Isomorphisme de foncteurs
Bonjour,
j'aimerais, si possible, des indices pour résoudre cet exercice.
J'ai réussi la première partie de la question qui est immédiate et j'essaye de prouver la deuxième partie par l'absurde mais je ne sais pas trop dans quel sens chercher ma contradiction.
j'aimerais, si possible, des indices pour résoudre cet exercice.
J'ai réussi la première partie de la question qui est immédiate et j'essaye de prouver la deuxième partie par l'absurde mais je ne sais pas trop dans quel sens chercher ma contradiction.
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Réponses
Si c'est le cas je vois comment arriver au résultat dont vous faites références.
Quelle est la définition d'une transformation naturelle?
Cela ne va pas changer grand chose à la solution en fait.
Merci beaucoup, bonne soirée.
Il se trouve par exemple que dans tout corps on peut exhiber des matrices carrées qui n'ont pas la même trace que leur inverse (lesquelles?).
Je parle de chose que je ne connais pas mais il me semble que si K est un corps, il est plongé dans un corps plus grand qui est algébriquement clos. On peut trigonaliser dans ce corps, on s'aperçoit alors que les valeurs propres de notre matrice (inversible) sont les inverses des valeurs propres de son inverses et donc dire que toute matrice inversible est semblable à son inverse signifierait que toute matrice ne peut posséder que le neutre multiplicatif du corps comme valeur propre ce qui est absurde.
Pour une matrice carré qui n'a pas même trace que son inverse il suffit de prendre une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux ne sont pas involutifs ?
(c'est un énoncé un peu idiot quand on voit ce qu'il y a dessous, mais qui a des conséquences amusantes donc ne crachons pas dessus :-D )
Du coup sur $\mathbf F_2$ il faut forcément réfléchir un petit peu plus, puisqu'il faut travailler en dimensions $\geq 2$.
Je viens de réfléchir à ce que vous m'aviez suggéré, à savoir utiliser la trace, et c'est en fait une très bonne idée car cela me permet de ne pas utiliser le fait qu'une matrice carrée est semblable à sa transposée ce qui me semble non trivial dans le cas général (peut être y a-t il un raccourci lorsque la matrice considérée est inversible ?)
Pour ta question, je ne pense pas que ce soit plus simple lorsque la matrice est inversible - enfin je n'ai jamais vu de telle preuve, ce qui n'exclut pas qu'il y en ait une.