Théorème de Cantor-Bernstein
Bonjour, pensez-vous qu'il est raisonnable d'essayer de démontrer tout seul le théorème de Cantor-Bernstein ou bien la preuve est trop délicate pour une personne normale. Je précise que je pose la question car pour moi " essayer " peut prendre des semaines, je ne veux pas pour une fois me spoiler la preuve et j'avais cru comprendre qu'elle était difficile.
Cordialement.
Cordialement.
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Réponses
Oui. La SINCERITE sera une stratégie hautement catalysatrice de réussite ici d'ailleurs.
Bon courage.
Fr. Ch.
Soient $E,F,f,g$ avec $f$ injecte $E$ dans $F$ et $g$ injecte $F$ dans $E$.
On pose $h:=g^{-1}:=\{(x,y)\mid (y,x)\in g\}$
Alors il existe une bijection $h:E\to F$ telle que $h\subset (f\cup h)$.
Ca réduit les errements :-D
En gros, CB parait "difficile" car énoncé de manière qui donne la possibilité d'errer au hasard dans beaucoup d'endroits, mais c'est un phénomène en fait bien plus rigide qui se produit.
Edit enblue, merci Max.
Pour ceux que ça intéresse, j'ai aussi une preuve "romantique" basée sur la preuve classique, mais qui a la caractéristique de ne pas comporter l'ombre d'un symbole mathématique.
Clairement la preuve visuelle avec des allers et retours dont on compte la parité dans les deux ensembles est la plus simple à comprendre.
Mais dans celle avec le théorème du point fixe on a un outil qui se réutilise ailleurs, de plus elle contient moins de présupposés (et comme c'est en fait la première que j'avais vue en étant étudiant elle a une valeur sentimentale pour moi :-D).
Si E+E est en bijection avec F+F alors E et F sont en bijection
Si oui, $E+E$ est infini si et seulement si $F+F$ l'est (j'interprète "$A+B$" par $(A\times \{0\})\cup B\times \{1\}$) et le cas échéant (l'exo étant facile dans le cas fini) $E$ s'injecte dans $F+F$ qui s'injecte dans $F$ et vice-versa puis on conclut avec Cantor Bernstein.
Est-ce exact ?
De mon téléphone
C'est une reformulation qui 1- explicite le point fixe obtenu (puisqu'une version de Knaster-Tarski est constructive) et 2- est plus facilement explicable à des gens qui n'ont pas d'expérience en TDE (et plus intuitive, plus imagée, on peut faire plus de dessins etc.); mais c'est essentiellement la même.
La troisième, par contre, je ne sais pas :-D
@Christophe : 1) Il y a celle (la plus classique à mon sens) donnée page 8 dans le livre de Patrick. (J'ai la flemme de recopier, et puis je ne veux pas casser la baraque à 20100N).
2) Il y a celle avec les "ancêtres" à laquelle Foys fait allusion plus haut. Soient $f : A \to B$ et $g : B \to A$ des injections. Pour $x \in A$ on appelle ancêtre de $x$ l'antécédent de $x$ par $g$ (s'il existe), l'antécédent par $f$ de l'antécédent par $g$ de $x$ (toujours s'il existe), etc. Tu partitionnes $A$ en ceux qui ont un nombre pair d'ancêtres, ceux qui ont un nombre impair d'ancêtres, et ceux qui en ont une infinité. Tu fais la même chose dans $B$, et après tu recolles les morceaux de façon adéquate.
3) Il y a celle avec le théorème du point fixe, qui est conceptuellement plus complexe, mais qui a l'avantage de ne pas présupposer $\omega$, comme vient de le confirmer Max.
Enfin, je crois qu'il y a un petit malin qui s'est amusé à donner une preuve de CB qui utilise Zorn, mais la seule fois où je l'ai vue je l'ai oubliée dans les 5 mn, car c'est vraiment de la méchanceté !
Purée, je vais mettre une croix dans le calendrier : c'est bien la première fois que je t'apprends quelque chose, lol.
ça dépend de ce que tu fais dans la preuve avec point fixe: celle-ci marche pour tout point fixe choisi et a priori il y en a plusieurs (ça ne doit pas être compliqué de trouver des exemples où c'est le cas), et donc cette preuve "construit" plusieurs bijections; alors que celle avec pair/impair n'en construit qu'une. Si on prend le plus petit point fixe (je crois - ou en tout cas un truc du genre), ça va donner la même bijection, mais si on s'autorise un point fixe arbitraire, non .
Je ne sais pas ce que savent les set theorist professionnels, mais comme ils visent la résolution de problèmes ouverts, ils mettent de côté des tas de survenues culturelles dans leur milieu qui fait que si ça se trouve, même eux ne savent pas tout ce que tu as collecté.
A ce propos une anecdote, qui est plutôt une coïncidence. Peut-être te souviens-tu, il y a quelques mois tu m'avais proposé un exo : montrer que, même s'il existe des cardinaux qui sont n-huge pour tout n, il ne peut pas exister de cardinal $\kappa$ et de plongement $j : \mathbb{V} \prec M$ qui témoigne à lui tout seul de la n-hugeness de $\kappa$ pour tout n. (Ça explose forcément à un rang fini).
Or, j'ai lu il y a quelques jours dans un des papiers de Corazza l'explication suivante : il définit ce qu'est un cardinal n-huge pour tout n, puis il veut expliquer que cette hypothèse est à l'extrême limite de l'inconsistance. Pour cela il s'amuse à intervertir les quantificateurs (il remplace $\forall n \exists j$ blablabla par $\exists j \forall n$ blablabla) et montre que la théorie ainsi obtenue est inconsistante. C'est exactement ton exo.
"Si E+E est en bijection avec F+F alors E et F sont en bijection" ?
Tentative de réponse et je suppose que E+E désigne l'ensemble des élements de type a,b où a et b appartiennent à E (et je noterais A et B les élements de F)
Si E et F ont un nombre fini d'éléments ça paraît simple:
- On note Ce le nombre d'élements de E et Cf celui de F, alors le nombre d'éléments de E+E est Ce^2 et celui le F+F est Cf^2.
Si E+E et F+F sont en bijection alors ils ont le même nombre d'élements, Ce^2 = Cf^2 donc Ce = Cf.
Si Ce = Cf il suffit de numéroter leurs élements pour avoir une bijection: numéro 1 de E avec numéro 1 de F etc.
On peut extrapoler ce raisonnement à tous les ensembles dénombrables E et F: le nombre d'élements est aussi grand qu'on veut mais on peut toujours numéroter leurs éléments et établir cette correspondance.
Restent les ensembles dont on ne peut pas numéroter les élements.
Et là on va se coucher.
Note à moi-même:
1 - E et F sont interchangeables dans la démonstration.
2 - Si X implique Y, non-Y implique non-X.
3 - Si A et a non liés par bijection (idem pour B et b) alors a minima injection (ou surjection, cf 1) [NON?]
Tu confonds $E+E$ avec $E \times E$.
$$E+E = (E \times \{0\}) \cup (E \times \{1\}).$$
Y a quelque chose qui cloche là-dedans
J'y retourne immédiatement