Tailles des infinis, ou Cantor et à travers
Bonjour
Je ne sais pas si ma question relève de cette partie du forum, et je suppose qu'elle a été traitée par ailleurs mais je ne trouve pas où.
Mon fils a réussi à me convaincre de ce que l'infini des entiers est nettement plus petit que celui des réels en utilisant la diagonale de Cantor*.
Pour autant il me semble qu'avec une logique similaire on pourrait montrer qu'il y a autant d'entiers que de réels, comme suit.
- Un réel x compris entre 0 et 1 se note 0,abcdef... où chaque lettre représente un chiffre. abcdef... correspond à un nombre entier positif (propre à chaque x).
- Inversement, quel que soit le nombre entier n = abcdef... on peut lui associer un nombre réel noté 0,abcdef... qui sera compris entre 0 et 1, (propre à chaque n).
- On a ainsi construit une bijection entre l'ensemble des entiers naturels, et l'ensemble des nombres réels compris entre 0 et 1 : ces deux ensembles ont donc la même taille.
- Il existe autant de réels x entre 0 et 1 que de réels y entre 1 et l'infini puisqu'on peut établir une bijection en prenant y = 1/x par exemple
- Il existe autant de réels y entre 1 et l'infini que de réels z entre 0 et l'infini puisqu'on peut établir une bijection en prenant z = y -1 par exemple
- Donc il existe autant de nombres réels compris entre 0 et 1 que de réels entre 0 et l'infini.
Au final, il y a donc autant d'entiers naturels que de réels positifs.
Bon, je me doute bien que ce n'est pas moi qui vais réfuter Cantor mais je serais curieux de comprendre où se trouve mon erreur ?
Si une bonne âme veut bien me dessiller les yeux ...
* J'ai quand même un doute sur la validité de la méthode puisqu'il me semble qu'elle repose sur un algorithme, or rien ne dit que cet algorithme aboutit.
Je ne sais pas si ma question relève de cette partie du forum, et je suppose qu'elle a été traitée par ailleurs mais je ne trouve pas où.
Mon fils a réussi à me convaincre de ce que l'infini des entiers est nettement plus petit que celui des réels en utilisant la diagonale de Cantor*.
Pour autant il me semble qu'avec une logique similaire on pourrait montrer qu'il y a autant d'entiers que de réels, comme suit.
- Un réel x compris entre 0 et 1 se note 0,abcdef... où chaque lettre représente un chiffre. abcdef... correspond à un nombre entier positif (propre à chaque x).
- Inversement, quel que soit le nombre entier n = abcdef... on peut lui associer un nombre réel noté 0,abcdef... qui sera compris entre 0 et 1, (propre à chaque n).
- On a ainsi construit une bijection entre l'ensemble des entiers naturels, et l'ensemble des nombres réels compris entre 0 et 1 : ces deux ensembles ont donc la même taille.
- Il existe autant de réels x entre 0 et 1 que de réels y entre 1 et l'infini puisqu'on peut établir une bijection en prenant y = 1/x par exemple
- Il existe autant de réels y entre 1 et l'infini que de réels z entre 0 et l'infini puisqu'on peut établir une bijection en prenant z = y -1 par exemple
- Donc il existe autant de nombres réels compris entre 0 et 1 que de réels entre 0 et l'infini.
Au final, il y a donc autant d'entiers naturels que de réels positifs.
Bon, je me doute bien que ce n'est pas moi qui vais réfuter Cantor mais je serais curieux de comprendre où se trouve mon erreur ?
Si une bonne âme veut bien me dessiller les yeux ...
* J'ai quand même un doute sur la validité de la méthode puisqu'il me semble qu'elle repose sur un algorithme, or rien ne dit que cet algorithme aboutit.
Réponses
-
Bonjour,
Le problème c'est qu'un réel peut avoir un nombre infini de chiffres après la virgule alors qu'un nombre entier n'a qu'un nombre fini de chiffres. -
Calli
Donc mon raisonnement ne marche pas ... déçu, je suis.
Merci !
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Martial
J'avoue que je le sentais pas trop, de toute façon.
Mais puisqu'il n'est pas nécessaire d'espérer pour entreprendre, ni de réussir pour persévérer, je m'en vais proposer une réfutation de la démonstration selon laquelle il y a autant de points dans un carré que dans un de ses côtés.
À suivre ;-)
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Ceci dit les fausses preuves peuvent avoir un certain charme si elles sont bien faites. Leur élégance consiste à bien cacher l'entourloupe...
-
Alors la question devient: l'infini du nombre de points compris dans un carré est-il plus grand que l'infini du nombre de points dans un côté dudit carré ?
En me grattant la tête j'ai fini par trouver une possible démonstration, qui se trouve être celle proposée par Cantor (j'étais pas peu fier en vérifiant ;-) mais elle ne me satisfait pas.
Ce que je comprends de la démonstration classique :
Prenons un carré de côté 1, avec son coin en bas à gauche de cordonnées (1,1). Chaque point du carré (ou du moins son intérieur) a pour coordonnées X et Y, où X et Y sont des réels, strictement inférieurs à 1.
X peut être noté X=0,abcdef... (ou a, b, c,.. sont des chiffres) en notation décimale
Y peut être noté Y=0,ABCDEF.. (idem pour A, B, C ...) en notation décimale
On peut créer un nombre W noté 0,aAbBcCdDeE...
Qui sera (au moins en apparence) un nombre réel.
Inversement, tout nombre réel W noté 0,rstuvw... peut se décoder en deux autres réels X noté 0,rtv... et Y noté 0,suw...
On a donc établi une bijection entre l'ensemble des nombres W (réels entre 0 et 1) et l'ensemble des couples de nombres X et Y (idem)
Donc (selon Cantor et bibi) il y a autant de nombre réels W que de couples de nombres réels (X;Y).
Autant de point dans le carré dans le côté du carré. Autant de croûte que de fromage !
Ce qui est "bien sûr" absurde, mais mathématiquement vrai.
Et ça ne me va pas pour la raison suivante:
Quand on dit qu'un point P du carré a pour coordonnées X et Y cela revient à dire que:
- X et Y sont les coordonnées du vecteur OP
- qui peut se noter par un imaginaire Z=X+iY
W est juste une manière d'encoder Z
Avec Z on peut appliquer les règles de calcul usuelles, par exemple si on prend P1 (X1, Y1) et P2 (X2,Y2) alors si OP3 (vecteur) = OP1 + OP2 on a Z3 = Z1+ Z2 ... tout va bien.
Par contre dans mon autre ensemble, celui des W construits en 0,aAbBcCdDeE... ça ne marche pas: W3 n'est pas du tout égal à W1 + W2
Et donc W (qui était en fait la notation de l'imaginaire X+iY) ne respecte pas les règles. J'aurais donc tendance à dire que ce n'est alors pas un imaginaire et donc pas un réel. C'était juste une astuce de notation, un code, sans consistance mathématique.
Si W n'est pas vraiment un réel, il n'existe plus de bijection entre l'ensemble des couples de réels (X;Y) et l'ensemble des réels.
Bref je trouve que la démonstration en question n'est pas satisfaisante. Sans pour autant oser dire qu'elle est "fausse" elle m'apparaît comme reposant trop sur une astuce de notation ? -
Mais c'est une astuce de notation, c'est normal ! La donnée d'une bijection entre les ensembles $E$ et $F$, c'est un manière de décrire tous les éléments de $F$, et sans répétition, avec ceux de $E$. Ce n'est qu'un jeu d'écriture au fond.
-
Plus sommairement : une bijection c’est seulement dire qu’on peut nommer les objets du premier ensemble avec les noms du deuxième ensemble.
On se fiche de la structure (addition, multiplication, autres lois...).
Par contre dans cette construction il faudrait être certain qu’on a bien une bijection.
Par exemple il faut s’occuper des décimaux peut-être :
- d’où vient 0,1919191919... ?
- et 0,22939393939 ?
ça donne intuitivement : 0,299999999... qui est 0,3 ET 0,2333333...
mais alors c’est deux réels donnent à leur tour : 0,3203030303030
À méditer. Même si ça se contourne, cet épiphénomène. -
raoul.S écrivait :http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2256564,2256626#msg-2256626
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Oui mais pour moi ce nombre "réel" est en fait un nombre imaginaire déguisé.
Si le monde était bien fait, ce nombre "image" du point (ou plus exactement du vecteur permettant de désigner le point) présenterait lui aussi les propriétés associées à ce vecteur/point/imaginaire.
Alors que là pas du tout. C'est décevant ;-)
Mais je sais que c'est vraiment un sentiment et que ça n'a rien de rigoureux. -
Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2256564,2256640#msg-2256640
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Il me semble que ça n'est pas vraiment un problème puisque ça traduit juste le fait que chaque nombre décimal a deux notations possibles (une qui se termine en "n" et une en "n-1 suivi d'une infinité de 9")
Puisqu'on est juste en train de jouer sur les notations, on peut sans dommages décréter laquelle des deux notations on adopte exclusivement ? -
Khee Nok a écrit:Si le monde était bien fait, ce nombre "image" du point (ou plus exactement du vecteur permettant de désigner le point) présenterait lui aussi les propriétés associées à ce vecteur/point/imaginaire.
Le monde n'est pas si mal fait. Il me semble que ce qui te dérange est que la bijection que tu as citée n'a pas de "bonnes propriétés", mais justement si elle avait ces bonnes propriétés elle ne pourrait pas exister. Plus tu mets de contraintes et moins tu as de chance que la bijection qui devrait vérifier ces contraintes n'existe.
D'ailleurs les bonnes propriétés en question ne sont pas de nature algébrique comme tu as mentionné mais de nature "topologique" (voir Wikipedia). Et dans ce cas on peut montrer qu'il n'existe effectivement pas de bijection entre l'intervalle et le carré qui a ces bonnes propriétés. Plus précisément il n'existe pas de bijection continue entre l'intervalle et le carré. -
Et oui mais dans ce cas, tu as des éléments de l’image qui ne sont pas atteints comme « 0,1919191919... ».
Et alors la fonction n’est pas surjective et n’est pas bijective.
Il faut travailler encore un peu... -
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
[Pour obtenir l'adresse d'un message, mets la souris sur la recopie du titre du fil, sous le nom de l'auteur du message, Clic droit > Copier l'adresse du lien, que tu colles où tu veux. AD]
Dom
Je pense ne pas comprendre.
(et désolé pour le modérateur je ne sais pas comment substituer un lien à une citation)
0,191919... sera donc la notation de
X = 0.111111...
Y = 0.999999...
Ce point existe.
Il aurait pu aussi être noté
X = 0.1111....
Y = 1
mais justement on s'interdit de noter 1 (on c'est moi) et on s'oblige par convention à noter 0.99999... (idem pour 0.0203 : on prend 0.020299999... etc)
Ce point de coordonnées (0.111... ; 1) que l'on note (0.111... ; 0.999...) est donc bien l'antécédent de 0,191919... ?
C'est pour cela que je posais dans mon énoncé initial qu'on ne regardait que l'intérieur du carré, sans les bords (avec l'idée que 0.9999... < 1 Bah non, comme quoi j'ai oublié pas mal de trucs en maths), mais finalement ce n'est pas nécessaire.
PS: désolé pour les mises en forme très approximatives (clavier globish, et de mon temps on faisait des maths avec du papier etc). Si je poursuis, je regarderai comment adopter une notation mathématique correcte. -
Martial écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2256564,2256678#msg-2256678
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Non, ou alors il travaillait sous pseudonyme ;-) -
Ok, sortons des bords du carré et des bords du segment.
Quel est le couple antécédent de chacun des nombres a et b suivants ?[large]a=0,22919191919... b=0,32010101010...[/large]
Remarque : a et b sont bien des nombres distincts à l'intérieur du segment [0;1] donc si on parle de bijection ils devraient avoir deux couples antécédents distincts par ladite bijection. -
Dam : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2256564,2256814#msg-2256814
a=0,22919191919...
b=0,32010101010...
soit x = 0,2999999... = 3 et y = 0,211111
Ca ne me semble pas trop gênant ?
On a donc parfois deux points du segment associés à un seul point du carré, et tout point du carré a au moins un antécédent (si je remonte mes souvenirs jusqu'aux maths modernes de 6eme on a une surjection du segment vers le carré ?). Donc plus de points sur le segment que dans le carré.
Si vraiment on veut une bijection, comme on décide de comment on encode, on peut décrèter que quand x ou y est de la forme 0,abcd99999... on l'encodera toujours en 0,abc[d+1]. Certains points du segment ne seront pas des antécédents de points du carrés mais tout point du carré a un antécédent: l'ensemble des points du segment est plus grand que celui des antécédents des points du carré puisqu'il les comprend tous, et d'autres encore.
Donc l'ensemble des points du segment est "plus grand" que celui du carré... de pire en pire ;-)
Inversement il est facile de construire une relation qui à tout point du segment associe une infinité de points du carré (le segment perpendiculaire au côté, en ce point): l'ensemble des points du carré est "plus grand" que celui du côté...
Si l'ensemble des points du côté est plus grand que l'ensemble des points du carré, et inversement, c'est qu'en fait ils ont la même taille.
Quoique si ces comparaisons avaient vraiment un sens on aurait alors montré que :
- Le nombre de points du côté est strictement plus grand que le nombre de points du carré, ET
- Le nombre de points du carré est strictement plus grand que le nombre de points du côté
Donc ... est-ce que c'est vraiment une démonstration ?
Une conclusion possible serait-elle qu'en fait on ne peut pas comparer les deux grandeurs en utilisant "naivement" les notions de comparaison dans un domaine où elles ne s'appliqueraient pas ?
PS : Merci à la divinité tutélaire du forum pour l'explication de comment ne pas recopier. -
Dreamer: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2256564,2256868#msg-2256868
Merci.
Ca ne simplifie pas la compréhension "intuitive" (pour moi) mais c'est une belle illustration de comment colorier un carré avec un feutre infiniment fin. -
« Pas trop gênant »
Ça l’est énormément si tu parles de bijection (c’est juste faux !).
Ça l’est moins si tu contournes le problème pour démontrer que les ensembles ont même cardinal. -
Dom écrivait: > Ça l’est énormément si tu parles de bijection (c’est juste faux !)
Oui.
Mon point était que si on montre que non seulement il y a autant de points dans le segment que dans le carré mais qu'en fait il y en a plus ... qui peut le plus peut le moins ;-)
On peut même créer un codage qui donne n fois plus de points sur le segment que dans le carré : il suffit de coder chaque décimale de x ou y avec un entier, de longueur n aussi grande qu'on veut, dont on ne retiendra que le dernier chiffre ?
Ou même, pas besoin de définir cette longueur, il suffit d'utiliser un chiffre comme séparateur, et la somme des deux derniers chiffres. Par exemple on prend 9 comme séparateur et 3 peut se coder comme "9abcdefg... rst219" (avec a b c des chiffres différents de 9) qui se lit 2+1=3
Mais je bute quand même sur une forme de contradiction.
On peut ainsi démontrer (?) que :
- Il y a strictement plus de points dans le segment que dans le carré , ET
- Il y a strictement plus de points dans le carré que dans le segment
En logique classique les deux propositions apparaissent incompatibles ? -
Tu te trompes sur le sens de « strictement plus ». Par exemple, il est faux de dire qu'il y a strictement plus de points dans $\N=\{0,1,2,3,\dots\}$ que dans $\N\setminus\{0\}=\{1,2,3,\dots\}$.
-
Bonsoir.
Dis de manière souvent réitérée sur le forum, c'est comme considérer qu'il y a plus de nombres pairs positifs que de naturels (de manière informelle, c'est la même chose qui est dite, mais un niveau d'infini plus haut).
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
« Strictement plus » au sens de « il existe une injection stricte (c’est-à-dire qui n’est pas une bijection) ».
-
Dom : « Strictement plus » au sens de « il existe une injection stricte (c’est-à-dire qui n’est pas une bijection) ».
Oui.
Or il me semble qu'on peut définir :
1 - Une injection stricte du segment côté vers le carré (il suffit de prendre, par exemple, un segment parallèle au côte considéré) : tout point du côté a une image dans le carré, mais il reste une infinité de points du carré qui n'ont pas d'antécédents
2 - Et une injection stricte du carré vers un de ses côtés. Cf les possibilités de codage ci-dessus qui laissent sur le segment autant de points inutilisés sur le segment qu'on le souhaite.
Donc on aurait "strictement plus" de points dans le carré que dans un côté, et "strictement plus" de points dans un côté que dans le carré ?
C'est impossible, et par ailleurs je sais que la bonne réponse est que les deux ensembles ont la même dimension.
Mais alors, où est l'erreur ?
Je pense dans le 2 (le 1 paraît assez basique) mais sans saisir pourquoi.
En 2, le nombre de "trous" que l'on fait dans le segment via le codage (les points qui ne peuvent pas être antécédents) est aussi grand que l'on veut mais cela reste dénombrable, donc ne pèse rien par rapport à l'infinité du reste ?
Mon hypothèse générale serait que ce genre de comparaisons ("strictement plus" etc) n'a de sens que pour des ensembles dont on peut dénombrer les éléments ? -
-
Avec des ensembles non finis il faut cesser de raisonner comme avec des ensembles finis.
En effet il y a un théorème : s’il existe une injection de A dans B et une injection de B dans A alors il existe une bijection de A sur B.
Bon, ça, ça marche aussi avec des ensembles finis ;-)
Édit : Raoul a été plus rapide. -
raoul.S : C'est possible. Ça implique l'existence d'une bijection, c'est l'énoncé du théorème de Cantor-Bernstein
Merci,
Pour vraiment comprendre il faudrait que je reprenne mon éducation mathématiques en repartant d'assez loin :-(
Mais j'ai vu avec plaisir que ça répond à certaines interrogations que j'avais.
D'abord le fait que je ne suis pas le seul pour qui l'idée d'appliquer un algorithme à un ensemble infini, a fortiori non dénombrable, apparaît contestable http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2256564,2256564#msg-2256564
Et que certains énoncés semblent contredire le principe du tiers exclu http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2256564,2257132#msg-2257132 est moins gênant si ce principe n'est pas adopté par tous les systèmes mathématiques.
PS : que deux injections croisées donnent une bijection ça paraît logique (en fait même trivial dans un ensemble avec un nombre fini d'éléments et par extension tant que les ensembles sont dénombrables).
Mais est-ce que le théorème fonctionne avec deux injections strictes croisées ou même : est-il possible qu'il existe ainsi deux injections strictes croisées (ce qui ne me semble possible que dans des ensembles non dénombrables... et difficile à concevoir, notamment si on admet le tiers exclu) ?
[Activation des liens. AD] -
Khee Nok a écrit:est-il possible qu'il existe ainsi deux injections strictes croisées (ce qui ne me semble possible que dans des ensembles non dénombrables... et difficile à concevoir, notamment si on admet le tiers exclu) ?
Avec ou sans tiers exclu tu dois pouvoir trouver une injection stricte de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$. -
Alesha
Oui. Genre x -> x + 3
J'aurais dû réfléchir plus et écrire moins :-?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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