Lemme de Zorn
Bonsoir,
Si nous prenons $ ( \mathbb{N} , | ) $ considéré comme un ensemble partiellement ordonné pour la relation d'ordre partielle $ ''|'' $.
Toute famille d’éléments de $ ( \mathbb{N} , | ) $ totalement ordonnée par $ ''|'' $ admet un plus grand élément. Donc, $ ( \mathbb{N} , | ) $ est un système inductif. Mais, $ ( \mathbb{N} , | ) $ n'a pas un élément maximal.
Où est le hic ?
Merci d'avance.
Si nous prenons $ ( \mathbb{N} , | ) $ considéré comme un ensemble partiellement ordonné pour la relation d'ordre partielle $ ''|'' $.
Toute famille d’éléments de $ ( \mathbb{N} , | ) $ totalement ordonnée par $ ''|'' $ admet un plus grand élément. Donc, $ ( \mathbb{N} , | ) $ est un système inductif. Mais, $ ( \mathbb{N} , | ) $ n'a pas un élément maximal.
Où est le hic ?
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Réponses
Pablo, pourrais-tu, s'il te plaît, donner au moins un exemple (avec diagramme de Hasse pour pouvoir visualiser) car je ne cerne pas tout à fait où tu veux en venir.
Merci et à bientôt.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
C'est un peu compliqué d'utiliser le diagramme de Hasse.
Il me semble que je n'étais pas assez clair.
$ ( \mathbb{N} , | ) $ est un système inductif ( J'ai expliqué pourquoi ). D'après le lemme de Zorn, il admet un élément maximal. Or, $ \mathbb{N} $ n'a pas en réalité un élément maximal. Ce qui est absurde.
Alors, je n'arrive pas à comprendre ce qui ne va pas à ce stade de raisonnement.
Merci de m'indiquer l'erreur.
qui admet un majorant. elle aurait un élément maximal s'il en existe une!
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Explique nous comment tu prouves qu'il est inductif.
Ensuite explique nous pourquoi tu penses que $(\mathbb N, \mid)$ n'a pas d'élément maximal.
Au moins une de ces deux explications contiendra une erreur (je pense que tes 2 explications contiennent une erreur), et là des personnes pourront t'aider
Une partie totalement ordonnée de $(\mathbb{N},\vert)$ non finie qui admet un majorant n'existe pas. Oui, je comprends alors où est le hic. ;-)
Merci.