Définition formelle de sinus et de cosinus

diamatix · June 2021

Bonjour à tous
Est-ce que quelqu'un pourrait me proposer une construction formelle et rigoureuse des fonctions trigonométriques notamment de sinus et de cosinus ?

La définition classique fondée sur la géométrie, l'arc et le cercle unité n'est pas formelle. Une définition rigoureuse et formelle est de définir le cosinus (resp. sinus) comme la partie réelle (resp. complexe imaginaire) de la fonction exponentielle complexe. C'est l'approche choisi notamment par Walter Rudin. Mais faire cela transforme le fameux théorème d'Euler en une tautologie et évacue son idée principale : faire un lien entre l'analyse et la géométrie / trigonométrie.

Le nombre d'Euler e est un nombre dont la principale particularité est qu'il est la base de l'unique fonction qui est égale à 1 en 0 et et dont la dérivée est égale à elle même. Ce que je cherche à comprendre c'est le lien mystérieux entre ce nombre et le mouvement circulaire (décrite par les notion de sinus/cosinus et le cercle unité). La définition de sinus et cosinus en série entière occulte complètement ce lien en réduisant tout à l'analyse.
Je vous remercie d'avance !
Bien à vous.

Dom · June 2021

Je ne pense pas que l’on puisse dire que $e$ est en lien avec le mouvement circulaire.
Par contre, cette partie réelle et cette partie imaginaire sont périodiques.
C’est ça pour moi qui fait un lien avec « le mouvement circulaire ».

Maxtimax · June 2021

Je ne sais pas si on peut dire ça de la définition par l'exponentielle... À vrai dire, il me semble qu'on peut prouver (sans circularité) que $\exp(ix), x\in \mathbb R$ décrit exactement le cercle unité de $\mathbb C = \mathbb R^2$.

Autrement dit, en admettant ça, $Re(\exp(ix))$ rend exactement compte de la définition géométrique du cosinus.
Si ça t'intéresse, on pourra essayer de discuter d'une preuve.

diamatix · June 2021

Bonjour
Je vous remercie pour vos réponses Maxtimax et Dom.

Maxtimax, pour moi il n'est pas du tout évident que exp(ix) décrit le cercle unité. Je comprends que quelque part ça doit provenir de la périodicité de l'écriture en série de la fonction exponentiel complexe.

Ce que je cherche à surtout comprendre, c'est de démystifier le nombre "e" où en d'autre terme comprendre pourquoi la fonction qui décrit le cercle unité est en même temps l'unique fonction qui égale à sa propre dérivée.

Je me suis intéressé au nombre d'Euler "e" et de comprendre pourquoi il refait surface avec un rôle central dans :
1) la trigonométrie via la formule d'Euler ;
2) l'analyse (fonction exponentielle est sa propre dérivée) ;
3) probabilité avec la loi normale (ici elle apparaît comme limite de la loi de [large]B[/large]ernoulli et donc la conséquence du faite que "e" se retrouve comme solution de plusieurs limites) ;
4) la finance avec la formule de composition continue des intérêts en continue.
Bien à vous.

[Daniel Bernoulli (1700-1782) prend toujours une majuscule et pas de 'i' devant 'll'. AD]

diamatix · June 2021

Enfin, s'il faut reformuler ma question de la manière la plus précise possible ça serait

" Pourquoi la fonction qui a comme particularité d'être sa propre dérivée est en même temps exactement la même fonction qui décrit le cercle unité ? Et pourquoi sa valeur en 1 apparaît dans l'expression de plusieurs limites ? "

Poirot · June 2021

La réponse à la première question est simplement "parce que ça marche". Pourquoi les démonstrations du livre de Rudin ne te suffisent pas ?

Pour la seconde, tout nombre réel est l'expression d'une infinité de limites.

Georges Abitbol · June 2021

Mmmmh, je pense que si on admet l'existence d'une application $\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{S}^1$ qui est $C^1$ et qui "donne les longueurs" (c'est plus ou moins l'hypothèse naturelle qu'on fait quand on dit qu'on "enroule" des angles, enfin, je ne sais plus comment on dit ça), alors en posant $c$ la partie réelle de $\gamma$ et $s$ sa partie imaginaire, on a

1) $c$ et $s$ sont $C^1$ ;
2) $c' = -s$ et que $s' = c$.

Le 2) doit pouvoir se démontrer géométriquement assez facilement mais je ne sais plus comment faire, là.

A partir de là, $c$ et $s$ sont $C^2$, sont égales à l'opposé de leur deuxième dérivée, et d'après des théorèmes sur les équations différentielles, elles sont uniquement définies par leur valeur en $0$ (qui dépend d'une hypothèse qu'on fait sur $\gamma(0)$).

Bref, il doit être possible de bricoler une démonstration avec ça, non ?

Foys · June 2021

1°) Soit pour tout entier $n\in \N$, $P_n(X):=\sum_{k=0}^n \frac {X^k}{k!}\in \Q[X]$. Alors $P_{n+1}'=P_n$ pour tout $n\in \N$.

2°) Soit $A$ une algèbre de Banach (par exemple: $\C$) et $x\in A$. On déduit de ce qui précède que la dérivée de la fonction $t \mapsto P_{n+1}(tx)$ est égale à la fonction $t\mapsto xP_n(tx)$.

Donc on a aussi $$1_A + \int_0^t xP_n(sx) ds = P_{n+1} (tx) \tag 1$$ pour tout $t\in \R$ (définir l'intégrale des fonctions réglées définies sur un segment et à valeurs dans $A$ ne pose pas plus de problèmes que pour des fonctions à valeurs réelles).

3°) La série de fonctions $n,u\mapsto \frac {u^n} {n!}$ est normalement convergente sur toute partie bornée de $A$ vers une fonction notée $\exp$. On peut donc passer à la limite dans $(1)$ pour obtenir l'égalité $$1_A+\int_0^t x \exp(sx) = \exp(tx) \tag 2$$ valable pour tout $t\in \R$. Ces considérations entraînent immédiatement que $t\mapsto \exp(tx)$ est dérivable (c'est une primitive) et de dérivée $t\mapsto x \exp (tx)$.

4°) Soient $I$ un intervalle de $\R$, $t \in I$ et $f,g$ deux fonctions de $I$ dans $A$ dérivables en $t$. En écrivant les développements limités de $f$ et $g$ au voisinage de $t$ et en considérant leur produit, on voit que $s\mapsto f(s)g(s)$ est dérivable en $t$, de dérivée $f'(t)g(t)+f(t)g'(t)$.

5°) Pour tous $x\in A$ et $t\in \R$, $xP_n(tx)=P_n(tx)x$ et donc, par un passage à la limite, $x\exp(tx)=\exp(tx)x$.

6°) Soit $s\in \R$; à l'aide des points précédents, on montre que les fonctions $t\mapsto \exp(tx)\exp (-tx)$ et $\exp \left((s+t)x \right) \exp (-tx)$ sont toutes deux dérivables et de dérivée nulle. Il s'agit donc de fonctions constantes égales à leurs valeurs en $0$, c'est à dire respectivement $1_A$ et $\exp (sx)$. Avec la première on en déduit que $\exp(-ux)$ est l'inverse de $\exp (ux)$ pour tout $u\in \R$ et avec la deuxième, que $\exp (\left (s+t) x\right )= \exp (sx)\exp(tx)$ pour tout $t\in \R$.

7°) On se place désormais dans le cas particulier où $A=\C$. Pour tout $n\in \N$ et tout $t\in \R$, $P_n(-it)$ est le conjugué complexe $\overline {P_n(it)}$ de $P_n(it)$ et donc, en passant à la limite, on obtient l'égalité $\exp(-it)=\overline{\exp(it)}$ et donc, compte tenu de 6°, on a pour tout $t$, $|\exp (it)|^2=\exp (it) \overline{\exp(it)} = 1$ et donc $|\exp (it)|=1$.

8°) Les fonctions partie réelle et partie imaginaire de $t\mapsto \exp(it)$ se notent respectivement $\cos$ ("cosinus") et $\sin$ ("sinus").
Ce qui précède entraîne les relations suivantes valables pour tout réel $t$: $\cos'(t)=-\sin(t)$; $\sin'(t)=\cos(t)$; $\left (\sin(t) \right )^2+\left (\cos(t)\right )^2 = 1$; $\cos(0)=1$; $\sin(0)=0$; et pour tout $s\in \R$,
$\cos(s+t)=\cos(s)\cos(t)-\sin(s)\sin(t)$ et $\sin(s+t)=\sin(s)\cos(t)+\cos(s)\sin(t)$.

9°) La surjectivité de $\cos$ et de $\sin$ s'obtient facilement à partir de ces considérations, en étudiant leurs variations.
On définit $\pi:= 2 \times \inf \{u>0 \mid \cos(u) = 0\}$.

diamatix · June 2021

Hello Foys
Je te remercie pour ton retour !

C'est exactement ce que je voulais. Pourrais-tu, s'il te plait, me dire de quelle livre ou document sont tirés ces définitions ? Je souhaiterais lire un cours d'analyse avec ce niveau de précision, de formalisme et de recul.

Bien à toi.

Maxtimax · June 2021

Foys : il te manque un point 10) (ou peut-être remplacer ton point 9)) : ce n'est pas $\sin,\cos$ dont on veut montrer la surjectivité, mais $\exp$.

Pour ça, je ne suis pas sûr de comment faire sans géométrie différentielle.

Voilà une approche: le cercle unité est une variété différentielle de dimension $1$ (il suffit de regarder l'équation qui le définit; ou encore on peut facilement trouver des cartes appropriées par projection stéréographique), et $\exp(i-) : \mathbb R\to S^1$ est clairement différentiable, de dérivée $i\exp(i-)$ donc ne s'annulant jamais, en particulier c'est un difféomorphisme local.

Son image contient donc un voisinage de $1$.
A partir de là c'est relativement élémentaire de montrer, par exemple, que $\exp(i\mathbb R)\subset S^1$ est ouvert-fermé, et de montrer que $S^1$ est connexe (en utilisant $x\mapsto \frac{x}{||x||}$ par exemple), ce qui suffit .

Mais le point crucial est de montrer que l'image contient un voisinage de $1$ dans le cercle, et ça je ne suis pas sûr de comment l'obtenir sans géométrie (mais ça reste non circulaire !!)

Math Coss · June 2021

On peut montrer que l'exponentielle est un homéomorphisme local en $0$ en utilisant le développement en série de $\log(1+u)$ ; de là le fait que c'est un homéomorphisme local partout. Oui, c'est un peu curieux d'utiliser des séries entières pour éviter la différentielle première.

Maxtimax · June 2021

Math Coss : mhm, pour ça tu utilises une structure différentiable sur un machin qui n'est pas ouvert dans $\mathbb R^2$, donc "un peu de géométrie" (c'est tout ce que j'utilise d'ailleurs)

bisam · June 2021

Il me semble qu'il manque la preuve de la $2\pi$-périodicité de $t\mapsto e^{it}$ dans la preuve de Foys.

Quant à la surjectivité, si je ne me trompe pas, montrer la surjectivité de $\cos$ de $[0,\pi]$ dans $[-1,1]$ permet d'obtenir celle de $t\mapsto e^{it}$ de $[-\pi,\pi]$ dans $\mathbb{U}$ avec l'imparité de $\sin$.

Maxtimax · June 2021

bisam : ah oui, bien vu ! Merci pour cette remarque
Pour la $2\pi$-périodicité, elle s'obtient facilement par le point 9 de Foys et sa définition de $\pi$.

Thierry Poma · June 2021

A la suite de Foys, voici un document rédigé par W. Rudin.

Foys · June 2021

Bonjour;

Il n'y a pas besoin de géométrie différentielle, de topologie algébrique ou autres outils sophistiqués pour montrer la surjectivité de $t\mapsto \exp (it)$ sur le cercle (même s'il est jouissif de déclarer devant un auditoire béat qu' "on a un sous groupe d'intérieur non vide d'un groupe connexe").

Dans le message ci-dessous on considère deux fonctions $c,s:\R \to \R$ dérivables et telles que $s'=c$, $c'=-s$, $s^2+c^2=1$ (ce sont des fonctions bornées notamment), $c(0)=1$ et $s(0)=0$.

10°) $c$ s'annule sur $\R_+$
Dans le cas contraire, $c$ est toujours strictement positive sur cet intervalle et comme $s'=c$, $s$ est strictement croissante et comme elle est bornée, elle possède une limite $\ell>0$ en $+\infty$. Il existe alors $R>0$ tel que pour tout $x>R$, $s(x)>\frac {\ell} 2 >0$. Mais du coup comme $c'=-s$, $c(y) \leq c(R)- (y-R)\frac{\ell} 2$ pour tout $y\geq R$ ce qui est incompatible avec le fait que $c$ est bornée, d'où le résultat.

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On note $d:=\inf \{t>0 \mid c(t)=0\}$. La continuité de $c$ entraîne que $c(d)=0$.

11°) La fonction $t\in [0,d]\mapsto \left (c(u), s(u) \right)$ réalise une surjection sur le quart de cercle $\{(x,y)\in \R_+^2\mid x^2+y^2=1\}$.

$c$ est strictement positive sur $[0,d]$ et donc $s$ y est strictement croissante, et $s(d)\geq s(0)=0$. Comme $s(d)^2+c(d)^2=s(d)^2=1$, on en déduit que $s(d)=1$. Le théorème des valeurs intermédiaires entraîne les surjectivités de $s$ et de $c$, de $[0,d]$ dans $[0,1]$.
Soient $(x,y)$ des réels positifs tels que $x^2+y^2=1$. Alors $0\leq y \leq 1$ d'où un $u\in [0,d]$ tel que $s(u)=y$. On a $c(u)^2=1-s(u)^2 = 1-y^2 = x^2$ et comme $x$ et $c(u)$ sont positifs, $c(u)=x$.

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Toutes ces considérations s'appliquent à $t \mapsto \exp(it)$ telle qu'elle est définie dans mon message précédent. La tradition (!!) est de noter $\pi:= 2d$. Les calculs précédents montrent que $\exp \left ( i \frac {\pi} 2 \right ) = i$. Comme $i^4=1$ (et comme on l'a vu, $\exp(i(s+t))=\exp(is)+\exp(it)$ pour tous $s,t$), on en déduit que $t \mapsto \exp (it)$ est périodique de période $2\pi$. La surjectivité provient de ce que l'image de cette application est un sous-groupe de $S^1$ contenant tout le quart de cercle supérieur tel que décrit au 11°) ci-dessus.

Bonus:
12°) Pour tous nombres complexes $a,b$, $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$
C'est parce que $t\mapsto \exp(-bt)\exp\left ((a+b)t \right)$ est de dérivée nulle et donc constante (c'est le même argument que dans mon message précédent mais il faut la commutativité du produit, non garantie dans les algèbres de Banach générales; le lecteur qui souhaite se focaliser sur $\C$ peut mettre de côté ces considérations et se contenter de ce lemme).

Foys · June 2021

Le texte mis en lien par Thierry n'est autre que l'introduction légendaire du livre de W.Rudin: analyse réelle et complexe, dont la lecture est vivement recommandée!

raoul.S · June 2021

Question : le W. Rudin et l'analyse complexe du Queffélec sont-ils complémentaires ? S'il fallait en avoir qu'un, lequel ?

diamatix · June 2021

Bonjour à tous,

Je vous remercie pour tout ces retours.

@Thierry Poma, je te remercie pour le texte de Rudin. J'ai déjà trouvé cette définition en lisant "L'analyse réel et complexe" quand je m'intéressait à la théorie de la mesure. J'ai zappé la partie qui traite du cercle unité et elle m'a paru incomplète avec du recule, autant pour moi !

@Foys, que pense tu de la construction de Walter Rudin partagée par Thierry Poma ? Pense-tu qu'elle soit complète ? Elle semble être assez différente à première vue de ce que tu propose.

Bien à vous,
Diamatix

diamatix · June 2021

@Foys,

J'ai remarqué que t'as qualifié l'introduction de W.R. de "légendaire". Ça me surprend dans la mesure ou ça sous-entend que le fait de traiter ce sujet d'une manière rigoureuse et formelle est très rare dans la littérature mathématique. Est-ce le cas ? Le cas échéant je serais surpris car la fonction exponentielle est une fonction d'une importance capitale en mathématique et que si tout le monde souligne à quel point le nombre "e" est si particulier ça veux dire que les gens ont bien étudié le sujet de bout en bout. Comment Bourbaki traite le sujet ?

Bien à toi,
Diamatix

christophe c · June 2021

L'existence de $e$ et $\pi$ (ainsi que la trigo et l'exponentielle complexe) sont mathématiquement démontrables*** rapidement et peu "étonnant".

Ces preuves ne donnent pas les VALEURS NUMERIQUES de ces constantes. Or psychologiquement, ce sont LESDITES VALEURS qui sidèrent tout le monde. Leur écriture décimale a l'air le résultat d'un "incroyable" caprice qui "fait penser que les attitudes religieuses" ont quelques excuses.

*** le fait de transformer $+$ en $\times$ est "trivial à accepter" à la vue de la notion d'angle (ou d'argument). Autrement dit $Arg$ est "essentiellement" la fonction $ln$. L'unicité des fonctions à posséder le pouvoir de transformer $+$ en $\times$ (sous les conditions usuelles) fait le reste.

Je rappelle rapidement la "preuve", en partant de l'hypothèse $f'=f$ et blabla

[small] supposant $h(a,x)f(x) = f(a+x)$ et en dérivant, on obtient l'existence de $g$ telle que $\forall a,x: h(a,x) = g(a)$, donc :

$$ \forall x,y: f(x+y) = f(x)g(y)$$

et $g=f$ avec $\forall x: f(0+x) = f(0)g(x)$[/small]

Réciproquement supposant $\forall x,y: f(x+y)=f(x)f(y)$ + blabla,

[small]la dérivée de

$$ x\mapsto (f(a+x))$$

donne $\forall a,x: f'(a+x) = f(a)f'(x)$, qui donne $\forall a: f'(a) = f'(a+0) = f(a)f'(0)=f(a)$[/small]

Ces calculs abstraits sans rien préciser montrent la robustesse du raisonnement (c'est quelques lignes).

J'ai tendance à penser que c'est la VALEUR de $f(1)$ qui te sidère psychologiquement le plus, plutôt que le côté "habilitation à être une constante célèbre" de ce nombre (qui s'il avait été 5 ne t'aurait peut-être pas autant sidéré?

Poirot · June 2021

Je suis complètement d'accord avec Christophe, les démonstrations de Foys et de Rudin sont très simples et "redonnent" toutes les propriétés usuelles de l'exponentielle, à la fois analytiques et géométriques. Je dis "redonnent" car la découverte de cette fonction au lycée passe en général sous silence les différentes implications logiques, et on se retrouve en post-bac en connaissant ces propriétés, sans savoir lesquelles sont conséquences des autres.

@raoul.S : Les deux livres n'ont pas grand-chose à voir, si ce n'est qu'il y a un peu d'analyse complexe dans le Rudin. Ce dernier est bien plus austère que le Queffélec$^2$ mais traite de sujets plus variés que celui-ci. Le Queffélec$^2$ est très clair et pédagogique, et traite de sujets assez originaux pour un livre d'analyse complexe. Dans tous les cas, je recommanderais de prendre les deux. ;-)

raoul.S · June 2021

@Poirot (tu)

Thierry Poma · June 2021

Puisque cela a été demandé, voici la manière dont Bourbaki introduit les fonctions circulaires. J'ai choisi de contextualiser un peu le tout, ce qui peut servir. L'on y note que le module d'un nombre complexe donné se nomme valeur absolue dudit nombre complexe. Les raisons valables de ce choix sont données au bas de la page TG VIII.2.

diamatix · June 2021

Bonjour christophe c
Je te remercie pour ton retour !

En revanche, je ne peux pas être d'accord avec toi quant aux raisons pour lesquels je trouve que le nombre "e" possède une aura mystique à mes yeux.

Tout d'abord, la valeur numérique de "e" et de pi ne me sidère pas du tout. Bien au contraire, je la trouve très quelconque : un nombre transcendant. C'est la situation la plus probable car la cardinalité de l'ensemble des nombres transcendants est supérieur à celle des entiers, rationnels ou nombres algébriques (qui eux sont dénombrables). J'aurais été beaucoup plus surpris de voir un entier ou un nombre rationnel car en plus je me serais posé la question " Est-ce juste un hasard qu'un nombre qui vérifie une propriété bien particulière d'être la valeur en 1 de l'unique fonction égale à sa propre dérivée soit aussi un nombre qui appartient à l'ensemble très particulier des entiers au lieu de juste être un nombre transcendant quelconque ? La probabilité qu'un nombre pris au hasard soit rationnel est P-presque nulle. Probablement il y a une relation causale entre ces deux faits qu'il faut déterminer. ".

La vrai raison de ma sidération est comme suit.

1) Le nombre "e" est la valeur de l'unique fonction qui vaut 1 en 0 et dont la dérivée est égale à elle même. Jusque là il n'y a rien qui me sidère. C'est bel et bien un nombre quelconque.

2) COMME PAR HASARD la fonction dont ce nombre est la base permet AUSSI de décrire le cercle unité et de construire la trigonométrie. À ce moment là je commence à me poser des questions : "Est-ce juste un hasard que l'unique fonction dont la dérivée est égale à elle même décrit aussi le cercle unité et est à la base de la trigo ? C'est mystérieux ! Il y a probablement un lien entre ces deux propriétés. AVOIR UNE DEMO FORMELLE PERMETTRAIT DE VOIR L'ENDROIT EXACT OÙ CES DEUX PROPRIÉTÉS SONT LIÉES ET PERMETTRONT DE DÉMISTIFIER LE NOMBRE "E" !

3) Ladite fonction comme par hasard permet de transformer la multiplication en somme. La même réaction que plus haut.

4) Le nombre "e" comme par hasard resurgit au sein de limites des fonction très particulières et importantes dans les domaines scientifiques. Par exemple, il est la limite de loi de Bernoulli ce qui fait qu'il est à la base de la loi de probabilité la plus importante de mon domaine d'activité : la loi normale.

Afin de démystifier cela il faut avoir la preuve formelle afin de comprendre exactement le lien de cause à effet entre ces différentes propriétés. Et encore, l'aura mystique va persister, car on aura beau comprendre les raisons qui donnent au nombre "e" ces propriétés, il faudra encore comprendre pourquoi ces propriété sont aussi cruciales qu'elles ressurgissent dans des applications les plus importantes en statistiques et physique. C'est assez sidérant de retrouver "e" et pi dans les formules qui par exemple, régissent le comportement des charges électriques. Pour quelle raison la nature a construits ces lois d'une manière très précise à s'accorder avec l'élégance de l'analyse mathématique ? Sans faire intervenir le nombre "e" et d'une manière plus large on pourrait donner une autre exemple : la trajectoire des objets soumis à la gravitation et des forces mécaniques est décrites via des équations qui font intervenir la linéarité, l'intégration et la dérivation. Pour quelle raison la nature a utilisé des relations mathématiques élégantes comme les fonctions affines afin de régir les phénomènes naturels alors qu'elle aurait pu utiliser une fonction quelconque que l'humanité n'aurait jamais pu découvrir d'une manière intuitive ? Je suis athée mais face à ça je commence à me demander si les lois de la nature sont vraiment un hasard car on dirait qu'elles sont "construites" de manière à être facilement modélisées avec des fonctions mathématiques les plus simples et élégantes !

Sidérant !
Bien à toi,
Diamatix

Chaurien · June 2021

« Le » Queffélec, c'est « Analyse complexe et applications » ?

Dom · June 2021

Je me demande à nouveau : est-ce la fonction exponentielle qui est particulière ou ce nombre $e$ ?

A part « les deux mon capitaine », qu’en penser ?

raoul.S · June 2021

@Chaurien oui https://www.amazon.fr/Analyse-complexe-applications-Martine-Quefféllec/dp/2916352597

Chaurien · June 2021

On a parlé plusieurs fois sur ce forum de cette question de l’introduction des fonctions classiques, exponentielles et circulaires. La meilleure est sans doute comme on a dit celle qui consiste à tout faire partir de l'exponentielle complexe $ \displaystyle \exp z=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}\frac{z^{n}}{n!}$. De Rudin, mais aussi d'autres sources. Il me semble l'avoir vu autrefois dans un livre de Jean Frenkel.

J'ai traité cette question plusieurs fois dans plusieurs types de classes préparatoires. Il est bon que les élèves voient un exposé déductif des propriétés des fonctions classiques. La convergence de cette série peut se traiter avec juste la théorie des séries numériques, sans théorème sur les séries entières. Pour établir l'équation fonctionnelle $\exp (z+z')=\exp z \exp z'$, le mieux c'est bien sûr le produit de Cauchy (des séries numériques), mais si l'on enseigne à un niveau où ce résultat n'est pas au programme, on peut contourner la difficulté. J'ai déjà indisué ceci, il faudrait retrouver où et quand. La dérivabilité se traite aussi sans la théorie des fonctions de variable complexe, et toutes les propriétés s'ensuivent.

Je rappelle une caractérisation.
Une application $f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ est l’exponentielle complexe $z \mapsto \exp z $ si et seulement si :
$\mathbf {(i)} ~\forall z\in \mathbb{C},\forall z^{\prime }\in \mathbb{C},f(z+z^{\prime })=f(z)f(z^{\prime })~;$
$\mathbf{(ii)} ~\forall z\in \mathbb{C},\left| z\right| \leq 1\Rightarrow \left| f(z)-1-z\right| \leq \left| z\right| ^{2}$.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Thierry Poma · June 2021

@Chaurien : bonsoir. Effectivement, Jean Frenkel le détaille bien dans sa Géométrie pour l'élève-professeur (première et deuxième édition revue et corrigée).

christophe c · June 2021

C'est la situation la plus probable car la cardinalité de l'ensemble des nombres transcendants

Là, je pense que tu fais une erreur FONDAMENTALE car tu appliques des probas à quelque chose qui n'a rien d'aléatoire, et qui est même moins aléatoire que les lois de la Nature (imaginables fausses en rêve) puisqu'il s'agit de théorèmes de maths qui eux "s'imposent même à Dieu" pour le dire de manière provocante ou encore "sont vraies quel que soit le sens qu'on donne aux mots non logiques" (version académique). En effet, un théorème de maths est la propriété d'être une phrase qui ne peut être que vraie en raison de sa grammaire. Autrement dit, elle n'est "pas une loi de la nature mais un truisme".

De ce fait, justement, on aurait PLUTOT pu s'attendre que ces truismes nous amènent vers des valeurs banales (comme1;2;5..)

COMME PAR HASARD la fonction dont ce nombre est la base permet AUSSI de décrire le cercle unité et de construire la trigonométrie

Non, là, c'était le sens de ma réponse, il n'y a en fait (et une fois n'est pas coutume, mais ici "ça va" (ou plutôt rien de magique)) rien de "nontruismatique". C'est vide. C'est juste que la transformation de l'addition en multiplication qui donne une "fonction bizarre" vue $\R\to \R$ est en fait une fonction très "attendue" vue $\C\to \C$. Ca n'a rien d'étonnant que ce recul aide à mieux la comprendre. C'est la partie sur le cercle de module1 qui démystifie tout.

Si on cherchait dans $\R\to \R$, on avait "les fonctions puissances" et pictou, mais ça ne nous emmenait pas loin, car la géommétrie ne les saisissait pas. Les constructions géométriques ne peuvent donner que des polynômes

Par contre, si tu cherches dans $\C$ un truc géométrique qui transforme $+$ en $\times^$, là, tu en as un "bête comme chou" qui te tombe sous la main, qui $x\mapsto (cos(x), sin(x))$ défini comme "où on arrive quand on a tourné de $x$ sur le cercle unité jusqu'à affiche $x$ au compteur. Cette action très banale (tous les enfants ont joué au tourniquet dans des jardins, tout le monde a déroulé du papier cul) semblait avoir besoin de la dimension2. Mais on peut la voir comme géométrique (c'était ta demande).

Je suis athée mais face à ça je commence à me demander si les lois de la nature sont vraiment un hasard car on dirait qu'elles sont "construites" de manière à être facilement modélisées avec des fonctions mathématiques les plus simples et élégantes ! Sidérant ! Bien à toi, Diamatix

Etre ou ne pas être athé n'est pas vraiment concerné. Comme je l'ai dit au début du post, il y a une différence entre un théorème de maths (qui est vrai indépendamment du sens des mots qui le composent et qui n'est qu'un cas particulier d'un énoncé de la forme X=>X plus gros) et un loi de la Nature (une loi "divine").

Généralement les gens oublient de mettre "dans la puissance de Dieu" d'avoir eu la capacité de choisir "capriceusement" les théorèmes de maths. Ils considèrent (enfin toute les religions officielles) Dieu comme le numéro2 dans l'échelle des choses qui s'imposent à nous (qu'il existe ou non, je parle conceptuellement) et le voient comme soumis à la logique (pour le dire autrement, il ne peut pas rendre le nombre $19$ composé et ne peut pas faire qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers)

C'est évidemment une erreur de leur part (attention, je ne dis pas que je donne trop de pouvoir à Dieu, je dis juste que "ce n'est pas sérieux" de le mettre en numéro2 de cette façon)

De sorte que quand on croise des théorèmes qui ont l'air "capricieux" je conviens avec toi que ça rappelle cette interrogation sur ce qu'on ne maitrise pas. Ce serait bien sûr pire, si on découvrait un jour qu'une traduction de complexité polynomiale de la décomposition de pi en base 8 nous donnait un long texte en français nous expliquant dans les moindres détails des réponse à des questions théologiques, mais bon, on n'est pas encore tombé de dessus.

Mais en tout, cas, si on est d'accord sur la caractère fabuleux de tout ça (c'est pour ça qu'il y a des mathématiciens), j'insiste bien que je suis à l'opposé de toi sur le fait que c'est leur valeur qui surprend ou pas. Leurs fonctionnalités sont non étonnantes puisque les preuves font 10 lignes (je t'ai remis les preuve).

christophe c · June 2021

chaurien a écrit:

La meilleure est sans doute comme on a dit celle qui consiste à tout faire partir de l'exponentielle complexe

C'est une question de tempérament et d'expérience. Cela ne semble pas étonnant que ce soit ton approche préférée: elle est "travailleuse".

Pour ma part, je préfère ce que j'ai raconté en première réponse dans ce fil car on est directement confronté à l'équivalence entre 2 propriétés, avec unicité en plus, et on a directement tout ce qu'on veut (sauf bien sûr l'existence) de manière formelle.

A noter que pour l'existence, n'importe quelle $x>0\mapsto a^x$ avec $a>1$ a le mérite d'avoir l'axoime de son existence acceptable devant un large auditoire sceptique. TOUT en ayant "d'un coup" toute les propriétés désirées. Mais ça va de $\R$ dans $\R$ et non de $\C$ dans $\C$.

Donc peut-être juste entre $\R$ et $\C$ peut-on mettre $exp(1)$, puis $exp(x)$ comme somme d'une série, puis du coup passer** à $\C$. Cet équilibrage de conte me parait le plus sincère.

Bon après on n'est pas obligé de vouloir "obtenir un conte".

** à noter qu'on avait DEJA autrement l'existence pour les complexes de module1 d'après ce que j'ai raconté à l'auteur du fil.

Thierry Poma · June 2021

Voici en cadeau l'extrait de Jean Frenkel susmentionné. A mon avis, les éditions Hermann devrait l'éditer à nouveau.

diamatix · June 2021

Bonjour christophe c
Je te remercie pour ta réponse.
Je te prie de m'excuser pour ce retour tardif. Je n'ai pas eu de temps durant la semaine.

Là, je pense que tu fais une erreur FONDAMENTALE car tu appliques des probas à quelque chose qui n'a rien d'aléatoire, et qui est même moins aléatoire que les lois de la Nature (imaginables fausses en rêve) puisqu'il s'agit de théorèmes de maths qui eux "s'imposent même à Dieu" pour le dire de manière provocante ou encore "sont vraies quel que soit le sens qu'on donne aux mots non logiques" (version académique). En effet, un théorème de maths est la propriété d'être une phrase qui ne peut être que vraie en raison de sa grammaire. Autrement dit, elle n'est "pas une loi de la nature mais un truisme".

De ce fait, justement, on aurait PLUTOT pu s'attendre que ces truismes nous amènent vers des valeurs banales (comme1;2;5..)

Je comprends très bien ton idée que les mathématiques sont encore plus fondamentales que les lois de la nature. Les lois de la nature sont des relations mathématiques qu'on peux imaginer différentes et des constantes universelles dont on peut imaginer une différente valeur numérique et de cette manière modéliser une infinité d'univers possibles. Les mathématiques selon toi sont tout simplement des constructions logiques appliquées à un ensemble d'axiomes (d'hypothèses) de départ. Les mathématiques existent donc hors univers car c'est juste une conséquence de la logique, une énorme tautologie et donc les mathématiques restent les mêmes quelque soit l'univers qu'on peut imaginer.

Ma remarque concernant ceci est que d'une part les mathématiques sont sensibles aux choix des axiomes de départ, il y en a qui ne sont pas évidents comme par exemple l'axiome de choix. Tu connais le sujet beaucoup mieux que moi, mais je rappellerai qu'il n'a pas été possible de refonder les mathématiques à partir d'un ensemble d'hypothèses finies et donc de réduire les mathématiques à la logique. Le plus important c'est qu'on est tout le temps obligé de recourir à des notion comme "entiers intuitif" qui ne sont pas construits, ni définissables mais sont tout simplement l'émanation du monde extérieur sur notre esprit. Les mathématiques dépendent donc pour leur construction des notions empruntées à l'univers extérieur et donc dépendent de cet univers notamment dans le choix des axiomes. Ceci contredit donc ton point sur "la vérité qui s'impose à Dieu".

En revanche j'ai du mal à saisir le sens de la phrase "sont vraies quel que soit le sens qu'on donne aux mots non logiques" et de la phrase "un théorème de maths (qui est vrai indépendamment du sens des mots qui le composent et qui n'est qu'un cas particulier d'un énoncé de la forme X=>X plus gros)" . Pourrais-tu m'expliquer ça, s'il te plaît ?

Pour revenir à mon point précédent sur la probabilité d'avoir un nombre "e" entier naturel plutôt qu'un nombre non transcendant, il faut comprendre ça comme une probabilité "a priori". C'est-à-dire si aujourd'hui on te demande à quel ensemble va appartenir la valeur en un certain point d'un polynôme infini qui contient des factoriels en dénominateur (ce qu'est le nombre "e" en fin de compte) il est plus naturel de dire un nombre non transcendant ou au moins non rationnel car tout simplement cette fonction prend infiniment plus de valeurs comme ça que d'entiers naturels. L'aléatoire ici c'est l'effet du fait de considérer un sujet a priori. C'est comme jeter un dé : le résultat n'a rien d'aléatoire et est très prédictible si on le modélise en tenant compte de l'ensemble des variables qui régissent le mouvement mécanique du dé. Mais pour un observateur externe qui ne le fait pas, le résultat est "a priori" aléatoire.

Non, là, c'était le sens de ma réponse, il n'y a en fait (et une fois n'est pas coutume, mais ici "ça va" (ou plutôt rien de magique)) rien de "nontruismatique". C'est vide. C'est juste que la transformation de l'addition en multiplication qui donne une "fonction bizarre" vue est en fait une fonction très "attendue" vue . Ca n'a rien d'étonnant que ce recul aide à mieux la comprendre. C'est la partie sur le cercle de module1 qui démystifie tout.

J'en doute pas, mais comme je ne connaissais pas le sujet pour moi ce n'était pas évident du coup je cherchais à démystifier cela. Et je te remercie pour ton aide dans cet entreprise !
Bonne soirée cher ami,
diamatix

gerard0 · June 2021

Bonjour Diamatix.

"il est plus naturel de dire un nombre non transcendant ou au moins non rationnel car tout simplement cette fonction prend infiniment plus de valeurs comme ça que d'entiers naturels."
Tu voulais dire
"il est plus naturel de dire un nombre transcendant ou au moins non rationnel car tout simplement cette fonction prend infiniment plus de valeurs comme ça que d'entiers naturels.", non ?

Car les transcendants forment un ensemble de cardinal supérieur aux non transcendants.

Cordialement.

diamatix · June 2021

Bonjour gerard0,

Oui, tout à fait. Je voulais dire transcendant. Je me suis trompé, j'ai confondu les deux. Merci pour ta remarque.

Bien à toi,
diamatix

christophe c · June 2021

@diamatix:

Ma remarque concernant ceci est que d'une part les mathématiques sont sensibles aux choix des axiomes de départ, il y en a qui ne sont pas évidents comme par exemple l'axiome de choix. Tu connais le sujet beaucoup mieux que moi, mais je rappellerai qu'il n'a pas été possible de refonder les mathématiques à partir d'un ensemble d'hypothèses finies [...] construction des notions empruntées à l'univers extérieur et donc dépendent de cet univers notamment dans le choix des axiomes. Ceci contredit donc ton point sur "la vérité qui s'impose à Dieu".

Alors en fait il se trouve que non. Mais tu vas comprendre: les maths, ce ne sont pas les B, mais les A=>B, A étant les axiomes utilisés. C'est un peu comme si tu me disais $f(x)$ dépend de $x$ (en prenant par exemple $f:x\mapsto x^2+8$) dans un échange où tu me parles de $f$ (ou plutôt où je te parle de $f$). Ici je te réponds que $f$ ne dépend pas de $x$ et de ne pas confondre $f$ et $f(x)$ (même si tu ne les confonds quand tu fais des maths, disons que tu "viens de les confondre" dans un autre cadre). Evidemment, même ça, ça se discute, mais il était important déjà d'évacuer ce bug.

Quand j'ai utilisé mon analogie "qui s'impose à Dieu", bien évidemment, c'est assez anecdotique car rappelle juste les confusions que les religions officielles (celles qui ont cherché à se faire passer pour porte-parole de Dieu, les 3 connues, peut-être d'autres) peuvent avoir instigué dans les esprits avec leur méthodologie fautive. Ca ne va pas plus loin. Je ne "recommande pas", de passer du temps sur ce point: il est juste pédagogique pour servir à différencier lois de la physique non obligatoires en rêve et lois qui s'imposent même aux romans fictifs (en maths ça s'appelle des modèles).

diamatix a écrit:

En revanche j'ai du mal à saisir le sens de la phrase "sont vraies quel que soit le sens qu'on donne aux mots non logiques"

Théorème de logique:
$P$ est un théorème de maths si et seulement si il existe $X$ tel que $P$ est un cas particulier de $X$ et $X$ a une forme grammaticale telle que toute personne en la voyant et MEME SANS LA COMPRENDRE dira "ah bin oui, $X$ est une évidence, pfff"

Pour le reste:

Ton paragraphe

Pour revenir à mon point précédent sur [...]

est en conflit avec ton paragraphe

J'en doute pas, mais comme je ne connaissais pas le sujet pour moi ce n'était pas évident [...]

et pour aider, je te fais à nouveau une analogie: l'existence de la constante diagonale d'un carré divisée par côté d'un carré (qui est un nombre) peut "légitimement" entrainer que des gens pensent que ce nombre est "simple". A une époque, il était PREJUGE rationnel du coup.

Ton attitude consiste à user de choses proches de la notion d'alea pour dire "Non, moi diamatix, vus tous les choix possibles, je penche pour pas rationnel"

C'est exactement la même discussion ici, mais avec autre chose que $\sqrt{2}$. Dans LES FAITS on constate QUE TU AS GAGNE ton pari. Ca, je ne le conteste pas. Mais les arguments que tu avances me paraissent non convaincants. Mais ici je parle de MA SENSIBILITE. Je ne vois pas l'existence d'une constante dont la preuve est triviale comme "ayant de bonnes chances d'être irrationnelle, ou plus encore transcendante" par exemple, sous le prétexte qu'on ne l'a pas encore calculée. Mais j'ai compris ton ressenti à toi.

Dans un sens un peu éloigné, j'avais un peu eu le même conflit avec Foys qui avait tendance, en rejetant l'alea dans les conditions intitales en physique à tenir un discours qui aurait pu être confondu par des amateurs avec une défense du déterminisme. Mais bon, c'était plus de la physique.

Ici tu évoques une "démarche clinique basée sur nos maitrises des paris incertains pour faire des paris sur des constantes mathématiques". C'est épistémologiquement passionnant, mais je te redirige vers Foys pour une discussion avec quelqu'un qui pourrait avoir une psyché plus en accord avec ta sensibilité.

Foys · June 2021

@CC à nouveau le fait de rater un grain de riz en nommant au pif les coordonnées d'un point dans un stade de foot ne peut en aucun cas être assimilé à un miracle ni nécessiter le recours à un effet magique dans son explication. Je pense que tu fais la même faute que tes détracteurs en insistant pour essentialiser l'aléa dans ces arguments. C'est aussi ce qui amène la plupart des gens à être autant désemparés devant un phénomène comme la loi de Benford. Les maths étudient de façon assumée des tailles (le recours explicite à la théorie de la mesure ne dit pas autre chose) et non des prétendues forces invisibles qui ajusteraient le comportement asmptotique de suites et quand tu suggères avoir "lu dans mon psychisme" le contraire tu te trompes ou fais une projection j'ai l'impression. Il faudrait aussi que je réponde à George Abitbol pour son message de l'autre jour sur la concentration des mesures.

diamatix · June 2021

Bonjour christophe c,

Je te remercie pour ta réponse rapide.

J'ai examiné avec grand intérêt tes différents retours. Je constate avec satisfaction qu'on est globalement d'accord avec la majorité des points.

Alors en fait il se trouve que non. Mais tu vas comprendre: les maths, ce ne sont pas les B, mais les A=>B, A étant les axiomes utilisés. C'est un peu comme si tu me disais f(x) dépend de x (en prenant par exemple f:x x2+8) dans un échange où tu me parles de f (ou plutôt où je te parle de f). Ici je te réponds que f ne dépend pas de x et de ne pas confondre f et f(x) (même si tu ne les confonds quand tu fais des maths, disons que tu "viens de les confondre" dans un autre cadre). Evidemment, même ça, ça se discute, mais il était important déjà d'évacuer ce bug.

Je comprends tout à fait ton idée. Dans n'importe quel univers imaginables on peux définir un ensemble de règles (principe d'identité, principe de non-contradiction, principe du tiers exclu) et ça va indéniablement conduire aux mêmes relation entre les objets mathématique que dans notre univers car on ne fait qu'appliquer la règle que nous avons nous mêmes définis défini. Et donc à condition de partir des mêmes hypothèses de départ (axiomes) nous allons retomber sur exactement les mêmes mathématiques dans tous les univers possibles et imaginables.

Je suis globalement d'accord avec ce constat. Néanmoins je souhaiterai le nuancer en rappelons qu'il ne faut pas trop absolutiser les construction mentales. La raison est un outil que les primates ont developper afin de s'adapter et de survivre dans un univers particulier (leur univers). Cet outil a été très efficace certes et a pu servir à beaucoup plus de choses que son but initiale (faire survivre les primates) grâce à son incroyable flexibilité. Mais il est important de se rappeler que la raison reste un outil que les primates ont developper et calibré par rapport à un monde très concret et dans des situation très concrètes. Donc on ne peut rien dire quand à l'OBJECTIVITE absolue de la vision du monde que cet outil nous confère. Et encore plus de toutes les construction mentales aussi fondamentales nous semblent-elles. Je pense notamment à la difficulté de l'esprit humain à saisir certains conceptes de la mécanique quantique car l'esprit humain est adapter à interpréter le macro-monde et non le micromonde. On peux imaginer que toutes les construction mentales de notre cerveau sont très naïves et subjectives aussi. Mais là on part dans la philosophie.

Ton attitude consiste à user de choses proches de la notion d'alea pour dire "Non, moi diamatix, vus tous les choix possibles, je penche pour pas rationnel"

C'est exactement la même discussion ici, mais avec autre chose que racin de 2. Dans LES FAITS on constate QUE TU AS GAGNE ton pari. Ca, je ne le conteste pas. Mais les arguments que tu avances me paraissent non convaincants. Mais ici je parle de MA SENSIBILITE. Je ne vois pas l'existence d'une constante dont la preuve est triviale comme "ayant de bonnes chances d'être irrationnelle, ou plus encore transcendante" par exemple, sous le prétexte qu'on ne l'a pas encore calculée. Mais j'ai compris ton ressenti à toi.

Je noterai d'abord que là on discute d'un ressenti subjectif. Mais en te lisant je suis complètement d'accord avec ton point : quand on aborde des sujets qui sont (ou semblent en tout cas) être triviaux on s'attends plutôt à des valeurs triviales. Par exemple, quand on traite avec un sujet aussi basique que le rapport entre la longueur d'un arc et son diamètre (c'est-à-dire historiquement mesurer la longueur de l'arc avec son diamètre) on s'attends à retrouver quelque chose d'assez basique et non pas un nombre qui ne peut être mesurer avec entier (non rationnel), ni construit avec les opérations algébriques basiques (transcendant l'algèbre). Et dans ce contexte, je dirais que j'étais surpris d'apprendre que le nombre "pi" était n'était pas un entier quand j'étais enfant. D'autant plus, une personne sans connaissance mathématiques sur le IR sera très surprise de voir l'existence d'un nombre infini et aura tendance à mystifier ce faite.

Je pense que le cas particulier de "e" pour moi vient de faite que je me suis intéressé à ce nombre en ayant déjà un certain bagage mathématique et en le voyant surtout comme la limite d'une série entière. Le côté basique, en revanche n'étant pas évident pour moi car ayant des connaissances mathématiques assez non uniformes et lacunaire sur certains sujets (comme celui-ci), je ne percevait pas du tout le faite de décrire le cercle unité comme évident.

Dans tous les cas je te remercie pour cette conversation intéressante. je vais relire toutes les preuves qu'on m'a proposé dans ce fil et m'assurer que le nombre "e" n'a plus rien de mystérieux pour moi.

Bonne journée et profite bien du beau temps qu'il fait ce dimanche !
diamatix

christophe c · June 2021

La raison est un outil que les primates ont developper afin de s'adapter et de survivre dans un univers particulier (leur univers). Cet outil a été très efficace certes et a pu servir à beaucoup plus de choses que son but initiale (faire survivre les primates) grâce à son incroyable flexibilité. Mais il est important de se rappeler que la raison reste un outil que les primates ont développé et calibré par rapport à un monde très concret et dans des situation très concrètes. Donc on ne peut rien dire quand à l'OBJECTIVITE absolue de la vision du monde que cet outil nous confère

Je ne conteste en rien ça. Ce n'était pas mon propos d'aller contre, même un peu. ,D'ailleurs, j'ai bien insisté plein de fois que la phrase "Dieu existe" n'a pas de sens (avant d'être vraie ou fausse) pour cette raison-là.

Par contre, attentin, je pense que tu peux faire ou induire une confusion chez les lecteurs :

1/ $f(x)$ dépend de $x$ mais pas $f$
2/ Ne pas confondre les questions et les réponses. Le fait que le choix des questions posées obtenant des réponses est effectivement "primate-sensible" (c'est le $f(x)$), cet argument ne parle pas de $f$. Or c'est de ce $f$ là que les gens vont plutôt se servir comme un absolu. Il n'y a pas de "désaccord".