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Lemme de Zorn

Envoyé par Pablo_de_retour 
Lemme de Zorn
26 avril 2021, 02:22
avatar
Bonsoir,

Si nous prenons $ ( \mathbb{N} , | ) $ considéré comme un ensemble partiellement ordonné pour la relation d'ordre partielle $ ''|'' $.
Toute famille d’éléments de $ ( \mathbb{N} , | ) $ totalement ordonnée par $ ''|'' $ admet un plus grand élément. Donc, $ ( \mathbb{N} , | ) $ est un système inductif. Mais, $ ( \mathbb{N} , | ) $ n'a pas un élément maximal.
Où est le hic ?

Merci d'avance.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/04/2021 04:36 par AD.
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 06:24
avatar
Bonjour.

Pablo, pourrais-tu, s'il te plaît, donner au moins un exemple (avec diagramme de Hasse pour pouvoir visualiser) car je ne cerne pas tout à fait où tu veux en venir.

Merci et à bientôt.

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Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/04/2021 06:25 par Dreamer.
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 06:37
avatar
Bonjour Dreamer,
C'est un peu compliqué d'utiliser le diagramme de Hasse.
Il me semble que je n'étais pas assez clair.
$ ( \mathbb{N} , | ) $ est un système inductif ( J'ai expliqué pourquoi ). D'après le lemme de Zorn, il admet un élément maximal. Or, $ \mathbb{N} $ n'a pas en réalité un élément maximal. Ce qui est absurde.
Alors, je n'arrive pas à comprendre ce qui ne va pas à ce stade de raisonnement.
Merci de m'indiquer l'erreur.
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 07:19
Bonjour, peux-tu donner un exemple de système inductif de $(\mathbb{N},\vert)$ qui ne soit pas fini ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/04/2021 11:38 par AD.
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 07:26
avatar
Pardon. Non pas système inductif, mais ensemble inductif. Voir ici, [fr.wikipedia.org]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/04/2021 07:27 par Pablo_de_retour.
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 07:45
Peux-tu donner un exemple de partie totalement ordonnée de $(\mathbb{N},\vert)$ non finie
qui admet un majorant. elle aurait un élément maximal s'il en existe une!
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 07:52
avatar
Merci Alain Lyon, c'était là où je voulais en venir.
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 09:03
C'est fou parce que Pablo arrive à une bonne conclusion pour une fois (je n'ai aucune idée de comment), cherche une explication dans le lemme de Zorn qui n'a pas grand chose avec le schmil-blick, et à la fin dit que la conclusion est fausse.

Explique nous comment tu prouves qu'il est inductif.
Ensuite explique nous pourquoi tu penses que $(\mathbb N, \mid)$ n'a pas d'élément maximal.

Au moins une de ces deux explications contiendra une erreur (je pense que tes 2 explications contiennent une erreur), et là des personnes pourront t'aider

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 17:40
avatar
Citation
AlainLyon
Peux-tu donner un exemple de partie totalement ordonnée de $(\mathbb{N},\vert)$ non finie qui admet un majorant ?

Une partie totalement ordonnée de $(\mathbb{N},\vert)$ non finie qui admet un majorant n'existe pas. Oui, je comprends alors où est le hic. winking smiley
Merci.
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 17:52
Pourquoi affirmer un truc clairement faux dès le départ sans le vérifier ? Je peux aussi démontrer la conjecture de Hodge en fonctionnant comme ça !
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 18:20
avatar
Euh, en réalité, $(\N,|)$ possède un maximum qui vaut $0$.
Re: Lemme de Zorn
26 avril 2021, 18:54
Bisam : oui, cf mon message grinning smiley je voulais voir quand Pablo arriverait à cette conclusion seul (visiblement j'allais attendre longtemps)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
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