@GBZM : merci pour l'orthographe, je viens de corriger. Je sentais bien, en écrivant ce mot, qu'il y avait quelque chose qui ne collait pas, mais je n'arrivais pas à mettre le doigt dessus.
Existe-t-il des nombres naturels possédant une infinité (dénombrable) de chiffres ?
Quelle drôle d'idée ! Bien sûr que non, tout entier naturel sauf 0 et 1 est plus grand que son nombre de chiffres.
Les entiers p-adiques peuvent avoir une infinité de chiffres (qui s'écrivent de la droite vers la gauche), mais c'est une toute autre histoire. L'anneau des entiers p-adiques n'est pas dénombrable.
Les cinq premiers termes de la suite des « repunits » (entiers naturels uniquement constitués du chiffre 1) sont :
1
11
111
1111
11111
Dans cet exemple, je souhaiterais savoir si l’on peut imaginer un « repunit » possédant une infinité de chiffres et que l’on écrirait par exemple comme ceci :
... 11111.
Il faut s’entendre par ce que signifie « nombre de chiffres ».
Déjà, s’agit-il de l’écriture décimale ? Je suppose que oui.
Ensuite, on a le droit de considérer « le nombre de chiffres » comme dénombrable en considérant une infinité (dénombrable) de $0$ (ceux qui sont « devant »).
Ne nombre $dix$ a pour écriture $00000000010$. Et plein d’autres, notamment si on utilise la virgule…
Le développement décimal est la suite (infinie) de ses chiffres. Et on peut encore affiner en jouant avec l’écriture de la partie entière.
Bon, après avoir pinaillé, j’imagine qu’on voulait dire « nombre de chiffres dans l’écriture décimale qui demande le moins de symbole ».
Je reformule ma question sous une forme plus mathématique, j’espère :
L’esprit humain semble capable d’imaginer qu’un réel possède une infinité de décimales. Est-il capable d’imaginer qu’un réel puisse posséder une partie entière infiniment grande, c’est-à-dire plus grande que n’importe quelle valeur arbitrairement choisie ?
Est-il capable d’imaginer qu’un réel puisse posséder une partie entière infiniment grande, c’est-à-dire plus grande que n’importe quelle valeur arbitrairement choisie ?
La "forme mathématique", ce n'est toujours pas ça. Qu'est-ce qu'une "valeur" ?
Si j'ai bien compris tout ce qui précède, l'argument diagonal fonctionne comme ceci :
1) On s'imagine devant une liste de nombres infinie dénombrable, donc en bijection avec $\mathbb{N}$.
2) Grâce à l'argument diagonal, on exhibe un nombre censé se trouver dans la liste mais qui, par construction, ne peut pas s'y trouver.
3) On conclut alors que la liste n'est pas en bijection avec $\mathbb{N}$.
Un point crucial, c'est que le nombre exhibé doit être de même nature que les nombres appartenant à la liste. Par exemple, si la liste compte tous les nombres pairs et que je viens, d'une façon ou d'une autre, à exhiber un nombre impair, je ne prouve pas pour autant que l'ensemble des nombres pairs est non-dénombrable, évidemment.
Dans cette vidéo un monsieur prétend infirmer l'argument diagonal. Comment le contrer ?
Je pense que le nombre qu'il exhibe est un nombre p-adique ("fait d'une suite infinie de chiffres à gauche de la virgule") et que, pour que son raisonnement soit valable, il faut que les nombres de sa liste soient eux aussi p-adiques. Or, je lis que l'ensemble des nombres p-adiques a la puissance du continu, ce qui expliquerait bien pourquoi les nombres de sa liste ne sont pas dénombrables.
Est-ce que ce que j'écris est juste ?
Merci d'avance.
Comment établir simplement une bijection entre les nombres p-adiques ayant une partie décimale nulle et l'intervalle ]0, 1[ ?
Ensuite, comment comprendre la notion de successeur immédiat d'un nombre p-adique donné comme précédemment et l'opération équivalente sur le réel de ]0, 1[ en bijection avec lui ?
La notion de successeur à-t-elle encore un sens dans ce contexte ?
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Tu veux parler des entiers $p$--adiques ?
À un élément de $[0,1$[ écrit en base $p$ tu peux faire correspondre un entier $p$ -adique en écrivant la suite des "décimales" de droite à gauche. C'est injectif, presque surjectif.
Tu obtiens une injection dans l'autre sens en prenant un entier $p$-adique $\ldots c_n\ldots c_2c_1c_0$ et en l'envoyant sur le réel $0,c_00c_10c_20,\ldots$. Tu charges ensuite Messieurs Cantor et Bernstein de te fabriquer une bijection.
Ensuite, comment comprendre la notion de successeur immédiat d'un nombre p-adique donné comme précédemment et l'opération équivalente sur le réel de ]0, 1[ en bijection avec lui ?
Pas compris.
La notion de successeur à-t-elle encore un sens dans ce contexte ?
Ce que j’ai cherché à savoir par moi-même cette après-midi, c’est si l’affirmation que tu as faite à plusieurs reprises à propos du nombre de chiffres des entiers naturels fait partie de la construction des entiers par Peano. Je n’ai rien trouvé. Mais j’ai peut-être mal cherché.
Essayons déjà avec l’écriture en base « un » (mais écartons alors le nombre zéro).
Faisons la remarque qu’avec une écriture dans une autre base, cela demande moins de symboles qu’avec la base « un ».
Par exemple, dans la base primitive 'unitaire', le nombre de bâtons (je les appelle comme cela plutôt que de parler de chiffres 1) est égal au nombre représenté pour tout naturel.
En base deux, c'est à partir de 3 que le nombre est plus grand que son nombre de chiffres.
Pour les bases supérieures, il en va effectivement comme l'a dit GaBuZoMeu.
Donc, si l'on excepte la fameuse représentation primitive, pour les autres bases de numération il existe une valeur finie à partir de laquelle le nombre est plus grand que le nombre de ses chiffres.
À bientôt.
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A mon sens non car tel qu'écrit et sans précautions il y a deux exceptions (base primitive et base deux), ce qui est moyen pour un axiome.
Au delà de ça, tout n'est pas toujours écrit explicitement ou alors on en arrive à des écrits comme ceux de Bertrand Russell où "1+1=2" est défini à la 379ème page.
À bientôt.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Je répète qu’il s’agit d’une convention jamais vraiment écrite « le nombre de chiffres de $seize$ est 2 » alors qu’on peut très bien l’écrire « 000016 » et même « 0016,00000 ».
Dans ce cas on a des difficultés à définir « le » nombre de chiffres.
Il faut effectivement d'abord préciser qu'un naturel n'a pas de partie décimale, cela évite les écritures problématiques après la virgule. Ensuite, dans une base positive donnée, l'écriture d'un naturel donné est finie.
Moyennant ces préambules il est possible de manipuler le nombre de chiffres d'un naturel.
Je ne vois pas ce qu'il y a d'extravagant.
À bientôt.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Qui veut noyer son chien l'accuse de la rage.
Qui veut faire apparaître l'infini là où il n'est pas demande un axiome.
Il faut être raisonnable, la démonstration à partir des axiomes de Peano du nombre fini de chiffres d'un entier écrit en base 10 est assez simple et se fait par récurrence, une fois définis l'écriture en base 10 et le nombre de chiffres : $a_0+10a_1+10^2 a_2+ ... +10^k a_k + 1 = ...$
Je ne comprends toujours pas : A quoi faites vous allusion ? Sans doute pas à mon message, donc il faudrait le signaler, modifier ce message pour dire à quoi il répond.
12 messages sur le nombre de chiffres d'un entier (sans jamais y voir de démonstration, votre message dit seulement qu'elle existe), pour monrer que les p-adiques ne sont pas des entiers, alors qu'en une ligne et en utilisant que les concepts de base de AP on a la réponse.
Ah, mon message n'étant pas sur ce sujet, je ne risquais pas de comprendre !! Je ne parlais pas des p-adiques.
Et la tradition ici est de rédiger soi-même la démonstration quand on pense qu'elle s'impose (pour ma part, je me suis contenté du point central). Donc on attend cette ligne ...
Mais il fallait dire de quoi tu parlais. Pour moi, la question des p-adiques était réglée, par ton message et le suivant; et personne n'était revenu sur les p-adiques ensuite.
J'ai une dernière question à vous poser, encore une fois en rapport avec l'histoire des mathématiques.
J'aimerais savoir si, dans ses échanges avec Dedekind, Cantor avait envisagé l'hypothèse suivante :
"Cher Confrère,
Notre intelligence humaine nous dicte qu'il n'existe pas d'infini "plus grand" qu'un autre infini, pour employer le langage courant.
Or, mes récents travaux contredisent de façon irréfutable ce que nous dicte notre intelligence.
Alors, afin que tout rentre dans l'ordre, je me demande s'il ne serait pas impératif que nous révisions de fond en comble notre conception actuelle des nombres, car c'est évidemment sur cette conception que reposent mes incroyables résultats."
(Bref, l'évocation d'une sorte de "crise des fondements".)
@Sneg : il faudrait que tu précises ta question. C'est quoi ce texte entre guillemets ? C'est la traduction d'une lettre de Cantor à Dedekind, ou c'est une fiction de ta part ?
A ma connaissance, Cantor n'a jamais remis en cause ses résultats, même s'il a été rudement secoué par Kronecker et qu'une grave dépression l'a obligé à suspendre ses recherches pendant plusieurs années. Dans sa lettre à Dedekind du 7 décembre 1873 (de mémoire), celle où il montre que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable alors que $\mathbb{R}$ ne l'est pas, il se rend bien compte qu'il vient de faire une découverte majeure : il existe au moins 2 sortes d'infini. Un peu plus tard, quand il démontre que $[0,1]$ a la même taille que $[0,1]^2$, il écrit (traduction approximative) : "je le vois, mais je ne le comprends pas".
@Médiat : pourrais-tu citer tes sources ? J'ai lu pas mal de bouquins sur Cantor et il m'a toujours semblé que la principale source de sa dépression était le harcèlement moral dont il était la victime via Kronecker. Ceci dit, je peux me tromper.
Cantor's youngest son Rudolph died suddenly on December 16 (Cantor was delivering a lecture on his views on Baconian theory and William Shakespeare), and this tragedy drained Cantor of much of his passion for mathematics.
La-dessus, je ne me considère pas un expert du sujet
Je cherche juste à savoir jusqu’à quel point Cantor, que j’aurais tendance à considérer comme quelqu’un de posé, a été troublé par ses propres résultats (comme tu l’as rappelé, il s’étonne lui-même de l’un d’entre eux). Serait-il allé, dans ses lettres à Dedekind, jusqu’à remettre en question les fondements des mathématiques ?
Voilà ma question, rédigée d’une façon plus académique. :-)
Pendant près de deux millénaires, le fondement des mathématiques à été la Géométrie.
Pour info, il y a au moins un autre mathématicien nommé Cantor (spécialiste en théorie des nombres, co-auteur de l'algorithme de Cantor-Zassenhaus) et un historien et professeur d'histoire des mathématiques (contemporain patriote de celui dont on parle).
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Je suis assez d'accord avec Raoul. A part l'axiomatisation de la géométrie par Euclide, à ma connaissance à l'époque de Cantor il n'y avait pas de réels fondements des maths, en particulier de l'analyse. D'une certaine façon on pourrait dire que c'est Cantor (et sa théorie naïve qui n'a jamais existé) qui est à l'origine de la crise des fondements... et donc des fondements eux-mêmes.
Sneg, ce qui a remis en question "les fondements" des mathématiques n'a pas été la découverte de Cantor que $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable. C'est plutôt certains paradoxes apparus dans la théorie des ensembles de Cantor, comme le paradoxe de Russell https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell.
Tu devrais chercher des infos sur La crise des fondements sur le web.
Réponses
Existe-t-il des nombres naturels possédant une infinité (dénombrable) de chiffres ?
Si oui, ces nombres sont-ils en quantité infinie (dénombrable) ?
Merci d’avance.
Qu'appelles-tu "nombres naturels" et comment définis-tu leurs chiffres ?
Cordialement.
Quelle drôle d'idée ! Bien sûr que non, tout entier naturel sauf 0 et 1 est plus grand que son nombre de chiffres.
Les entiers p-adiques peuvent avoir une infinité de chiffres (qui s'écrivent de la droite vers la gauche), mais c'est une toute autre histoire. L'anneau des entiers p-adiques n'est pas dénombrable.
Peut-on imaginer des nombres entiers qui auraient une infinité de chiffres « à gauche » des milliers ?
Prenons un exemple concret :
Les cinq premiers termes de la suite des « repunits » (entiers naturels uniquement constitués du chiffre 1) sont :
1
11
111
1111
11111
Dans cet exemple, je souhaiterais savoir si l’on peut imaginer un « repunit » possédant une infinité de chiffres et que l’on écrirait par exemple comme ceci :
... 11111.
Déjà, s’agit-il de l’écriture décimale ? Je suppose que oui.
Ensuite, on a le droit de considérer « le nombre de chiffres » comme dénombrable en considérant une infinité (dénombrable) de $0$ (ceux qui sont « devant »).
Ne nombre $dix$ a pour écriture $00000000010$. Et plein d’autres, notamment si on utilise la virgule…
Le développement décimal est la suite (infinie) de ses chiffres. Et on peut encore affiner en jouant avec l’écriture de la partie entière.
Bon, après avoir pinaillé, j’imagine qu’on voulait dire « nombre de chiffres dans l’écriture décimale qui demande le moins de symbole ».
Je reformule ma question sous une forme plus mathématique, j’espère :
L’esprit humain semble capable d’imaginer qu’un réel possède une infinité de décimales. Est-il capable d’imaginer qu’un réel puisse posséder une partie entière infiniment grande, c’est-à-dire plus grande que n’importe quelle valeur arbitrairement choisie ?
Merci.
Sneg, tu ne parles donc pas d'entiers naturels. De quoi parles-tu ?
1) On s'imagine devant une liste de nombres infinie dénombrable, donc en bijection avec $\mathbb{N}$.
2) Grâce à l'argument diagonal, on exhibe un nombre censé se trouver dans la liste mais qui, par construction, ne peut pas s'y trouver.
3) On conclut alors que la liste n'est pas en bijection avec $\mathbb{N}$.
Un point crucial, c'est que le nombre exhibé doit être de même nature que les nombres appartenant à la liste. Par exemple, si la liste compte tous les nombres pairs et que je viens, d'une façon ou d'une autre, à exhiber un nombre impair, je ne prouve pas pour autant que l'ensemble des nombres pairs est non-dénombrable, évidemment.
Dans cette vidéo un monsieur prétend infirmer l'argument diagonal. Comment le contrer ?
Je pense que le nombre qu'il exhibe est un nombre p-adique ("fait d'une suite infinie de chiffres à gauche de la virgule") et que, pour que son raisonnement soit valable, il faut que les nombres de sa liste soient eux aussi p-adiques. Or, je lis que l'ensemble des nombres p-adiques a la puissance du continu, ce qui expliquerait bien pourquoi les nombres de sa liste ne sont pas dénombrables.
Est-ce que ce que j'écris est juste ?
Merci d'avance.
Parce qu’il n’a pas de successeur direct ?
Comment établir simplement une bijection entre les nombres p-adiques ayant une partie décimale nulle et l'intervalle ]0, 1[ ?
Ensuite, comment comprendre la notion de successeur immédiat d'un nombre p-adique donné comme précédemment et l'opération équivalente sur le réel de ]0, 1[ en bijection avec lui ?
La notion de successeur à-t-elle encore un sens dans ce contexte ?
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
À un élément de $[0,1$[ écrit en base $p$ tu peux faire correspondre un entier $p$ -adique en écrivant la suite des "décimales" de droite à gauche. C'est injectif, presque surjectif.
Tu obtiens une injection dans l'autre sens en prenant un entier $p$-adique $\ldots c_n\ldots c_2c_1c_0$ et en l'envoyant sur le réel $0,c_00c_10c_20,\ldots$. Tu charges ensuite Messieurs Cantor et Bernstein de te fabriquer une bijection.
Pas compris.
Non, je ne vois pas. Quel ordre ?
Pour le successeur immédiat, j'ai juste en tête l'opération '+1' sur les nombres p-adiques, comme décrite par Sneg.
Quand même content qu'on soit à peu près d'accord au sujet de la bijection.
À bientôt.
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1) ce n'est pas ainsi que l'on note les entiers
2) il y en a trop (non dénombrable)
3) ...999 + 1 = 0
Encore une fois : pour tout entier naturel n différent de 0 et 1, le nombre de chiffres de n est strictement plus petit que n.
C'est du chinois pour toi ?
Ce que j’ai cherché à savoir par moi-même cette après-midi, c’est si l’affirmation que tu as faite à plusieurs reprises à propos du nombre de chiffres des entiers naturels fait partie de la construction des entiers par Peano. Je n’ai rien trouvé. Mais j’ai peut-être mal cherché.
Merci de me renseigner.
Faisons la remarque qu’avec une écriture dans une autre base, cela demande moins de symboles qu’avec la base « un ».
Par exemple, dans la base primitive 'unitaire', le nombre de bâtons (je les appelle comme cela plutôt que de parler de chiffres 1) est égal au nombre représenté pour tout naturel.
En base deux, c'est à partir de 3 que le nombre est plus grand que son nombre de chiffres.
Pour les bases supérieures, il en va effectivement comme l'a dit GaBuZoMeu.
Donc, si l'on excepte la fameuse représentation primitive, pour les autres bases de numération il existe une valeur finie à partir de laquelle le nombre est plus grand que le nombre de ses chiffres.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Au delà de ça, tout n'est pas toujours écrit explicitement ou alors on en arrive à des écrits comme ceux de Bertrand Russell où "1+1=2" est défini à la 379ème page.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Dans ce cas on a des difficultés à définir « le » nombre de chiffres.
Moyennant ces préambules il est possible de manipuler le nombre de chiffres d'un naturel.
Je ne vois pas ce qu'il y a d'extravagant.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Qui veut faire apparaître l'infini là où il n'est pas demande un axiome.
Il faut être raisonnable, la démonstration à partir des axiomes de Peano du nombre fini de chiffres d'un entier écrit en base 10 est assez simple et se fait par récurrence, une fois définis l'écriture en base 10 et le nombre de chiffres : $a_0+10a_1+10^2 a_2+ ... +10^k a_k + 1 = ...$
Cordialement.
Cordialement.
Cordialement.
Et la tradition ici est de rédiger soi-même la démonstration quand on pense qu'elle s'impose (pour ma part, je me suis contenté du point central). Donc on attend cette ligne ...
Cordialement.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2277624,2293996#msg-2293996 [? AD]
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Mais il fallait dire de quoi tu parlais. Pour moi, la question des p-adiques était réglée, par ton message et le suivant; et personne n'était revenu sur les p-adiques ensuite.
J'ai une dernière question à vous poser, encore une fois en rapport avec l'histoire des mathématiques.
J'aimerais savoir si, dans ses échanges avec Dedekind, Cantor avait envisagé l'hypothèse suivante :
"Cher Confrère,
Notre intelligence humaine nous dicte qu'il n'existe pas d'infini "plus grand" qu'un autre infini, pour employer le langage courant.
Or, mes récents travaux contredisent de façon irréfutable ce que nous dicte notre intelligence.
Alors, afin que tout rentre dans l'ordre, je me demande s'il ne serait pas impératif que nous révisions de fond en comble notre conception actuelle des nombres, car c'est évidemment sur cette conception que reposent mes incroyables résultats."
(Bref, l'évocation d'une sorte de "crise des fondements".)
Merci pour vos réactions.
A ma connaissance, Cantor n'a jamais remis en cause ses résultats, même s'il a été rudement secoué par Kronecker et qu'une grave dépression l'a obligé à suspendre ses recherches pendant plusieurs années. Dans sa lettre à Dedekind du 7 décembre 1873 (de mémoire), celle où il montre que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable alors que $\mathbb{R}$ ne l'est pas, il se rend bien compte qu'il vient de faire une découverte majeure : il existe au moins 2 sortes d'infini. Un peu plus tard, quand il démontre que $[0,1]$ a la même taille que $[0,1]^2$, il écrit (traduction approximative) : "je le vois, mais je ne le comprends pas".
La-dessus, je ne me considère pas un expert du sujet
Il s’agit d’une fiction de ma part.
Je cherche juste à savoir jusqu’à quel point Cantor, que j’aurais tendance à considérer comme quelqu’un de posé, a été troublé par ses propres résultats (comme tu l’as rappelé, il s’étonne lui-même de l’un d’entre eux). Serait-il allé, dans ses lettres à Dedekind, jusqu’à remettre en question les fondements des mathématiques ?
Voilà ma question, rédigée d’une façon plus académique. :-)
En tout cas je ne crois pas qu'à l'époque de Cantor il y avait de réels fondements des mathématiques.
Cela dépend ce que l'on entend par fondement.
Pendant près de deux millénaires, le fondement des mathématiques à été la Géométrie.
Pour info, il y a au moins un autre mathématicien nommé Cantor (spécialiste en théorie des nombres, co-auteur de l'algorithme de Cantor-Zassenhaus) et un historien et professeur d'histoire des mathématiques (contemporain patriote de celui dont on parle).
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Tu devrais chercher des infos sur La crise des fondements sur le web.