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Isomorphisme de foncteurs

Bonux73Bonux73
dans Fondements et Logique
Bonjour,
j'aimerais, si possible, des indices pour résoudre cet exercice.
J'ai réussi la première partie de la question qui est immédiate et j'essaye de prouver la deuxième partie par l'absurde mais je ne sais pas trop dans quel sens chercher ma contradiction.121394

Réponses

  • Bonux73Bonux73
    Je ne sais pas si c'est utile mais :121396
  • FoysFoys
    Que se passe-t-il quand on prend un seul élément $E$ de $\mathcal C$ et qu'on écrit la relation exprimant l'isomorphisme naturel (éventuel) entre $E$ et $E^{\perp}$? existe-t-il $f:E\to E^{\perp}$ inversible et tel que pour tout $g\in GL(E)$, $f \circ \left (g^{-1} \right )^{\perp} = g \circ f$ (edit: la relation est en fait: $ \left (g^{\perp} \right )^{-1} \circ = f \circ g$ )?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bonux73Bonux73
    Il me semble que ce que vous avez écrit est faux, il faudrait remplacer f par f^(-1) je crois.
    Si c'est le cas je vois comment arriver au résultat dont vous faites références.
  • FoysFoys
    Bonux73 a écrit:
    Il me semble que ce que vous avez écrit est faux, il faudrait remplacer f par f^(-1) je crois.

    Quelle est la définition d'une transformation naturelle?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • FoysFoys
    Ah oui la bonne relation est: $\left (g^{\perp} \right)^{-1} \circ f = f \circ g$ (sinon on a une transformation naturelle de $G$ vers $F=id$).
    Cela ne va pas changer grand chose à la solution en fait.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bonux73Bonux73
    Je suis d'accord avec cette relation. On montre que pour tout automorphisme g, g^{-1} et g* sont conjugués ce qui semble clairement faux si on y repense avec des matrices. En effet toute matrice est semblable à sa transposée et donc nous aurions prouvé que toute matrice est semblable à son inverse ce qui est clairement faux. Je pense que vous approuverez.
    Merci beaucoup, bonne soirée.
  • FoysFoys
    Bonux73 a écrit:
    En effet toute matrice est semblable à sa transposée et donc nous aurions prouvé que toute matrice est semblable à son inverse ce qui est clairement faux.
    Ce qui est acceptable (en termes de niveau de détail de la rédaction du message) va dépendre du destinataire du message. Le "clairement" mérite une petite explication (un jury de concours l'exigerait).

    Il se trouve par exemple que dans tout corps on peut exhiber des matrices carrées qui n'ont pas la même trace que leur inverse (lesquelles?).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bonux73Bonux73
    Je suis d'accord pour plus d'explications. Le raisonnement que j'avais était basé sur les valeurs propres.
    Je parle de chose que je ne connais pas mais il me semble que si K est un corps, il est plongé dans un corps plus grand qui est algébriquement clos. On peut trigonaliser dans ce corps, on s'aperçoit alors que les valeurs propres de notre matrice (inversible) sont les inverses des valeurs propres de son inverses et donc dire que toute matrice inversible est semblable à son inverse signifierait que toute matrice ne peut posséder que le neutre multiplicatif du corps comme valeur propre ce qui est absurde.

    Pour une matrice carré qui n'a pas même trace que son inverse il suffit de prendre une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux ne sont pas involutifs ?
  • FoysFoys
    Oui cela marche et en fait on peut s'en inspirer pour construire une telle matrice dans le corps de base.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • FoysFoys
    Seul le corps $\mathbf F_2$ pose problème en fait, sinon on regarde le déterminant et cela règle la question.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bonux73Bonux73
    Parfait merci beaucoup. (J'aurais mis ma main à couper qu'il existait un corps pile comme il fallait pour que ce que je raconte soit faux et j'avais bien raison).
  • FoysFoys
    L'énoncé est vrai dans $\mathbf F_2$ mais comme les outils expéditifs ne marchent plus il faut ruser (un peu...).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • MaxtimaxMaxtimax
    La raison pour laquelle ça se complique sur $\mathbf F_2$ est que l'énoncé est vrai, mais faux si on se restreint à la dimension $1$: deux $\mathbf F_2$-espaces vectoriels de dimension $1$ quelconques sont canoniquement isomorphes.

    (c'est un énoncé un peu idiot quand on voit ce qu'il y a dessous, mais qui a des conséquences amusantes donc ne crachons pas dessus :-D )

    Du coup sur $\mathbf F_2$ il faut forcément réfléchir un petit peu plus, puisqu'il faut travailler en dimensions $\geq 2$.
  • Bonux73Bonux73
    Oui je suis d'accord Matimax, si la matrice n'est pas de taille 1 on devrait s'en sortir en faisant apparaitre des valeurs propre qui sont dans la clôture algébrique et qui n'y sont pas involutives, c'est assez amusant de voir que ce cas est le seul qui résiste à cette démo. Je pense cependant qu'il doit être assez courant que F2 pose problème pour la même raison.

    Je viens de réfléchir à ce que vous m'aviez suggéré, à savoir utiliser la trace, et c'est en fait une très bonne idée car cela me permet de ne pas utiliser le fait qu'une matrice carrée est semblable à sa transposée ce qui me semble non trivial dans le cas général (peut être y a-t il un raccourci lorsque la matrice considérée est inversible ?)
  • MaxtimaxMaxtimax
    Oui par exemple c'est une manière de faire. Tu peux prendre une matrice compagnon d'un polynôme gentil pour n'avoir aucun calcul à faire.

    Pour ta question, je ne pense pas que ce soit plus simple lorsque la matrice est inversible - enfin je n'ai jamais vu de telle preuve, ce qui n'exclut pas qu'il y en ait une.
  • Bonux73Bonux73
    D'accord, merci.
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