Achille et la tortue et axiome de l'infini.

Jean-Louis · June 2021

Les paradoxes m'ont toujours posé problème parce que j'ai l'impression que les mathématiciens ont leur solution et que les philosophes la leur, ou pas (vu le nombre de pages qui sont écrites sur certaine de ces paradoxes).
En ce qui concerne le paradoxe de Zénon (Achille ne rattrapera pas la tortue), il me semble qu'un matheux exhibe aussitôt la somme d'une série qui converge et se satisfait de ce résultat. Mais en faisant cela, n'utilise t-il pas l'axiome de l'infini, qui pour moi est tout sauf intuitif , contrairement aux autres axiomes de la théorie des ensembles. Si je refuse cet axiome, je ne résous pas le paradoxe. Et comme dans la pratique Achille rattrapera bien la tortue, cela pourrait-il vouloir dire que cet axiome de l'infini est "vrai" ? Je me demande si ce que je dis a du sens....
Cordialement.
Jean-Louis..

Mathurin · June 2021

Bonjour,
il me semble que si tu refuses l'infini, tu ne peux pas conclure non plus qu'Achille ne rattrape jamais la tortue.
Il n'y a alors pas de conclusion.
Pas de modélisation pertinente du monde sensible.
Cordialement

Foys · June 2021

Les maths permettent de calculer la date $t$ où Achille atteint la tortue (Achille et la tortue sont des points), mais aussi de démontrer que quel que soit l'événement envisagé dans l'énoncé du "paradoxe", si on note $s$ sa date, on a $s<t$ (bref Achille ne peut jamais atteindre la tortue, strictement avant le plus petit instant où il l'atteint; mais songer que beaucoup d'auteurs non mathématiciens ont des lacunes en maths).

Signalons qu'on peut montrer que $\sum_{k=0}^n 2^{-(k+1)} < 1$ pour tout $n\in \N$ sans passage à la limite.

Achille et la tortue et axiome de l'infini.

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