Exemples d'égalités non symétriques
[Il n'est pas correct d'effacer le message initial de la discussion dès lors que quelqu'un s'est donné la peine d'y répondre. Je le rétablis. AD]Bonjour à tous,
il me semble qu'il existe une utilisation du symbole "=" qui n'est pas symétrique, celle que l'on utilise dans les développements limités (notation de Landau il me semble).
Si je ne me trompe pas, autour de 0 on a : x2 = o(x) mais o(x) n'est pas égal à x2.
Je voudrais savoir si vous connaissiez d'autres exemples d'utilisation du symbole "=" qui n'est pas symétrique.
Merci
il me semble qu'il existe une utilisation du symbole "=" qui n'est pas symétrique, celle que l'on utilise dans les développements limités (notation de Landau il me semble).
Si je ne me trompe pas, autour de 0 on a : x2 = o(x) mais o(x) n'est pas égal à x2.
Je voudrais savoir si vous connaissiez d'autres exemples d'utilisation du symbole "=" qui n'est pas symétrique.
Merci
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Réponses
C'est que c'est un abus de langage, voire de notation pour dire que $x\mapsto{}x^2\in\mathrm{o}(x)$ au voisinage de $0$.
Quand on écrit $x^2=o(x)$, on a bien $o( x)=x^2.$
Dire que $o(x)$ n’est pas $x^2$, c’est aussi étrange que de dire :
Dans l’équation $x^2=a$, $a$ n’est pas égal à $x^2$ puisque l’on peut écrire une autre équation $x^2+1=a.$
Non ?
En toute rigueur, il ne faudrait pas écrire : $x^2=o(x)$, mais $x^2 + o(x)=o(x)$.
C'est comme de dire $5 + 12\Z = 17+12\Z$, soit $5 \equiv 17 \mod 12$.
$\sqrt a \sqrt b = \sqrt {ab}$
$\ln(a)+\ln(b) =\ln(ab)$
L'égalité étant comprise comme "si on peut écrire le premier membre, on peut le remplacer par le second".
Bien sûr, il s'agit d'un abus d'écriture, à n'utiliser qu'entre affins.
Cordialement.
Mais si tu voulais seulement parler des notations de négligeable, il fallait le dire, on t'aurait renvoyé à un fil récent sur le sujet.
Mais = est employé :
* à l'école primaire pour indiquer le résultat d'un calcul ("d'une opération"), avec parfois l'écriture 2*3=6+5=11 qui est tout sauf une égalité;
* dans certains langages informatiques pour indiquer une affectation
et dans ces deux cas, il n'y a pas symétrie.
Cordialement.
Déjà une petite remarque sur une variante : le symbole "$:=$" est souvent utilisé pour dire "on définit machin comme machin", et lui est tout à fait asymétrique. Je ne sais pas si tu le comptes .
D'autres exemples en algèbre typiquement viennent de problèmes de typage: parfois on a une manière évidente d'oublier des données, et on écrira $A=B$ alors que $A$ a moins de données que $B$ (et on les a oubliées sur $B$), mais on n'écrira pas $B=A$ (parce que $B$ a plus de données que $A$)
Peut-être pour clarifier le propos, un exemple: disons que $H\leq G$ sont des groupes, $B$ est un espace vectoriel avec une action de $G$, et $A$ avec une action de $H$. On va parfois se permettre d'écrire $A=B$ si la restriction de $B$ à $H$ est (canoniquement isomorphe à) $A$, mais pas dans l'autre sens (enfin ça se verra moins)
"$A\underset{t\to y}{=}o(B)$" est une abréviation de
"il existe un voisinage $V$ de $y$ et une fonction $u$ définie sur $V$, telle que $u(x)\underset{x\longrightarrow y} {\rightarrow} 0$" et telle que $A = u(t) B$ pour tout $t\in V$
Une variante (qui ne rentre pas à proprement parler dans ta question, donc j'espère que ce n'est pas une trop grosses digression) : quand on prouve quelque chose qui à la fin repose sur une "analyse numérique" et qu'on conclut par "et donc on conclut, parce que $2= 1+1$" (j'ai mis "$2=1+1$ au hasard, parfois on dira "parce que $12= 2\times 6$" etc. ). Dans ces cas, souvent, dire "parce que $1+1=2$" ne convient pas, donc ça rentre presque dans ton cadre (mais pas vraiment, parce qu'on comprendrait quand même). Ce sont aussi des cas où des opérations comme $\times$ et $+$ ne sont plus forcément commutatives :-D (à l'écrit, on parle toujours de conventions et de symboles bien sûr)
Foys: à nouveau, JP2021 n'a pas l'air d'avoir de problème de compréhension à ce niveau-là... la question est vraiment au sujet de l'usage du symbole $=$, pas des mathématiques sous-jacentes au petit o.
L'égalité des matheux est l'égalité de Leibniz:
on a $\forall x,y,(x=y)\Rightarrow P(x) \Rightarrow P(y)$ pour toute propriété.
C’est un abus d’écriture. Et ce n’est pas grave, quand on le sait.
Dom,Foys, et toutes les personnes qui viennent expliquer à JP2021 que ce n'est pas une vraie égalité : ce n'est pas la question
(en espérant que du gras rouge sera repéré par toute personne qui viendra et se dira qu'il faut quand même mentionner que c'est un abus de notation :-D)
Je ne pense pas qu'on puisse faire l'économie d'une description bas niveau du formalisme si le lecteur ne se satisfait pas du handwaving.
Tout ce qui suit ci-dessous suppose la maîtrise fluide de la liaison des variables (sinon la taille du texte double sans amélioration de lisibilité).
Soit $L$ un langage du premier ordre dans lequel il y a un seul symbole de relation à deux arguments "$\in$".
On pose $x=y:=\forall z(z \in x \leftrightarrow z \in y)$. On appelle axiome d'extensionalité l'énoncé $EXT:= \forall x\forall y\forall z(x=y \to x\in z\to y\in z)$.
On peut montrer par induction sur sa taille que, étant donné un énoncé quelconque $Q$ à une variable libre $t$, $EXT$ entraîne $$\forall x \forall y ((x=y \wedge Q[t:=x])\to Q[t:=y]) \tag 1$$
D'autre part appelons une "classe" la donnée d'une formule $R$ et d'une lettre $a$ (figurant éventuellement dans $R$) on note $\{a \mid R\}$ une telle chose. Un "terme" est une lettre ou une classe.
(NB: Un quantificateur est toujours suivi d'une lettre désignant un ensemble cependant; on ne quantifie pas sur les classes).
Si $P$ est une formule et $x$ une lettre on définit
"$t$ est l'ensemble des $x$ tels que $P$" := $\forall x, (x\in t \leftrightarrow P)$
"$\{x\mid P\}$ est un ensemble" := il existe $t$ tel que $t$ est l'ensemble des $x$ tels que $P$.
(exemple célèbre dû à Russell: $\{a \mid a \notin a\}$ n'est pas un ensemble).
"$ u \in \{x \mid P\}$":=$P[x:=u]$
"$\{x \mid P\} \in u$":= il existe $t$ tel que $t\in u$ et $t$ est l'ensemble des $x$ tels que $P$.
"$\{x \mid P\} \in \{y\mid Q\}$":= il existe $t$ tel que $Q[y:=t]$ et $t$ est l'ensemble des $x$ tels que $P$.
$A\subseteq B$:= $\forall x(x \in A \to x \in
Avec ça, on voit que pour toutes lettres $v_1,...,v_d$ et tous termes $T_1,...,T_d$ (i.e. des lettres ou des expressions de la forme $\{z \mid R\}$), il est possible de définir par induction sur la taille de la formule $F$, une formule $F[v_1:=T_1,...,v_d:=T_d]$.
Avec ces considérations, on montre par induction (l'initialisation est un peu fastidieuse et requiert $(1)$ cependant) sur la taille de la formule $Q$, que la propriété $(1)$ se généralise à des termes quelconques $T_1,T_2$: sous l'hypothèse $EXT$ on démontre que si $T_1$ est un ensemble alors $T_2$ aussi et
$$T_1 = T_2 \to Q[x:=T_1] \to Q[x:=T_2] \tag 2$$
Avec bien sûr "$T_1=T_2$" qui abrège $(x:=y)[x:=T_1,y:=T_2]$ i.e. $\forall z(z\in T_1 \leftrightarrow z\in T_2)$.
Presque toutes les mathématiques courantes et toutes les mathématiques scolaires s'expriment in fine dans ce langage (ou plutôt dans des successions innombrables d'abréviations des formules évoquées dans ce message qui sont très longues et presque totalement illisibles) avec la théorie des ensembles, qui est une collection d'axiomes à rajouter à EXT (la liste se trouve facilement, cf wikipédia) pour garantir que la majorité des termes intéressants définis sont des ensembles. L'énoncé $(2)$ dit simplement qu'une fois qu'on sait que l'ensemble $T_1$ et égal à $T_2$, $T_1$ pourra être remplacé partout par $T_2$ dans les exposés, calculs etc.
Grosso modo $P[a:=T]$ signifie "l'ensemble défini par $T$ vérifie la propriété ($P$ de la variable $a$)".
[size=x-small](*)Les relations d'équivalence sont la bonne généralisation de la notion d'égalité. Dans la vraie vie, contrairement en maths, le mot égalité renvoie à une notion de relation d'équivalence dépendant du contexte.[/size]
[Edit : je viens de lisser ton texte légèrement. (T. P.)]
Seul un être extérieur au monde des hommes peut dire que ces créatures bizarres sont toutes égales... en imbécillité!
Des fois on peut écrire de manière informelle des choses comme $f(x)={\rm cste}$ ou $f={\rm cste}$ pour dire que $f$ est une constante. Et on peut élaborer un peu : "$y = {\rm cste}\cdot x$" pour traduire une relation de proportionnalité ou "$\int x\,{\rm d}x = \frac{x^2}2 + {\rm cste}$". Mais écrire ${\rm cste} = f$, serait bizarre ; ça ne se fait pas trop. C'est le même type d'abus de notation rendant "$=$" asymétrique que $o(\dots)$ (mais celui-là n'est pas "officiel" disons).
À part ça et le $:=$ mentionné par Max, je ne crois pas connaître d'autre usage asymétrique du signe $=$.
Dans le fil que je citais on avait par exemple l’usage (abusif) : $o(x^2)=o(x)$ dont les auteurs en général en donnent le sens suivant :
Si une fonction est négligeable en $0$ devant $x\mapsto x^2$ alors elle est négligeable en $0$ devant $x\mapsto x$.
J’avais parlé de paresse je crois.
Une prof que j’aimais beaucoup à Paris 6 (UPMC) disait parfois « Comme mathématicien est très flemmard... ».
Elle justifiait de manière humoristique l’usage et l’invention de telle ou telle notation. C’était bien sûr une boutade avec, comme parfois, un fond de vérité. Je ne sais plus si elle enseigne encore.
Le drame de la traduction mot à mot appliqué à un des verbes les plus ambigus imaginables (le verbe être qui est avant tout un accessoire grammatical).
Comment mal écrire des affirmations comme "$f$ appartient à l'ensemble des fonctions négligeables devant $g$ en $+\infty$" ou "F est une primitive de $f$"?