Comment traduit-on "vacuously true" ?

Milamber
Milamber
dans Fondements et Logique
Bonjour,

Tout est dans le titre ;-)
Dans la littérature anglaise, on voit parfois les termes "vacuously true", ou "vacuous truth". Je n'ai pas vraiment connaissance d'un équivalent français élégant (d'ailleurs, la page wikipedia n'a pas de traduction française).

Les traductions immédiates seraient "vérité vide" et "vacueusement vrai" : sont-ce des termes d'usage courant en français ? Une rapide recherche oueb tend à m'indiquer que non...

Merci !
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Réponses

  • marsup
    marsup
    Peut-être : un énoncé ou une vérité sans objet ou sans contenu ?
  • Foys
    Foys
    Je n'ai jamais vu de traduction de ça. Beaucoup de gens ont du mal à l'accepter, faute d'appréhension propre de ce qu'est une variable (comprenez une variable liée: dans "$\forall x\in E,[F(x)\Rightarrow G(x)]$", ils croient que $x$ désigne quelque chose alors évidemment si on part sur ces bases, quand $E$ est vide bonjour les malaises. Sauf que non).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Milamber
    Milamber
    Merci pour vos réponses fort rapides !

    @Foys : exactement, oui ! Et je pense que l'absence d'un terme français bien précis et reconnu est justement un obstacle à la compréhension du truc. J'ai parcouru plusieurs manuels anglophones de première année où ce terme était introduit (parfois de façon extrêmement détaillée, en l'expliquant sur une page entière) dès l'explication de ce qu'est une implication. Je n'en ai jamais lu un équivalent français en revanche.

    Ça a aussi des conséquences pratiques importantes. Les anglophones (y compris jeunes étudiants, me semble-t-il) évacuent immédiatement en un "this is vacuously true" le fait que $f : \emptyset \rightarrow X$ soit injective. Sous nos latitudes, ça me semble moins directement évident d'évacuer ça en 4 mots, voire même d'avoir les mots pour le comprendre. C'est une lacune qui m'étonne dans les outils terminologiques francophones. :-)
  • umrk
    umrk
    il y a le truisme, mais ce n'est peut être pas tout à fait l'équivalent (le truisme n'est pas vide, seulement évident (mais tellement évident qu'il n'apporte rien....)) ou la tautologie ....
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    J'ai eu jadis un prof qui disait souvent "Ceci est un truisme d'une trivialité évidente".

    Cordialement,

    Rescassol
  • Foys
    Foys
    "$x\mapsto A$ est vide" signifie "$\neg \exists x A$"
    "$\forall x P$" abrège "$\neg \exists x \neg P$".
    "$A\rightarrow B$" abrège $\neg (A\wedge \neg B)$.

    Si on sait que $\neg \exists x A$, faut-il s'émouvoir de ce que $\neg \exists x \neg \neg \left ( A \wedge \neg B\right )$ ?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    C'est synonyme de "théorème de maths".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • umrk
    umrk
    Comme le rappelait Laurent Lafforgue, Grothendieck pensait que lorsque Dieu fait des mathématiques, il ne raisonne pas, il VOIT.

    Si nous étions dotés de pouvoirs surhumains, tous les théorèmes nous apparaitraient comme trivialement évidents, donc vides, en effet

    (Ceci évoque aussi pour moi les grands maîtres aux échecs, qui en regardant une position voient des choses que personne d’autre qu’eux ne voit ...)

    Dans le même exposé (passionnant) il note que non seulement Grothendieck est dans le camp platonicien, mais en plus pense que les objets mathématiques nous parlent (nous chuchottent, plus exactement, et ce, à voix d’autant plus basse que les révélations qu’ils veulent nous faire sont importantes !)
  • Martial
    Martial
    @umrk : ce que tu dis est très intéressant. Tu rejoins un peu le point de vue de CC qui dit que tout théorème de maths est un cas particulier d'évidence.

    Par ailleurs je suis assez d'accord avec Grothendieck dans ton dernier paragraphe. Le seul problème c'est que de mon côté je suis un peu "dur de la feuille". Et apparemment ce n'est pas dû qu'à l'âge...
  • Foys
    Foys
    Ces histoires d'évidences, c'est un théorème que Christophe a souvent évoqué (mais jamais formalisé et encore moins démontré en tout cas sur ce site B-)). La présentation est incorrecte et non parlante ("toute théorème est un cas particulier d'évidence"? Que veut dire le mot évidence, et comme s'il pouvait avoir un sens formel pertinent) De ce que j'ai compris, c'est la chose suivante.

    Soit $P$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\multimap: P\times P \to P$. On utilisera la convention d'élimination des parenthèses suivante (la loi n'étant jamais associative dans les cas où ce qui va suivre s'applique: la situation où $P$ est l'ensemble des énoncés logiques dans un formalisme quelconque et $\mathcal T(A)$ l'ensemble des "théorèmes" déductibles d'un ensemble "d'axiomes" $A$): $a\multimap b \multimap c$ désigne $a \multimap (b\multimap c)$ pour tous $a,b,c\in P$. Si $H$ est une partie de $P$, notons $\mathcal T(H)$ le plus petit sous-ensemble (intersection) de $P$ contenant $H$ et tel que pour tous $x,y$, si $x$ et $x\multimap y$ sont dans $\mathcal T(H)$ alors $y$ l'est aussi.

    On note $I:=\{x \multimap x \mid x\in P\}$.
    On note $G:= \{(b \multimap c \multimap d) \multimap (a \multimap c) \multimap a \multimap b \multimap d\mid (a,b,c,d) \in P^4\}$.

    Si $J$ est une partie de $P$, On note $\mathcal C(J)$ la plus petite partie de $P$ contenant $G$ et telle que pour tous $x,y\in P$, si $x \multimap y \in C(J)$ et si $x \in J$ alors $y\in \mathcal C (J)$ (bien remarquer la différence avec la définition de $\mathcal T$).
    Le résultat est alors le suivant:
    Pour tout $A\subseteq P$, si $G \cup I \subseteq A$ alors $\mathcal T(A)=\mathcal C(A)$.

    La preuve est algorithmique (l'appartenance d'un élément de $P$ aux ensembles en question équivaut à l'existence respectivement d'un certain arbre et d'une certaine liste et on construit à partir du premier la seconde; la complexité étant catastrophique puisque la taille de cette liste peut dépasser celle du nombre d'atomes dans l'univers si mes impressions ont été bonnes).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • umrk
    umrk
    Les références de cette présentation sont :

    La notion de vérité selon Grothendieck - L. Lafforgue
    (Séminaire ENS "lectures Grothendieckiennes)



    (c'est long, mais ça vaut le coup, et LL explique que, contrairement à ce qu'il pensait en commençant à étudier le sujet, AG n'est pas un bon exemple d'utilisation de l'approche axiomatique "à la Hilbert", question qui devrait intéresser les habitués de ce forum)
  • christophe c
    christophe c
    Foys a écrit:
    c'est un théorème que Christophe a souvent évoqué (mais jamais formalisé et encore moins démontré en tout cas sur ce site)

    C'est une blague??????

    Pas démontré d'accord, mais pas énoncé formellement, là, tu exagères. Je te redonne la verion formelle qui m'est la plua rapide à écrire:

    $P$ est un théorème ssi il existe une suite finie $A,B_1,B_2..,B_n$ telle que (1) et (2), avec :

    1/ $A = (B_1\to (B_2\to (...\to (B_n\to P)...))$

    2/ $A$ et les $B_i$ sont tous des axiomes (ceux que tu veux, selon la théorie où tu travailles, du moment qu'ils contiennent ci dessous)


    [size=x-small]$(A\to B)\to ((X\to A)\to (X\to B))$

    $(A\to B)\to ((B\to X)\to (A\to X))$

    $(A\to (B\to C))\to (A\to (B\to C))$

    $A\to A$

    $(\forall (A\to B))\to ((\forall A)\to (\forall B))$

    $(\forall (A\to B))\to (A\to (\forall B))$, pour $A$ constant[/size]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Le vacuously true anglais se traduit en français par vrai par vacuité.
    Et a vacuous truth par une vérité par vacuité.

    Wikipedia français n’a pas l’article mathématique correspondant mais la page est à compléter (pour ceux que ça intéresse).
  • Foys
    Foys
    Ah merci Christophe! Bon je n'étais pas tombé loin.
    Je me demande quelles applications a un tel résultat.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • marsup
    marsup
    Le vacuously true anglais se traduit en français par vrai par vacuité.
    Et a vacuous truth par une vérité par vacuité.

    Pour avoir PAS MAL traîné mes guêtres sur les bancs de l'école en France métropolitaine, j'estime à 0 le nombre de fois où j'ai entendu cette expression : "vrai par vacuité".

    Peut-être qu'il faut chercher plus idiomatique ?

    J'ai proposé plus haut l'expression "l'affirmation est sans objet" ou "sans contenu".

    J'aime d'autant mieux que la véracité est laissée à la sagacité du lecteur.

    Et puis, en plus, tout le monde sait ce qu'est "l'objet" (comme pour un e-mail) ou "le contenu", alors que "la vacuité", je pense que plein de gens ne savent pas ce que le mot recouvre !
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Je suis d'avis à utiliser le terme "vrai par vacuité" quite à expliquer ce que ça veut dire, au moins on est sûr de quoi on parle.
  • Foys
    Foys
    Ces considérations tournent autour de l'ensemble vide qui est un ensemble noté $\emptyset$, tel que pour tout $x$, on n'a pas $x\in \emptyset$.
    Classiquement, s'il existe $x$ tel que $x\in \emptyset$ et tel que $P(x)$ est fausse, il existe en particulier $x$ tel que $x\in \emptyset$ ce qui est faux. Donc il n'existe aucun $x$ tel que $x\in \emptyset$ et $P(x)$ est fausse. Donc pour tout $x$, on n'a pas ($x \in \emptyset$ et $P(x)$ fausse). Donc pour tout $x$, $x$ entraîne $P(x)$ (puisque "A entraîne B" signifie littéralement "il est faux que A est vraie et B est fausse").

    En mathématiques intuitionnistes la situation est un peu différente puisqu'il n'y a plus de négation au sens où on l'entend habituellement mais un énoncé spécial noté "$\perp$" qui signifie intuitivement "tout est vrai" ($\neg A$ abrège alors $A\Rightarrow \perp$). Dans ce cadre l'ensemble vide est l'ensemble des $x$ tels que tout est vrai.
    Donc si $x\in \emptyset$, tout est vrai donc a fortiori, $P(x)$ est vraie ...
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • xax
    xax
    D'un point de vu pédagogique c'est bien de commencer par dire que c'est { } c'est plus facile pour faire les petits exos de débutant.
    "J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
  • christophe c
    christophe c
    Les vérités vides sont des vérités "vides de risques".

    C'est à dire "vraies sans avoir à tenir compte des sens des mots non grammaticaux".

    C'est à dire les théorèmes de maths (expression utilisée surtout pour ceux ne posant pas de souci de preuves).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Milamber
    Milamber
    YvesM écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2216148,2216534#msg-2216534
    > Le vacuously true anglais se traduit en français par vrai par vacuité.
    > Et a vacuous truth par une vérité par vacuité.

    Merci beaucoup Yves, ça fait sens en effet. Je n'ai jamais entendu cette expression non plus, mais je la trouve efficace et élégante.

    (Par ailleurs, pour vos autres propositions sur ce fil : "affirmation sans objet" ou "sans contenu" ne me semble pas suffisamment insister sur le fait qu'une vacuous truth est vraie ; et "truisme" me semble être quelque chose de conceptuellement totalement différent. En particulier, comme le dit umrk, le truisme est "tellement évident qu'il n'apporte rien", alors qu'une vacuous truth peut être un résultat très utile, voire fondamental, au cours d'une démonstration. Et n'être pas si intuitivement évident que cela --- j'en reviens à l'injectivité de $f : \emptyset \rightarrow X$, qui peut laisser perplexe un certain nombre d'étudiants la première fois qu'ils l'entendent.)
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Pour clarifier si besoin : vrai "par vacuité" est LA traduction et non pas une suggestion/ idée/ proposition à débattre. Je n'invente rien ; comment pourrais-je ?
    Je ne l'ai jamais utilisée, mais de même pour "vacuous truth" que je n'ai jamais lue.

    Il serait bon de lire des articles mathématiques canadiens qui, en général, traduisent en français le résumé anglais.

    Mais je ne lis que des articles de physique...
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Dans "vacuous" il y a l'idée de "vide" (penser à vacuum), donc on pourrait dire "vérité vide", ou encore "vérité creuse", qui semblent beaucoup plus idiomatique que "par vacuité".

    Attention Christophe, je pense que tu commets l'erreur de croire (prétendre ? :-D ) que l'expression "vacuous truth" a un sens précis (et donc ne peut vouloir dire que "théorème des maths" - sur ce point je suis à peu près d'accord), ce qui n'est pas nécessairement vrai - en l'occurrence, ce n'est pas comme ça qu'elle est utilisée. Tous les mots n'ont pas à avoir un sens précis, tant qu'on ne les utilise pas dans des preuves ("C'est une vacuous truth, donc ..." :-D :-D )
  • umrk
    umrk
    Je pensais avoir compris l'expression de Christophe, mais maintenant je n'en suis plus si sûr ... Je l'avais compris de la façon suivante :

    Si, comme Dieu devant un théorème, il nous suffisait de VOIR au lieu de raisonner, tous les théorèmes, y compris les plus difficiles, apparaitraient comme des tautologies.

    (et les Maths toutes entières, par conséquence !)

    Mais peut-être s'agit-il là du stade ultime de la méthode de AG, qui, cela a été remarqué (pas par moi ...), avait tendance à remplacer les démonstrations par des définitions. Si tout est contenu dans des définitions, il n'y a plus rien à démontrer, tout est affaire de tautologie !
  • Milamber
    Milamber
    YvesM a écrit:
    Pour clarifier si besoin : vrai "par vacuité" est LA traduction et non pas une suggestion/ idée/ proposition à débattre. Je n'invente rien ; comment pourrais-je ?
    Tout simplement parce qu'il ne semblait justement pas y avoir de terminologie établie, au sens "connue de tous". ;-)
    (Par ailleurs, "LA traduction" selon qui, quelle référence ? Ce n'est pas du tout par plaisir de taquiner, c'est vraiment pour savoir. Ça me semble étonnant que si ce terme est vraiment "le" bon, il ne soit pour ainsi dire connu et utilisé de personne en France, alors que les anglophones l'utilisent souvent.)
    Maxtimax a écrit:
    Attention Christophe, je pense que tu commets l'erreur de croire (prétendre ?) que l'expression "vacuous truth" a un sens précis (et donc ne peut vouloir dire que "théorème des maths" - sur ce point je suis à peu près d'accord), ce qui n'est pas nécessairement vrai - en l'occurrence, ce n'est pas comme ça qu'elle est utilisée. Tous les mots n'ont pas à avoir un sens précis, tant qu'on ne les utilise pas dans des preuves
    Pas sûr de te suivre :-) Cette expression a un sens très précis, et on l'utilise bien dans des preuves. J'insiste, mais j'ai sous les yeux plusieurs manuels d'analyse anglophones qui l'utilisent régulièrement pour prouver des résultats (e.g., à l'étape d'initialisation de raisonnements par récurrence, ou en théorie des ensembles lorsqu'on traite le cas de l'ensemble vide), donc c'est loin d'être anodin ou d'être une simple pirouette rhétorique.

    J'ai donné plus haut le cas d'une fonction $f : \emptyset \rightarrow X$ injective, mais j'ai aussi sous la main ceci :
    Let $\emptyset$ be the empty set. Then every number $M$ is an upper bound for $\emptyset$, because $M$ is greater than every element of the empty set (this is a vacuously true statement, but still true).
    Rien que dans le même bouquin, via une rapide recherche dans le pdf, je trouve 24 (!) occurrences de cette même expression, vacuously true ou vacuous truth. Je trouvais amusant qu'on en ait des dizaines d'occurrences par bouquin en anglais, et 0 dans toute la littérature mathématique francophone dont j'ai pu avoir connaissance. D'où mon sujet ici. ;-)
  • Foys
    Foys
    Milamber a écrit:
    Pas sûr de te suivre smiling smiley Cette expression a un sens très précis, et on l'utilise bien dans des preuves. J'insiste, mais j'ai sous les yeux plusieurs manuels d'analyse anglophones qui l'utilisent régulièrement pour prouver des résultats (e.g., à l'étape d'initialisation de raisonnements par récurrence, ou en théorie des ensembles lorsqu'on traite le cas de l'ensemble vide), donc c'est loin d'être anodin ou d'être une simple pirouette rhétorique.
    Elle n'a pas de sens précis parce qu'elle abrège des théorèmes différents ($f:\emptyset \to X$ injective n'a pas la même forme que $\forall x\in \emptyset, x = \R$). Il ne faut pas croire non plus que les anglophones sont des modèles de bonne rédaction mathématique (des gens qui osent employer l'expression de "fonction non décroissante" pour parler de fonction croissante ne peuvent figurer dans des arguments d'autorité philosophiques/logiques sans provoquer de malaise :-D). Ce sont quand même les américains qui ont inventé le pédagogisme et la haine du formalisme dans l'enseignement au nom du "tout intuitif" à la base.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • gai requin
    gai requin
    Les algébristes américains m'ont l'air bien au point sur le formalisme.
  • Foys
    Foys
    @gai requin: je dirais que c'est parce que ce sont des bourbakistes B-); on sent tout de suite les bonnes influences (ceux que je connais ce qui ne doit pas représenter grand monde :-D).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • gai requin
    gai requin
    A mon humble avis, plus que l'abandon de la géométrie, c'est le rejet de l'algèbre dans le secondaire qui a porté le coup de grâce à notre enseignement.
    A tel point que les nombres complexes sont maintenant rejetés en maths expertes, une excellente option cependant que je conseille fortement à quiconque veut se lancer dans des maths sérieuses après le bac.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Milamber : le fait que ce soit vacueusement true n'est pas l'argument, l'argument c'est que c'est vrai (l'adjectif vacueusement est là pour que le-a lecteurice voie comment compléter). Donc je maintiens que ce n'est pas un terme précis
    Au même titre que si dans une preuve les mots "c'est évident" apparaissent, tu ne vas pas en déduire que la notion d'évidence est une notion.précise
    (Christophe a bien une définition de quelque chose qu'il appelle "évidence" mais ce n'est pas pour autant que cette définition reflète l'usage effectif du terme)
  • Chaurien
    Chaurien
    Le charabia avance : « le-a lecteurice ».
    Avec la dite « écriture-inclusive » n'importe quel bas-de-plafond peut se forger ses règles et écrire n'importe comment, parce que ça fait bien.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Wow Chaurien c'est génial comme remarque, en plus tu fais vraiment avancer la conversation, merci ! (tu)
  • Dreamer
    Dreamer
    Bonjour.

    Milamber, dans ton dernier extrait, quel sens donnes tu à la fin "but still true" ?

    Pourquoi vouloir rappeler, au bout de trois mots, ce qui vient d'être écrit ?

    À bientôt.

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  • Chaurien
    Chaurien
    Exprime-toi en français correct (si tu en es capable), c'est ça qui permettra d'avancer.
  • christophe c
    christophe c
    @max. Pour info j'appelle "évidence" une conjonction d'axiomes. Il est rare que je sorte de ce sens.

    Mais attention j'appelle conjonction aussi les énoncés de la forme

    "Si (si A alors si B alors si C ...alors Z) alors Z.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Christophe : certainement, mais je n'ai pas besoin de connaître ta définition pour affirmer ce que j'ai affirmé :-D
    (attention, je ne critique ni ta définition, ni ton théorème - je dis juste que ta définition ne colle pas précisément à l'usage pratique du terme; comme pour "vérité vide" puisque ce dernier ne désigne pas en pratique tous les théorèmes, alors que ce serait le cas s'il avait une définition précise, comme tu l'as justifié)
  • Dom
    Dom
    On a le droit d’être contre cette acception du mot « évidence ».
    Une évidence, ça touche davantage à l’humanité et aux sentiments qu’aux mathématiques.

    Pourquoi ne pas dire « conjonction d’axiomes » au lieu de tordre le dictionnaire ?
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Hi everybody!

    "[A] vacuous truth" constitue une vérité vide de sens. Ainsi dit-on d'une assertion qu'elle est trivialement ou videment vraie. Tout a été dit.

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • christophe c
    christophe c
    Bon de mon téléphone pour les gens pas au courant.

    Rien n'est parfait dans ce que j'ai dit "évidemment", la perfection étant...

    Max, oui je l'avais déjà précisé (mais normal de lire en diagonale je le fais moi même)

    Pour tous les non informés TOUTES les maths sont PAR DÉFINITION la liste des vérités grammaticales (vides, comme par exemple a=a).

    Cela produit du fait que tout contenu est automatiquement une faille et donc non irréfutablement prouvable.

    Dans la langue courante par contre on réserve souvent ce mot (tautologique (c'est la traduction du mot demandé au premier post)) pour des vérités dont la vacuité SE VOIT EN PLUS TOUT DE SUITE.

    MAIS je ne voulais pas trop insister sur ce dernier point pour ne pas faire d'ombre au précédent of course.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Milamber
    Milamber
    Dreamer a écrit:
    Milamber, dans ton dernier extrait, quel sens donnes tu à la fin "but still true" ?
    Pourquoi vouloir rappeler, au bout de trois mots, ce qui vient d'être écrit ?
    Parce que pour un étudiant de première année (c'était le public cible de ce manuel), il peut ne sembler nullement évident qu'une vérité sans exemple est une vérité. Pédagogiquement, c'est sans doute utile.
    Thierry Poma a écrit:
    Ainsi dit-on d'une assertion qu'elle est trivialement ou videment vraie.
    Certes, mais il est même incertain que videment soit encore en usage dans le français moderne (en tant qu'adverbe en tout cas). C'était notamment ça qui rendait la traduction compliquée : on n'a même pas, en français, un adverbe équivalent à celui utilisé en anglais. Mais là, on entre dans un champ où j'ai encore moins de compétences qu'en mathématiques, donc je me plante peut-être. :-D

    La discussion a en tout cas soulevé plus de passion que ce à quoi je m'attendais !
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @Milamber : à la suite de CC, tu peux traduire également par tautologiquement vrai.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • umrk
    umrk
    Donc j'avais bien compris : êtres aux capacités misérablement limitées, nous devons nous torturer l'esprit pour accéder à des énoncés qui sont en fait vides.

    C'est bien ça ?

    (le monde se remplit de vide, tout d'un coup ...)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Foys écrivait:
    > Elle n'a pas de sens précis parce qu'elle abrège des théorèmes différents
    > ($f:\emptyset \to X$ injective n'a pas la même forme que $\forall x\in\emptyset, x = \R$).

    Ben si, justement. Ces deux énoncés sont de la forme $\forall x\;(x\in \emptyset \implies A)$ ( le $A$ dans le premier cas est $\forall y\; ((y\in \emptyset \wedge f(x)=f(y)) \implies x=y)$ ). Il semble bien que c'est cette forme précise d'énoncé que les anglo-saxons appellent "vacuously true".
  • christophe c
    christophe c
    @umrk: oui.

    Cependant (je me dépêche, mais suis sur PC, donc peux détailler un peu) :

    1/ Tu as 3 phénomènes, très précis. (Je vais être affirmatif sans rien justifier. Je décris).

    2/ Phénomène1: déplacement de lettres ou symboles. Ca, disons que c'est la vacuité pure (l'ordre dans lequel on fait des hypothèses ne compte pas parce que c'est juste dû à nos contraintes scripturales)

    3/ Phénomène2: Jetage à la poubelle de choses. C'est encore une forme de vacuité très forte, qui veut qu'on peut ne pas utiliser toutes les hypothèses.

    4/ Phénomène4 (qui lui est littéralement explosif) : duplication. On te donne un truc, et on te dit que tu peux le dupliquer autant que tu veux pour réussir une construction.

    5/ Je passe sur le RPA qui n'est pas très important ici.


    6/ Avec P1, P2, disons que tu as la vraie vacuité pure et dure, puisque "tu ne fais rien" pour déduire la conclusion des hypothèses, si ce n'est faire des passages au cas particuliers (qui peut le plus peut le moins). Il existe cependant des situations où le droit de jeter n'est tout de même pas si anodin, mais peu importe.

    Par contre, je peux te dire que le droit de dupliquer est assez violent. Pas tant sur la logique propositionnelle que quand tu as des $\forall xR(x)$ écrits une fois et utilisés 13265456 fois (ce n'est pas tant $(\forall R(x))+(\forall x R(x))+(\forall xR(x))+(\forall x R(x))....$ qui est en soit important que le fait que ça te donne $R(51) + R(14) + R(235468) + ..$)

    7/ Ton slogan est donc correct, mais en ayant en tête ces strates. Le théorème que j'ai rappelé (pour tout théorème $P$, il existe $E$ qui est évident avec $P$ qui est un cas particulier de $E$), fait tout de même que ton géant qui voit tout, partant de $P$ doit examiner toutes les généralisations de $P$ possibles, pour vérifier que $P$ n'est pas un cas particulier d'un "si A alors A", avec une phrase A très longue.

    8/ Pour finir, ce qui est important, en termes "pédagogiques" (enfin un peu plus sérieux que ça), c'est que les maths NE TRAITENT QUE DE FORMES. Le sens des mots n'importe pas, et donc oui, on peut dire que si leur sens "font du bien à l'oreille", les preuves attendues n'en dépendent pas. Ce qui va dépendre de leur sens, c'est le petit truc qui va s'appeler "remarque" ou "commentaire" du livre, du prof, etc, qui expliquera pourquoi il n'a pas rappelé telle hypothèse dans son énoncé final (considérant que tout le monde sait qu'elle est faite), ou au contraire, pourquoi il insiste sur telle hypothèse qui parait évidente.

    9/ Je te laisse avec un exemple bateau: la phrase

    si si A alors B alors si A alors B


    est vide, mais exprime que de A=>B et A, on déduit B. Les deux hypothèses peuvent être interverties ce qui donne :

    si A alors si A alors B alors B


    que nettement moins de gens trouvent comme sautant aux yeux. Le profil mathématique de cette forme est d'ailleurs d'une immense importance puisqu'il envoie naturellement $A$ dans $B^{B^A}$, via

    $$x\mapsto (f\mapsto f(x)) $$

    Autrement dit, la fameuse "vacuité" est une garantie d'infaillibilité, mais on se retrouve vite avec des choses vides qui nous disent subjectivement quelque chose.

    C'est ça la science (le fait qu'elle ne contienne que du déductif (et pour les sciences non maths que le non déductif soit tout entier rejeté dans la liste des hypothèses, froidement et sans appel possible)).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Foys
    Foys
    @GaBuZoMeu:
    je pensais en fait à $\forall x \forall y (x\in \emptyset \to y\in \emptyset \to f(x)=f(y) \to x=y)$ pour " $f:\emptyset \to X$ injective" (conforme à ce qui se passe quand on veut prouver une injectivité, on dit des choses telles que "soient $x$ et $y$ tels que", visant à introduire deux fois un $\forall$ )mais c'est vrai qu'il y a plusieurs manières de l'écrire.
    [size=x-small]Gare aux cheveux coupés en mille.[/size]
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • SERGE_S
    SERGE_S
    Pourquoi ne pas utiliser l'expression "trivalement vraie" ?
  • Foys
    Foys
    SERGE_S a écrit:
    Pourquoi ne pas utiliser l'expression "trivalement vraie" ?
    De telles vérités ne sont pas toujours évidentes.
    Je pense par exemple à l'exo: lorsque $(X,\tau)$ est un espace topologique et $\mathcal F$ est un faisceau sur $(X,\tau)$, combien $\mathcal F(\emptyset)$ a-t-il d'éléments?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je répète que "vacuously true" qualifie un énoncé du type $\forall x\;(x\in \emptyset \implies A)$.
    Un tel énoncé est trivialement vrai (bien que pas mal de gens aient du mal à l'avaler !), mais tout énoncé trivialement vrai n'est pas de ce type.
  • gebrane
    gebrane
    Un exemple
    Soit une chambre vide ( ne contient rien)
    Parmi les phrases suivantes , lesquelles sont vacuously true
    1-«Tous les téléphones portables de la pièce fonctionnent»
    2-«Tous les téléphones portables de la pièce ne fonctionnent pas »
    3-«aucun téléphone portable de la pièce ne fonctionne»
    Le 😄 Farceur


  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La réponse est claire, non ?
  • gebrane
    gebrane
    La 1 et 2 oui.
    La 3 non
    Le 😄 Farceur


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