Sur une construction de N

fricadelle · April 2021

Bonjour
Je bloque sur une question tirée de Calvo/Doyen/Boschet cours d'analyse tome 1.

Le contexte.
À partir de l'existence du triplet $(\mathbb{N}, 0, s)$, et avec la propriété (N) (cf encadré vert sur le fichier Propriete.pdf) il faut dériver toutes les propriétés usuelles de $\mathbb{N}$.

La première question est de s'assurer de l'injectivité de $s$.
Donc je vous invite à regarder le fichier "exercice.pdf". Je n'arrive pas trop à démontrer ce que j'ai encadré en bleu.
Si j'arrive à démontrer que $u \circ v = id_{\bar{\mathbb{N}}}$, alors je pense que le tour est joué car $v$ est alors injective et, vu la définition de $v$, sa restriction à $\mathbb{N}$, qui n'est autre que $s$, est injective également.

Remarque : pour démontrer que $u\circ s = \bar{s} \circ u$, il suffit d'appliquer la propriété (N) avec $f = \bar{s}$ et $x = *$
Pour démontrer que $u \circ v = id_{\bar{\mathbb{N}}}$, c'est une autre paire de manches mais je constate déjà que :
\[
\begin{align}
(u\circ v)(0) &= u(v(0)) \\
&= u(s(0)) \\
&= \bar{s}(u(0)) \\
&= \bar{s}(*) \\
&= 0
\end{align}

\] Maintenant j'aimerais montrer que $\forall n \in \mathbb{N} ,\quad (u\circ v \circ s)(n)= s(n)$ car alors avec le fait que $(u\circ v)(0) = 0$ et l'unicité de la propriété (N) il vient que $(u\circ v)_{\big|\mathbb{N}} = id_{\mathbb{N}}$ et comme $(u\circ v)(*) = u(0) = *$ on a bien $u \circ v = id_{\bar{\mathbb{N}}}$
Mais :
\[
\begin{align}
\forall n \in \mathbb{N} \quad (u\circ v \circ s)(n)&= u(s(s(n))) \\
&= \bar{s}(s(n))\\
&\ne s(n)
\end{align}

\] Qu'en pensez-vous ?
Merci

PS1. Je suspecte une coquille dans la définition de $\bar{s}$, car la définition est identique à celle de $v$ ! En plus pourquoi la signature de la fonction $\bar{s}$ est $\bar{\mathbb{N}} \rightarrow \bar{\mathbb{N}}$, et pas $\bar{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{N}$ ?

PS2. J'ai vu dans un autre ouvrage une construction de $\mathbb{N}$ dans laquelle on prenait pour axiomes, entre autres, que $s$ était injective et la propriété (N) en découlait... Pourquoi faire un tel choix ici ?

Maxtimax · April 2021

1- Attention par rapport au titre, ce n'est pas une "construction" de $\mathbb N$, mais une caractérisation.

2- $\mathbb N$ est inclus dans $\overline{\mathbb N}$, donc on peut définir $\overline s$ comme l'auteur le suggère.

3- $u(0) = *, u(1) = 0, u(2) = 1$, ... Donc en fait tu peux voir que $u$ choisit à tout le monde un prédécesseur. C'est comme ça qu'on va pouvoir voir que $s$ est injective.

4- $u\circ v$, c'est une application qui va de $\overline{\mathbb N}$ dans lui-même, on a peu de contrôle sur celle-là. C'est pour ça qu'il vaut mieux commencer, comme suggéré, par $v\circ u$. Cette dernière va de $\mathbb N$ dans lui-même, et donc pour prouver que c'est $id_\mathbb N$, il suffit de vérifier en $0$, où c'est clair, et $v\circ u\circ s = v\circ \overline s \circ u$. Maintenant, $v\circ \overline s (*)= v(0) = s(0) = s(v(*))$ et si $n\in\mathbb N$, $v\circ \overline s(n) = v(s(n)) = s(s(n)) = s(v(n))$, de sorte que $v\circ \overline s = s\circ v$.

Donc $v\circ u = id_\mathbb N$.

5 - Maintenant, $u\circ v$, regardons: $u\circ v(*) = u(0) = *$. Soit $i: \mathbb N\to \overline{\mathbb N}$ l'inclusion. Alors $u\circ v\circ i = u \circ s = \overline s \circ u$. Mais $\overline s$ est à valeurs dans $\mathbb N$, donc il existe une unique fonction $h:\mathbb{N\to N}$ telle que $u\circ v \circ i = i\circ h$.

De plus, $i\circ h \circ s = u\circ v \circ i \circ s = u\circ s \circ s = \overline s \circ u\circ v\circ i = \overline s\circ i\circ h= i \circ s\circ h$. Donc ($i$ est injective) $h\circ s = s\circ h$, donc $h= id_\mathbb N$. Donc $u\circ v(n) = n$. Donc $u\circ v = id_{\overline {\mathbb N}}$

fricadelle · April 2021

Merci beaucoup Maxtimax, c'est beaucoup plus clair maintenant !

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