Idéaux de tribus
Bonjour,
soit $(X,\mathcal{B})$ un espace muni d'une tribu. Une partie $I$ de $\mathcal{B}$ est appelée $\sigma$-idéal (ici juste idéal pour faire court) si :
1) pour tout couple $(A,B) \in \mathcal{B}^2$, si $B \in I$ et (merci Martial) $A\subset B$, alors $A \in I$ ;
2) pour toute suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$, si chaque $A_n$ est dans $I$, alors la réunion l'est aussi.
Si $\mu$ est une mesure sur $(X,\mathcal{B})$, alors l'ensemble des parties mesurables et $\mu$-négligeables est un idéal.
Question : est-ce que tout idéal est l'ensemble des parties négligeables pour une certaine mesure finie ? Si la réponse est non, que se passe-t-il si $(X,\mathcal{B})$ est un couple espace polonais, tribu borélienne ?
Je n'ai aucune idée de la réponse...
Merci et bonne journée !
EDIT2 : Bon, c'est une question peut-être un peu trop débile... N'hésitez pas à proposer des conditions supplémentaires qui donneraient des choses moins triviales !
soit $(X,\mathcal{B})$ un espace muni d'une tribu. Une partie $I$ de $\mathcal{B}$ est appelée $\sigma$-idéal (ici juste idéal pour faire court) si :
1) pour tout couple $(A,B) \in \mathcal{B}^2$, si $B \in I$ et (merci Martial) $A\subset B$, alors $A \in I$ ;
2) pour toute suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$, si chaque $A_n$ est dans $I$, alors la réunion l'est aussi.
Si $\mu$ est une mesure sur $(X,\mathcal{B})$, alors l'ensemble des parties mesurables et $\mu$-négligeables est un idéal.
Question : est-ce que tout idéal est l'ensemble des parties négligeables pour une certaine mesure finie ? Si la réponse est non, que se passe-t-il si $(X,\mathcal{B})$ est un couple espace polonais, tribu borélienne ?
Je n'ai aucune idée de la réponse...
Merci et bonne journée !
EDIT2 : Bon, c'est une question peut-être un peu trop débile... N'hésitez pas à proposer des conditions supplémentaires qui donneraient des choses moins triviales !
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Réponses
Ceci dit, moi non plus je n'ai aucune idée de la réponse, même dans le cas de la tribu discrète.
Soit la mesure $\mu:{\cal B} \to[0,\infty]$ qui à $A$ associe 0 si $A\in I$ et $+\infty$ sinon. Alors $\mu$ est une mesure dont $I$ est l'ensemble des négligeables. Non ? (Ça l'air un peu trop simple pour être vrai donc ça me fait douter. 8-))
Sur $([0;1],\mathcal{L})$ (tribu de Lebesgue), l'ensemble $\mathcal{P}(X)$ des parties d'un négligeable $X \subset [0;1]$ pour la mesure de Lebesgue est un idéal. Si $\mu$ est une mesure finie sur $([0;1],\mathcal{L})$ dont $\mathcal{P}(X)$ est l'ensemble des négligeables, alors en particulier elle doit être non-nulle sur tout singleton de $[0;1] \setminus X$. Mais puisque cet ensemble est indénombrable, on a en particulier un ensemble infini dénombrable $Y \in \mathcal{L}$ dont chaque point est de mesure supérieure à un $\varepsilon>0$ fixé. Ainsi $\mu(Y)=+\infty$: contradiction.
@Palabra : Merci !
Bon, bon, bon... Ben, pour essayer d'éviter l'argument de Palabra, on peut ajouter : tout idéal "dont la réunion est $X$ tout entier", mais bon...
En fait mon argument s'applique à des ensembles hors de l'idéal, du moment qu'ils sont en quantité indénombrable. Par exemple pour l'idéal $I$ des parties dénombrables de $\mathbb{R}$ et la tribu de Lebesgue, on devrait avoir un $\varepsilon>0$ et un ensemble infini $Y$ avec $\mu([0;y])>\varepsilon$ pour tout $y \in Y$, d'où $\mu(\mathbb{R})=+\infty$. edit: Ca ne marche pas car je ne suis pas sûr qu'on puisse sélectionner des intervalles en général suffisamment disjoints pour ce que je veux faire. Peut-on créer $2^{\aleph_0}$ espaces de Cantor disjoints? edit2: Avec une bijection $f:K \rightarrow K^2$ d'un Cantor, on peut se donner $2^{\aleph_0}$ parties $f^{-1}(\{a\} \times K),a \in K$ deux à deux disjointes, puis appliquer l'argument.
En fait, il n'y a pas une correspondance $I$ idéal maximal --> mesures non nulles dans $\{0;1\}$ dont $I$ est l'ensemble des négligeables?
Quand à ta question, si $I$ est un idéal (mais là, "idéal" au sens des algèbres de Boole - donc, pas de condition d'additivité dénombrable) maximal de l'ensemble des parties de $X$, alors effectivement, c'est l'ensemble des négligeables d'un ultrafiltre, oui !
On peut aussi voir que $\Bbb R\cong 2^{\Bbb N} \cong (2^{\Bbb N})^2\cong \Bbb R^2$ où $\cong$ désigne un isomorphisme d'espaces mesurables (bijection bi-mesurable). Comme $\Bbb R^2$ peut être partitionné en un nombre indénombrable de boréliens indénombrables (les $\{x\}\times\Bbb R$), $\Bbb R$ aussi.
J'avais pensé à des trucs comme ça. Par passage au complémentaire,
- un idéal équivaut à la donnée d'un filtre inclus dans la tribu $\cal B$,
- un $\sigma$-idéal équivaut à un filtre $\sigma$-complet (i.e. stable par intersections dénombrables et pas juste par intersections finies) inclus dans la tribu $\cal B$,
- et un idéal maximal (dans la tribu ${\cal P}(X)$) équivaut à un ultrafiltre, qui équivaut lui-même à une mesure finiment additive à valeurs dans {0,1}.
Partant d'un $\sigma$-idéal, je m'étais dit qu'on pourrait peut-être l'inclure dans un $\sigma$-idéal maximal (équivalent à un ultrafiltre $\sigma$-complet), qui fournit alors une mesure mesure $\sigma$-additive à valeurs dans {0,1}. Cependant, il y a 2 soucis :- apparemment tout filtre $\sigma$-complet n'est pas inclus dans un ultrafiltre $\sigma$-complet ([math.stackexchange.com])
- et en grossissant le filtre, on récupère des négligeables qu'on ne voulait pas.
Bref, un message un peu long pour juste faire le compte-rendu d'un échec. :-D(Plus précisément : le plus petit cardinal sur lequel il existe un ultrafiltre $\sigma$-complet non principal est mesurable - s'il s'appelle $\kappa$, c'est le $\kappa$-ème inaccessible)
@Calli: Ah oui sympa je n'avais pas pensé que les isomorphismes pour $\mathbb{R}$ étaient mesurables.