Les entiers naïfs ne remplissent pas $\N$

Bonjour,

Je crois que la phrase de Reeb se termine par quelque chose comme "d'où l'analyse non standard sans peine".
C'est effectivement la philosophie de l'analyse non standard : dans $\mathbb N$, il y a les entiiers naïfs ou standard, puis des entiers non standards.

Reeb avait le sens de la formule, pas toujours facile à décrypter. Je me souviens d'un repas chez moi, où Reeb à un moment déclare "Les routes sont sûres par ici". Quand je lui demande pourquoi il dit cela, il répond "Oui, parce que jamais on ne verse" en montrant son verre que j'avais oublié de remplir.

@marco : C'est super ton histoire ! Je ne la connaissais pas. Merci du partage !

Bonjour,

il y a un peu de confusion entre ce qui relève des entiers classiques, de l'arithmétique de Peano, de $ZF$, etc.

Donc, d'un point de vue strict, $\mathbb{N}$ n'a pas d'entiers naïfs ou non naïfs: cette notion n'existe pas et dans mon précédent post, j'ai montré que cette notion ne pouvait pas exister.

Ensuite, si on veut définir une notion de naïf, il faut faire un peu de contorsions Et ces contorsions peuvent être faites de multiples façons.

1) Version ensembliste + prédicat supplémentaire --> Théorie $IST$ de Nelson
On agit au niveau de $ZF$: on ajoute une relation (unaire), notée $Std$, au langage de $ZF$ (qui contient uniquement $\in$). Et du coup, on étend $ZF$ par des axiomes utilisant $Std$: cette théorie s'appelle $IST$.

Un modèle de $IST$ est un modèle de $ZF$ (mais évidemment pas l'inverse). Dans un modèle de $IST$, on définit $\omega$, donc $\mathbb{N}$, qui lui contient obligatoirement des entiers standards et non-standards.

2) Version ensembliste 'directe'
On raisonne à deux niveaux: le niveau d'un modèle de $ZF$, $\mathcal{U}$, et 'notre' niveau. Du coup, on définit 'notre' $\mathbb{N}$ normal (qui ne contient pas d'entiers standards ou non-standards) et le $\overline{\mathbb{N}}$ de $\mathcal{U}$. Dans ce cas, on définit les standards de $\overline{\mathbb{N}}$, comme étant les éléments de $\overline{\mathbb{N}}$ définis par les formules $"X=1+1+...+1"$ (les $1$ étant égaux à l'ordinal $\{\emptyset\}$ et les points correspondant à un nombre fini de notre $\mathbb{N}$.
En clair, dans $\overline{\mathbb{N}}$, les entiers pouvant être listés par nos entiers sont appelés standards et ceux après, les non-standards.
Mais tout ce travail exige de raisonner à deux niveaux ensemblistes.

3) Version non-ensembliste + arithmétique de Peano
On travaille dans ce cas avec un modèle de l'arithmétique de Peano qui ne soit pas $\mathbb{N}$. Un tel modèle contient naturellement $\mathbb{N}$: on appelle standard, les éléments de $\mathbb{N}$, tandis que les autres éléments sont non-standards.

4) Version non-ensembliste + extensions par ultrapuissance --> Analyse non standard Robinsonienne
On travaille ici avec des ultrapuissances de $\mathbb{N}$, muni d'un langage 'complet', c'est-à-dire d'un langage contenant tous un symbole de constante pour tous les entiers de $\mathbb{N}$ et un symbole de relation pour tous les sous-ensembles de $\mathbb{N}$. Du coup, une telle ultrapuissance non triviale contient naturellement $\mathbb{N}$ et là aussi, on appelle les éléments de $\mathbb{N}$, standards, et les éléments au-delà de $\mathbb{N}$, non-standards.

Dans ces conditions, avec (1) et (2), on définit des standards directement au sein de $\mathbb{N}$; avec (3) et (4), $\mathbb{N}$ est l'ensemble des standards et les non-standards sont au-delà.

Si je comprends bien la version 2), les entiers non standards sont ceux que l'on ne peut pas définir "à la main" avec "nos" entiers ? Et sans pouvoir en exhiber, on ne peut exclure leur existence à cause d'arguments standards (:-D) du style théorème de compacité ?

Un petit détail : perso, dans la version ultrapuissance de $\omega$, au lieu d'appeler entier naïf tout machin qui peut s'écrire $1+1...+1$, je préfère dire qu'on identifie chaque élément $n \in \omega$ avec la classe de la suite $(n,n,...,n,...)$ et que de telles classes seront appelées des entiers standard dans le modèle $\mathbb{V}^{\omega}/ \mathscr U$.

Les éléments de $\omega^{\omega}/ \mathscr U$ qui ne sont pas de cette forme seront appelés non standards. Par exemple, il est facile de vérifier que la classe de la suite $(0,1,2,...,n,...)$ est un entier non standard.

J'ai fait ça dans ZFC, mais si on ne s'intéresse qu'à l'arithmétique on peut se contenter de regarder l'objet $\omega^{\omega} / \mathscr U$.