Polonais, ouverts, parfaits
Salut à tous,
Comme d'hab ça doit être trivial mais je bute sur un point.
Je veux montrer que si $X$ est polonais, il existe une unique décomposition de $X$ sous la forme $X=P \cup D$, avec $P$ fermé parfait, $D$ ouvert dénombrable, et $P \cap D = \emptyset$.
Je lis dans un cours de théorie descriptive le début de preuve suivant :
"On pose $\mathscr U = \{U \subseteq X : U \text{ ouvert dénombrable}\}$.
On pose $D= \bigcup \mathscr U$.
$D$ est un ouvert dénombrable, donc $D \in \mathscr U$. (En fait $D$ est le plus grand élément de $\mathscr U$).
On pose $P=X \setminus D$, puis on montre que $P$ est parfait, puis que la décomposition est unique, blablabla".
Ce qui me gêne c'est : pourquoi $D$ est-il dénombrable ? Pour cela il faudrait se convaincre qu'il y a au plus une quantité dénombrable d'ouverts dénombrables, et je ne sais pas comment faire.
Merci d'avance
Martial
Comme d'hab ça doit être trivial mais je bute sur un point.
Je veux montrer que si $X$ est polonais, il existe une unique décomposition de $X$ sous la forme $X=P \cup D$, avec $P$ fermé parfait, $D$ ouvert dénombrable, et $P \cap D = \emptyset$.
Je lis dans un cours de théorie descriptive le début de preuve suivant :
"On pose $\mathscr U = \{U \subseteq X : U \text{ ouvert dénombrable}\}$.
On pose $D= \bigcup \mathscr U$.
$D$ est un ouvert dénombrable, donc $D \in \mathscr U$. (En fait $D$ est le plus grand élément de $\mathscr U$).
On pose $P=X \setminus D$, puis on montre que $P$ est parfait, puis que la décomposition est unique, blablabla".
Ce qui me gêne c'est : pourquoi $D$ est-il dénombrable ? Pour cela il faudrait se convaincre qu'il y a au plus une quantité dénombrable d'ouverts dénombrables, et je ne sais pas comment faire.
Merci d'avance
Martial
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Réponses
Si $X$ est polonais, alors il est à base dénombrable d'ouverts, tu peux donc réécrire ton $D$ comme une union dénombrable d'ouverts dénombrables, donc $D$ est un ouvert dénombrable.
Il est dans la définition d'un polonais que $D$ soit dénombrable je crois. (Enfin il me semble qu'on exige qu'un polonais soit séparable).
@Bwah : je savais bien qu'il fallait utiliser l'existence d'une base dénombrable, mais je n'arrivais pas à le formuler.
@Christophe : oui, un polonais est un espace complètement métrisable et séparable (ou à base dénombrable d'ouverts, ça revient au même dans le cas métrique).
Oui, ce genre de phénomène se produit assez souvent, et c'est peut-être lié, comme tu dis, au problème des anniversaires.
C'est pour démontrer l'unicité de la décomposition. Je garde les mêmes notations que ci-dessus.
On sait que $X=P \cup D$. Supposons que $X= P' \cup D'$, avec les mêmes propriétés. Comme $D$ est le plus grand élément de $\mathscr U$, on a $D' \subseteq D$, donc $P \subseteq P'$.
Si $P \subsetneqq P'$, alors $P' \cap D \neq \emptyset$.
Jusque là, OK
Mais après il est écrit : "donc, $P' \cap D$ est un ouvert non vide de $X$, qui de plus est dénombrable".
non vide : OK
dénombrable : OK
mais pourquoi ouvert ? C'est l'intersection d'un fermé avec un ouvert...
Je dois trouver que la settheory est trop facile, lol.