Lemme de Zorn

Pablo_de_retour · April 2021

Bonsoir,

Si nous prenons $ ( \mathbb{N} , | ) $ considéré comme un ensemble partiellement ordonné pour la relation d'ordre partielle $ ''|'' $.
Toute famille d’éléments de $ ( \mathbb{N} , | ) $ totalement ordonnée par $ ''|'' $ admet un plus grand élément. Donc, $ ( \mathbb{N} , | ) $ est un système inductif. Mais, $ ( \mathbb{N} , | ) $ n'a pas un élément maximal.
Où est le hic ?

Merci d'avance.

Dreamer · April 2021

Bonjour.

Pablo, pourrais-tu, s'il te plaît, donner au moins un exemple (avec diagramme de Hasse pour pouvoir visualiser) car je ne cerne pas tout à fait où tu veux en venir.

Merci et à bientôt.

Pablo_de_retour · April 2021

Bonjour Dreamer,
C'est un peu compliqué d'utiliser le diagramme de Hasse.
Il me semble que je n'étais pas assez clair.
$ ( \mathbb{N} , | ) $ est un système inductif ( J'ai expliqué pourquoi ). D'après le lemme de Zorn, il admet un élément maximal. Or, $ \mathbb{N} $ n'a pas en réalité un élément maximal. Ce qui est absurde.
Alors, je n'arrive pas à comprendre ce qui ne va pas à ce stade de raisonnement.
Merci de m'indiquer l'erreur.

AlainLyon · April 2021

Bonjour, peux-tu donner un exemple de système inductif de $(\mathbb{N},\vert)$ qui ne soit pas fini ?

Pablo_de_retour · April 2021

Pardon. Non pas système inductif, mais ensemble inductif. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_inductif

AlainLyon · April 2021

Peux-tu donner un exemple de partie totalement ordonnée de $(\mathbb{N},\vert)$ non finie
qui admet un majorant. elle aurait un élément maximal s'il en existe une!

Dreamer · April 2021

Merci Alain Lyon, c'était là où je voulais en venir.

Maxtimax · April 2021

C'est fou parce que Pablo arrive à une bonne conclusion pour une fois (je n'ai aucune idée de comment), cherche une explication dans le lemme de Zorn qui n'a pas grand chose avec le schmil-blick, et à la fin dit que la conclusion est fausse.

Explique nous comment tu prouves qu'il est inductif.
Ensuite explique nous pourquoi tu penses que $(\mathbb N, \mid)$ n'a pas d'élément maximal.

Au moins une de ces deux explications contiendra une erreur (je pense que tes 2 explications contiennent une erreur), et là des personnes pourront t'aider

Pablo_de_retour · April 2021

AlainLyon a écrit:

Peux-tu donner un exemple de partie totalement ordonnée de $(\mathbb{N},\vert)$ non finie qui admet un majorant ?

Une partie totalement ordonnée de $(\mathbb{N},\vert)$ non finie qui admet un majorant n'existe pas. Oui, je comprends alors où est le hic. ;-)
Merci.