Nombre fini de classes d'équivalence
Bonjour,
Je bute sur un point d'une démonstration. Pour simplifier, on a un ensemble $E$ muni d'une relation d'équivalence $\sim$, et on a montré que : $\forall c \in E$, $\exists b \in E$ en nombre fini, tels que $b \sim c$.
La démonstration conclut que le nombre de classes d'équivalence de $E$ modulo $\sim$ est fini.
En effet, $\forall c \in E$, il existe un nombre fini de classes d'équivalence tel que $c$ appartient à l'une de ces classes. Sauf que dans la démonstration, $b$ dépend de $c$ (i.e. $b$ a été défini à partir de plusieurs éléments successivement dont le premier part de $c$).
Donc j'ai un doute. Cette démonstration vous parait-elle valable ?
Merci d'avance.
Je bute sur un point d'une démonstration. Pour simplifier, on a un ensemble $E$ muni d'une relation d'équivalence $\sim$, et on a montré que : $\forall c \in E$, $\exists b \in E$ en nombre fini, tels que $b \sim c$.
La démonstration conclut que le nombre de classes d'équivalence de $E$ modulo $\sim$ est fini.
En effet, $\forall c \in E$, il existe un nombre fini de classes d'équivalence tel que $c$ appartient à l'une de ces classes. Sauf que dans la démonstration, $b$ dépend de $c$ (i.e. $b$ a été défini à partir de plusieurs éléments successivement dont le premier part de $c$).
Donc j'ai un doute. Cette démonstration vous parait-elle valable ?
Merci d'avance.
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Réponses
Mais ton hypothèse est que chaque classe d'équivalence est finie, et n'a rien à voir avec le nombre de classes d'équivalences: je prends n'importe quel ensemble infini muni de la relation triviale où chaque $x$ n'est relié qu'à $x$.
Il manque beaucoup de choses pour conclure que $E/\sim$ est fini. Plus précisément, les informations que tu présentes n'apportent rien. Enfin, pire encore : si $E$ est infini, puisque chaque classe d'équivalence est finie, alors $E/\sim$ est nécessairement infini (et si $E$ est fini bah tu n'as rien à montrer)
Dans ce cas la réponse est oui: l'hypothèse te dit précisément que la composition $B\to E \to E/\sim$ est surjective, et $B$ est fini, donc $E/\sim$ aussi.
Attention, la manière dont tu formules l'hypothèse n'a pas vraiment de sens et (cf. mon message précédent) peut au contraire être interprétée complètement de travers.
Tu auras soin de remarquer que c'est faux pour $\Z/(0)$. D'autre part, quel que soit $c\in{}E$, $c$ appartient à une classe d'équivalence modulo $\sim$ et une seule. Je ne vois pas ce que vient faire ce "il existe un nombre fini de classes d'équivalence tel que (...)".
Si tu as un énoncé plus précis, ce serait mieux.
@Maxtimax : bonjour. J'espère que tu vas bien. D'où me sors-tu cet ensemble $B$ ?
Cordialement,
Thierry
C'est la seule manière que je vois pour que la conclusion soit raisonnable, et avec ça, la conclusion est raisonnable (et la manière dont Julia l'a formulé suggère que c'est exactement ce qui se passe, et qu'il y a juste eu une petite confusion sur les quantificateurs)
Avec plutôt chaque classe a un nombre fini d’éléments.
Mais c’est à mon échelle...
Non, il n'existe pas d'ensemble $B$ défini au préalable, et les $b$ ne sont pas fixés au préalable.
Désolée, je n'ai pas été assez précise, je reprends.
On part donc d'un élément $c$ de $E$. La démonstration dit (je résume) : "Il existe alors $a$ tel que ..., qui dépend de $c$. Il existe alors $\alpha$ tel que ..., qui dépend de $a$. Il existe alors un élément $b$ tel que ..., qui dépend de $\alpha$, et on a que $b \sim c$ et que $b$ appartient à un ensemble fini" (la norme de l'idéal $b$ est majorée par $m$, et le nombre d'idéaux de norme inférieure ou égale à $m$ est en nombre fini).
Mais à la réflexion, cet ensemble $B$ pourrait bien être défini a posteriori, auquel cas cela marcherait ?
PS : j'ai cru aussi au début en tirer comme conclusion logique que chaque classe d'équivalence a un nombre fini d'éléments. Mais c'est le contraire qu'il faut en déduire : il existe un nombre fini de classes d'équivalence.
C'est presque une preuve par analyse-synthèse, un peu comme quand tu cherches un $\delta$ pour ton $\epsilon$ et qu'en faisant des calculs tu en trouves un qui marche : tu vas pas te fatiguer à refaire la preuve avec ce $\delta$ !
En fait, on a : pour tout $c \in E$, $c$ vu ses propriétés, ne peut appartenir qu'à un nombre fini de classes de d'équivalence. Je ne vois pas pourquoi ça prouve qu'il n'existe pour $E$ qu'un nombre fini de classes d'équivalence.
De plus, comme on a des "il existe", alors avec un autre élément $b_1$ qui répondrait à la question, $c$ pourrait appartenir à d'autres classes d'équivalence qu'avec $b$, et ceci en nombre infini s'il est possible d'avoir un nombre infini de $b$ qui répondent à la question.
Donc je ne suis pas persuadée par la validité de cette démonstration. Mais je peux me tromper.
PS : non, ce n'est pas ce texte (heureusement !)
Sinon c'est effectivement faux, mais surtout c'est n'importe quoi (pour chaque $c$, $c$ n'appartient qu'à une classe d'équivalence : la sienne) c'est pour ça que je pense qu'il manque une partie de l'histoire
Dans ce cas, pour tout idéal $c$ de $E$, il existe un idéal $b$ de norme majorée par $m$ tel que $b \sim c$. Par ailleurs, pour tout $M>0$, il existe un nombre fini d'idéaux de $E$ de norme majorée par $M$.
Donc $c$ ne peut appartenir qu'à un nombre fini de classes d'équivalence. Donc il n'existe qu'un nombre fini de classes d'équivalence pour $E$. C'est le résultat cherché.
Merci beaucoup.