En // des 5 questions pour Oshine

Il n'y a pas eu beaucoup d'enthousiasme pour la 81. Juste un certain Matthew Pilling qui a cherché un peu on dirait.

Oui, je vais corriger.

Si on considère l'ensemble $C$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$, soit $a$ et $b$ appartenant à $[0,1]$ tels que $a \neq b$, alors, pour tout $f,g \in C$, si $f(a)=a$ et $f(b)=b$ et $g(a)=b$ et $g(b)=a$, alors il existe $c \in [0,1]$ tel que $f(c)=g(c)$.

Ce n'est pas vrai, si on remplace $[0,1]$ par $[0,1]^2$. Donc, on ne peut pas avoir $T(f)(x)=W\circ f \circ W^{-1}(x)$, pour tout $x$ et tout $f$.

Gebrane, je ne comprends pas la preuve de Marco, il va trop vite.

Oui la preuve de JLT n'est pas de niveau lycée. J'ai fait prépa MPSI- MP et je ne la comprends pas du tout.

Cet exercice est infaisable pour un lycéen lambda. Même en prépa il serait donné que dans les meilleurs concours du style X-ENS.

Les exercices des concours CCPINP-Centrale ne sont pas aussi ardus.

Ma preuve est essentiellement la même que celle de raoul.S, sauf que je l'ai exprimée de manière plus conceptuelle tandis que Raoul n'a gardé que l'essentiel. Les trois idées principales sont les suivantes :

1) Pour tout $f:[0,1]\to [0,1]$ continue bijective, on a $f(0)=0$ ou $f(0)=1$.

2) Pour tout $a\in [0,1]^2$ il existe au moins trois points deux à deux distincts $a_1,a_2,a_3\in [0,1]^2$ et trois fonctions continues bijectives $f_1,f_2,f_3:[0,1]^2\to [0,1]^2$ telles que pour tout $i$, $f_i(a)=a_i$.

3) Si $G_1$ (resp. $G_2$) est un groupe agissant sur $X_1$ (resp. $X_2$) de sorte qu'il existe une orbite à deux éléments dans $X_1$, et que toute orbite de $X_2$ soit de cardinal strictement plus grand que $2$, alors ces deux actions ne sont pas conjuguées.

Je n'ai pas dit qu'un lycéen lambda pouvait réussir l'exercice 81, mais qu'un niveau de connaissances de lycée suffisait. Les points 1) et 2) sont à la portée d'un bon élève de lycée (certes il ne sait pas ce qu'est une fonction continue à deux variables mais on admet qu'il en a l'intuition). J'irais même jusqu'à dire que les points 1) et 2) sont à la portée de OShine.

Le point 3) est une trivialité si on sait ce qu'est une action de groupe. Une fois qu'on enlève le langage de groupes, il n'y a pas besoin de connaissances pour le résoudre (si ce n'est savoir ce qu'est une bijection) mais c'est plus difficile à voir quand on n'a pas l'habitude des groupes.

@gebrane : ha non, jamais dit que j'avais une preuve et JLT m'a convaincu que je ne l'aurais jamais :-D;-)

Disons que le but est de montrer à OS qu'il y a de l'espoir mais aller chercher ces exos bizarres est vraiment contreproductif. Si le but d'OS est l'agreg, mult candidats seront admis avant de savoir résoudre ça. C'est un peu comme les OIM : pas mal d'agrégés sècheraient sans avoir eu l'entraînement requis alors qu'en soit, les problèmes sont bien définis pour un élève de 2nd la plupart du temps.
Par contre, je suis partisan de le faire travailler sur des choses techniques qui ne nécessitent peu de connaissances avancées (kangourou, concours général, exos de fin de chapitre de manuels scolaires, exos du calendrier mathématique du CNRS pour les connaisseurs, exos d'olympiades académiques).

Et sinon, batteries d'exos de lycée (qu'il ne fera jamais) pour gommer les étourderies mais qui ont le défaut de faire appliquer des recettes de cuisine.

OShine vient lire ce qui se passe ici et même y participe...

1/ Je rappelle que l'idée c'était de lui donner une semaine

2/ Pas forcément non plus qu'il donne une preuve formelle, mais qu'il poste des avancées montrant chez lui qu'il a accepté de prendre du recul (apparemment il rédige pas trop mal UNE FOIS QU IL A TROUVE, il y a donc un refus de chercher qui confine à l'entêtement)

3/ Il n'y a pas que le 81, il en a pas mal d'autres

4/ N'importe qui est censé comprendre au delà de 28ans et après quelques années de maths que les hypothèses disent (quand on appréhende seulement les triplet $(A,B,\sigma)$ tels que $\sigma: A\times B\to B$), en notant $==$ être isomorphe, que:

$$ (X,[0,1], (f,x)\mapsto f(x)) == (Y,[0,1]^2, (f,x)\mapsto f(x)) $$

où

$X:=$ l'ensemble des continues de $[0,1]$ dans lui même
et
$Y:=$ l'ensemble des continues de $[0,1]^2$ dans lui même

Bon, à la rigueur, disons qu'il faut 3 jours pour le comprendre.

Ensuite, "isomorphe", ça veut dire "tout pareil à renommage près" des objets manipulés. On en est toujours à 3 jours.

Les 4 jours restant peuvent donc être consacrés à trouver des "choses qui ne se passent pas pareil" dans les deux structures. Le lycée en propose une en kit qui est la suivante:

$c$ est compris entre $a$ et $b$ ssi toute fonction continue qui donne des antécédents à $a$ et à $b$ en donne aussi au moins un à $c$.

Disons que ça prend 1 jour de trouver ça (sans sauter les repas).

Il reste deux jours pour exprimer ça avec des quantificateurs et aboutir à une contradiction.

OS a écrit:

Ceci dit son refus de chercher est important. Généralement il se donne 30min- 1heure et après il laisse tomber malgré de petites avancées dans l'exo.

Il l'avait même écrit explicitement sur le forum, il y a peu!

Ayant 55ans et une bonne expérience de la nature humaine dans ce domaine, je pense pouvoir affirmer que les choses sont généralement plus ouvertes. Il n'y a pas d'ordre total. J'ai déjà vu des élèves moyens prouver Brouwer correctement en amenant l'idée de déchirure. Evidemment, ils ne l'auraient pas formalisée (elle ne l'est d'ailleurs toujours de manière parfaite à l'heure actuelle puisqu'il faut à proprement parler d'injection).

La recherche de prise de recul peut se faire AVANT d'avoir totalement "pris confiance en soi" et surtout accepté la RDJ des maths. Sinon, vue comment les maths sont (et ont toujours été, je ne critique pas contemporainement) enseignées (rien n'est rigoureux) jusqu'en L3, personne n'aurait jamais réussi dans cette matière :-D

Quant à l'exercice de Cyrano, il n'est pas vrai à mon avis qu'OS n'y arrive pas. Ce qu'il se passe c'est qu'il NE VEUT PAS y parvenir. Il est comme un marxiste qui reçoit une info boursière dans le cadre d'un délit d'initié: il ne lèvera pas son Q pour aller acheter l'action spoilée. Mais dire qu'il "n'arrive pas à le ver son fessier" me parait langagièrement impropre, je préfère dire "il ne veut pas".

OShine a écrit:

En plus pour les épreuves comme l'agrégation interne, la différence se fait sur les questions faciles ou abordables, elle ne se fait pas sur les questions très difficiles, qui sont réservées aux 5-10 meilleurs.

Oui effectivement (enfin je te crois sur parole) et il est vrai que tu avais déjà mentionné ceci dans le passé. J'avais juste oublié un instant ce qui te motive à faire des maths (sans critique de ma part).

Raoul.S il n'y pas que ça.

Mais faire des maths de son niveau est appréciable. Donc pour moi ce serait des épreuves de CCPINP par exemple. Ou certains sujets de Centrale les plus faciles.

Faire des maths d'un niveau qui dépasse ses capacités, c'est contreproductif. Quand on n'arrive à rien faire, on ne prend plus de plaisir, ça devient une souffrance. Si je prends un sujet de X-ENS je ne vais rien trouver, quel est l'intérêt ?

Je prends du plaisir quand je réussis à faire des choses, pas quand je regarde des exercices de CC que je ne trouverai jamais de ma vie.

Christophe C pour moi le temps n'aide pas.
Si je ne comprends pas en 2 heures, tu peux me donner 1 semaine je ne comprendrai pas.
Déjà tes exercices je ne comprends pas vraiment les énoncés, c'est trop compliqué pour moi.
Rien que l'énoncé je ne le comprends pas.