de comprendre ce qui s'est passé. Je pense que les $b$ sont fixés au préalable: tu as un ensemble $B\subset E$ qui est fini, et ton hypothèse est "$\forall c\in E, \exists b \in B, b\sim c$"

Dans ce cas la réponse est oui: l'hypothèse te dit précisément que la composition $B\to E \to E/\sim$ est surjective, et $B$ est fini, donc $E/\sim$ aussi.

Attention, la manière dont tu formules l'hypothèse n'a pas vraiment de sens et (cf. mon message précédent) peut au contraire être interprétée complètement de travers.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 11:43
avatar
Bonjour Julia

Tu auras soin de remarquer que c'est faux pour $\Z/(0)$. D'autre part, quel que soit $c\in{}E$, $c$ appartient à une classe d'équivalence modulo $\sim$ et une seule. Je ne vois pas ce que vient faire ce "il existe un nombre fini de classes d'équivalence tel que (...)".

Si tu as un énoncé plus précis, ce serait mieux.

@Maxtimax : bonjour. J'espère que tu vas bien. D'où me sors-tu cet ensemble $B$ ?

Cordialement,

Thierry



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/03/2021 11:46 par Thierry Poma.
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 11:55
Thierry : cet ensemble $B$ c'est ma deuxième interprétation de l'hypothèse imprécise de Julia. Quand elle nous dit "$\exists b\in B$ en nombre fini", je pense que ça ne veut pas dire "pour tout $c$ il y a un nombre fini de $b$ tels que", mais "il y a nombre fini de $b$ tels que $\forall c\in E$", et ça change tout.
C'est la seule manière que je vois pour que la conclusion soit raisonnable, et avec ça, la conclusion est raisonnable (et la manière dont Julia l'a formulé suggère que c'est exactement ce qui se passe, et qu'il y a juste eu une petite confusion sur les quantificateurs)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 12:02
avatar
@Maxtimax : c'est effectivement une exégèse du texte qui est fortement plausible. Je ne le comprenais pas de cette façon. C'est à Julia de trancher ou de nous de donner des précisions, si elle le souhaite. Après coup, je pense que tu as raison.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/03/2021 12:03 par Thierry Poma.
Dom
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 12:25
Très naïvement j’ai cru à une coquille.
Avec plutôt chaque classe a un nombre fini d’éléments.

Mais c’est à mon échelle...
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 12:42
Merci pour vos réponses. Je m'arrache les cheveux sur un poly où il faut lire entre les lignes. Il s'agit de la démonstration de la finitude du groupe des classes d'équivalence d'un ordre (anneau d'entiers algébriques finiment engendré sur $\mathbb{Z}$), c'est assez compliqué à reproduire ici.

Non, il n'existe pas d'ensemble $B$ défini au préalable, et les $b$ ne sont pas fixés au préalable.

Désolée, je n'ai pas été assez précise, je reprends.

On part donc d'un élément $c$ de $E$. La démonstration dit (je résume) : "Il existe alors $a$ tel que ..., qui dépend de $c$. Il existe alors $\alpha$ tel que ..., qui dépend de $a$. Il existe alors un élément $b$ tel que ..., qui dépend de $\alpha$, et on a que $b \sim c$ et que $b$ appartient à un ensemble fini" (la norme de l'idéal $b$ est majorée par $m$, et le nombre d'idéaux de norme inférieure ou égale à $m$ est en nombre fini).

Mais à la réflexion, cet ensemble $B$ pourrait bien être défini a posteriori, auquel cas cela marcherait ?

PS : j'ai cru aussi au début en tirer comme conclusion logique que chaque classe d'équivalence a un nombre fini d'éléments. Mais c'est le contraire qu'il faut en déduire : il existe un nombre fini de classes d'équivalence.



Modifié 5 fois. Dernière modification le 28/03/2021 12:55 par Julia Paule.
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 13:08
avatar
@JP : bonjour. Ne serait-ce pas ce texte ?
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 13:18
Julia: bah si, il y a un $B$, seulement on ne découvre qu'à la fin de qui il s'agit : l'ensemble des idéaux de norme $\leq m$.

C'est presque une preuve par analyse-synthèse, un peu comme quand tu cherches un $\delta$ pour ton $\epsilon$ et qu'en faisant des calculs tu en trouves un qui marche : tu vas pas te fatiguer à refaire la preuve avec ce $\delta$ !

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 18:32
Mais $m$ dépend de $\alpha$ donc de $c$. Donc on fixe une limite après coup.

En fait, on a : pour tout $c \in E$, $c$ vu ses propriétés, ne peut appartenir qu'à un nombre fini de classes de d'équivalence. Je ne vois pas pourquoi ça prouve qu'il n'existe pour $E$ qu'un nombre fini de classes d'équivalence.

De plus, comme on a des "il existe", alors avec un autre élément $b_1$ qui répondrait à la question, $c$ pourrait appartenir à d'autres classes d'équivalence qu'avec $b$, et ceci en nombre infini s'il est possible d'avoir un nombre infini de $b$ qui répondent à la question.

Donc je ne suis pas persuadée par la validité de cette démonstration. Mais je peux me tromper.

PS : non, ce n'est pas ce texte (heureusement !)



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/03/2021 18:32 par Julia Paule.
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 18:48
Mais on peut trouver un $m$ qui ne dépend pas de $c$ et qui majore tout le monde, non ?

Sinon c'est effectivement faux, mais surtout c'est n'importe quoi (pour chaque $c$, $c$ n'appartient qu'à une classe d'équivalence : la sienne) c'est pour ça que je pense qu'il manque une partie de l'histoire

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 18:56
Ben non, rien ne dit qu'il existe un $m$ qui majore tout le monde (c'est peut-être vrai, mais ce n'est pas dans la démo, ni précédemment).
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 19:34
Est-ce que tu pourrais reproduire la démonstration avec plus de détails? Sinon impossible de t'en dire plus, et ça me parait surprenant qu'une absurdité comme ça y soit

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Nombre fini de classes d'équivalence
28 mars 2021, 20:10
Ah mais oui, $m$ ne dépend que de la base dont laquelle on travaille, il est indépendant de tout le monde (je ne sais pas à quel moment j'ai dévié pour penser que $m$ dépend de $c$).

Dans ce cas, pour tout idéal $c$ de $E$, il existe un idéal $b$ de norme majorée par $m$ tel que $b \sim c$. Par ailleurs, pour tout $M>0$, il existe un nombre fini d'idéaux de $E$ de norme majorée par $M$.

Donc $c$ ne peut appartenir qu'à un nombre fini de classes d'équivalence. Donc il n'existe qu'un nombre fini de classes d'équivalence pour $E$. C'est le résultat cherché.

Merci beaucoup.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 151 881, Messages: 1 545 603, Utilisateurs: 28 396.
Notre dernier utilisateur inscrit flavie_12442.


Ce forum
Discussions: 2 634, Messages: 53 702.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page