Bijectivité

$ \mathbb{R} $ et $ \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $ ne sont pas en bijection, parce que, sinon, il existe une surjection $ \pi \ : \ \mathbb{R} \to \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $.
Or, si nous prenons $ T = \{ \ x \in \mathbb{R} \ | \ x \not \in \pi (x) \ \} \in \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $, alors $ T $ n'a pas d'antécédent par $ \pi $. D'où contradiction.
Par conséquent, $ \mathbb{R} $ et $ \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $ ne sont pas en bijection.
:-)

Edit, Grillé par Héhéhé

@Héhéhé,
Supposons que $ T $ a un antécédent $ a $ par $ \pi $,
Alors, $ a \in \pi (a) $ ou $ a \not \in \pi (a) $.
- Si $ a \in \pi (a) $, alors, $ a \not \in \pi (a) $, ce qui absurde.
- Si $ a \not \in \pi (a) $, alors $ a \in \pi (a) $, ce qui est absurde aussi.
D'où, $ a $ n'est pas un antécédent de $ T $ par $ \pi $, et ce pour tout $ a \in \mathbb{R} $.
Par conséquent, $ T $ n'a aucun antécédent par $ \pi $.
:-)