Vers l’infini et au-delà
Réponses
-
BonjourEn fait je me pose aussi la question pour R et ses diverses constructions. Sont-elles équivalentes" , ou simplement isomorphes?
Je ne comprends pas la nuance, il est clair que l'isomorphie (pour le bon langage) est suffisante, et si on prend les deux constructions les plus usuelles, une coupure des rationnels n'est pas une classe d'équivalence de suite de Cauchy modulo la bonne relation.
Pour les surréels je me souviens qu'à partir de Gonshor, il est assez facile de fabriquer les ensembles gauche et droit de Conway, mais dans l'autre sens ma mémoire me fait défaut -
Sneg: Mon message précédent ne sous-entendait pas que tu ne fais jamais de maths. En revanche, je pense que si tu avais regardé quelle est la définition de "développement décimal" d'un réel, tu n'aurais pas demandé s'il existe des nombres réels avec un développement décimal non dénombrable. A moins qu'il fallût interpréter ta question comme "peut-on donner un sens à la notion de développement décimal non dénombrable?".
Jean-Louis: Il existe un unique isomorphisme pour l'ordre entre les surréels à la Gonshor et à la Conway qui transforme la longueur d'une suite de signe en la date de naissance du nombre associé (ou de manière équivalente qui préserve la simplicité).
Pour prouver cela, il faut tout de même avoir une définition des surréels à la Conway: les choses appartenant à un $S_{\alpha},\alpha \in \mathbf{On}$ où $S_{\alpha}$ est l'ensemble des $\{L \ | \ R\}$ où $L,R$ sont des ensembles d'éléments des $S_{\beta},\beta<\alpha$, avec l'égalité telle que définie par Conway. Le plus petit $\alpha$ tel qu'un nombre est égal à un élément de $S_{\alpha}$ est la date de naissance de ce nombre.
A toute suite de signes $a$, en notant $a_L$ l'ensemble des segments initiaux stricts de $a$ qui sont dans $a$ suivis par un $+$, et $a_R$ l'ensemble des segments initiaux stricts de $a$ qui sont dans $a$ suivis par un $-$, alors l'isomorphisme $f$ est donné en $a$ par $f(a) = \{ f(a_L) \ | \ f(a_R)\}$, où $\{ \ | \ \}$ est la notation de Conway. On peut le définir par récurrence sur la longueur de la suite (ou bien sur la simplicité).
Pour les réels c'est encore mieux, il existe un unique isomorphisme (d'anneaux) entre deux corps de réels donnés. -
Merci à vous deux.
Jean-Louis.
P.S:les dates de naissance des nombres je trouve cette idée géniale. -
L'idée de la date de naissance n'est pas nouvelle, c'est un concept assez fréquent en théorie des ensembles, sauf que l'on appelle plutôt ça un rang, dans une hiérarchie ordonnée par les ordinaux. Par exemple le rang dans la hiérarchie de Von Neumann, ou encore le rang d'un borélien dans la hiérarchie de Borel.
-
@Poirot : ton parallèle est intéressant. Comme je n'y connais rien en surréels je n'y aurais pas pensé, mais maintenant que tu le dis ça me paraît limpide.
C'est flagrant dans la hiérarchie borélienne : un $\mathbf{\Sigma^0_{\xi}}$ commence à exister au rang $\xi$. Et dans la hiérarchie de Von Neumann, un ensemble de rang $\alpha$ apparaît au rang $\alpha +1$.
Bien ouej ! -
Bonjour
En relisant mes notes, je rencontre un problème.
(J'en connais un qui va jubiler, genre : "Sneg dit toujours qu'il comprend, mais il ne comprend jamais rien." Peu importe, le chien aboie la caravane passe.)
S'il vous plaît, reprenons les faits :
Mettre $\mathbb{R}$ en bijection avec $\mathbb{N}$ conduit à une contradiction, bien mise en évidence par l'argument diagonal.
Conclusion : On ne peut pas mettre $\mathbb{R}$ en bijection avec $\mathbb{N}$.
Je répète dix fois à voix haute ce résultat pour bien me le mettre dans la tête :
"On ne peut pas mettre $\mathbb{R}$ en bijection avec $\mathbb{N}$."
Partant de là, il me paraît alors exclu que je tienne le raisonnement suivant :
Mettre $\mathbb{R}$ en bijection avec $\mathbb{N}$ (Sneg, on ne peut pas !!! Combien de fois faudra-t-il te le répéter ?)
fait apparaître, grâce à l'argument diagonal, au moins un nombre réel "surnuméraire" par rapport aux nombres naturels.
Donc, Card $\mathbb{N}<$ Card $\mathbb{R}$.
Ce raisonnement bleu, je l'ai pourtant tenu de bonne foi ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2277624,2291332#msg-2291332 (et personne ne l'a contesté).
Mais, pour la raison que je viens de donner ci-dessus, je ne peux plus être d'accord avec ce raisonnement bleu.
En d'autres mots, pour arriver au résultat Card $\mathbb{N}<$ Card $\mathbb{R}$, il faut présenter les choses autrement.
Serait-ce en écrivant simplement : $\mathbb{R}$ indénombrable $\Longrightarrow$ Card $\mathbb{N}<$ Card $\mathbb{R}$ ?
Oui ? Non ?
Merci d'avance pour vos réactions. -
Quel est le problème de votre raisonnement ?
Le fait qu'il y ait au moins un réel de plus que les entiers montre que $Card(\mathbb N) \leq Card(\mathbb R)$, on obtient le même résultat en disant qu'il existe une injection de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$ ou que $\mathbb N \subset \mathbb R$, il suffit d'ajouter $Card(\mathbb N) \neq Card(\mathbb R)$, ce que donne aussi l'argument diagonal -
Bon effectivement tu n'as toujours pas compris, non pas l'argument diagonal, mais pourquoi il montre qu'il n'existe pas de bijection entre $\mathbb N$ et $\mathbb R$.
Quelle que soit l'application de $\mathbb N$ dans $[0, 1]$ (une "énumération partielle" de $[0, 1]$), on montre qu'il existe un élément de $[0, 1]$ qui n'est pas dans son image. J'insiste sur le "quelle que soit". Ainsi il est impossible "remplir" $[0, 1]$ avec $\mathbb N$ (ce n'est pas qu'on n'a pas trouvé de moyen, on montre que ça ne peut pas exister), et en particulier, il n'existe aucune bijection de $\mathbb N$ dans $[0, 1]$, a fortiori de bijection de $\mathbb N$ dans $\mathbb R$.
Une fois ceci acquis (et combiné avec le fait que $\mathrm{card}(\mathbb N) \leq \mathrm{card}(\mathbb R)$ puisque $\mathbb R$ est infini et que $\mathrm{card}(\mathbb N)$ est le plus petit infini), on obtient $\mathrm{card}(\mathbb N) < \mathrm{card}(\mathbb R)$. -
Bonsoir.
De manière laconique : en montrant qu'il en manque au moins 1 obtenu de manière arbitraire, on a aussi montré qu'il en manque une infinité d'autres obtenus via une infinité d'autres manières arbitraires.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
Merci à tous.
Ce que j'écris ci-dessous est-il conforme a ce qu'a écrit Poirot dans son dernier message ?
L'argument diagonal démontre qu'il n'existe pas de bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$.
Donc, Card $\mathbb{R} \neq$ Card $\mathbb{N}$.
Il reste alors deux possibilités :
1) Card $\mathbb{R} <$ Card $\mathbb{N}$.
2) Card $\mathbb{R} >$ Card $\mathbb{N}$.
Cela ne peut pas être la première possibilité, puisque $\mathbb{N}$ a le plus petit cardinal infini.
Donc, ...
(Comment se débarrasse-t-on encore des barres verticales qui apparaissent à la fin des passages écrits avec LaTeX ?)
[Pour les barres verticales avec MacOS voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1204455,1209141#msg-1209141 AD] -
Tu as raison Sneg que l'argument diagonal ne donne pas immédiatement que $\operatorname{Card} \mathbb{N} < \operatorname{Card} \mathbb{R}$, mais il s'en faut de quelques cheveux, démêlés ci-dessous:
La notation $\operatorname{Card} A < \operatorname{Card} B$ signifie qu'il existe une injection de $A$ dans $B$ et qu'il n'existe pas d'injection de $B$ dans $A$. Or pour $B$ non vide, s'il existe une injection de $B$ dans $A$, alors il existe une surjection de $A$ sur $B$ (je te laisse réfléchir à la preuve).
Puisqu'avec Cantor, il n'existe pas de surjection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{R}$, on en déduit qu'il n'existe pas d'injection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{N}$.
Il existe une injection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$, donc on a bien $\operatorname{Card} \mathbb{N} < \operatorname{Card} \mathbb{R}$. -
Palabra,
Dans mon dernier message, j’aimais bien ma tentative d'explication parce qu’elle était simple à comprendre. Mais peut-être n’est-elle pas assez rigoureuse. (Explication qui est aussi celle de Poirot ?)
Grand merci pour ton explication, à laquelle je vais bien réfléchir.
AD,
Merci d’avoir réglé le problème des barres verticales. Elles ont disparu. :-)
[À ton service ;-) AD] -
Oui Sneg ton explication fonctionne même si elle mériterait d'expliciter ses arguments. Elle utilise implicitement la trichotomie des cardinalités: le fait qu'on a soit $\operatorname{Card} A=\operatorname{Card} B$, soit $\operatorname{Card} A<\operatorname{Card} B$, soit $\operatorname{Card} B<\operatorname{Card} A$. Mon explication avait pour but principal de signaler la définition (enfin, il y en a plusieurs qui sont équivalentes) de l'assertion $\operatorname{Card} A<\operatorname{Card} B$.
-
Ok, Palabra.
Merci à toi. -
Bonjour,
Dans l’intervalle des réels $[0, 1[$ écrits sous forme d’un développement décimal illimité, certains nombres possèdent deux représentations. Trois exemples :
1) 0,09 = 0,10
2) 0,009 = 0,010
3) 0,139 = 0,140
...la barre sous le 9 ou le 0 indiquant le départ d’une infinité de périodes {9} ou {0}.
Peut-on quantifier le nombre de ces doublons ? Une infinité dénombrable, non dénombrable ?
Y a-t-il d’autres sortes de doublons ?
Merci d’avance. -
Ok, grand merci, Martial !
-
Bonjour,
Cantor définit un ensemble comme « une réunion $M$ d’objets de notre conception, déterminés et bien distincts, que nous nommerons éléments de $M$ ».
Depuis, les mathématiciens envisagent-ils l’existence d’ensembles dont on ne puisse pas distinguer, les uns des autres, tous les éléments ?
Merci d’avance. -
Que veut dire "distinguer" ici ? Qu'il existe une formule vérifiée par l'un et par l'autre (pour 2 éléments) ?
-
La question est un peu vague, si je ne m'abuse, cette idée de rendre indiscernables certains éléments d'un ensemble est ce qui est utilisé pour établir que l'axiome du choix n'est pas conséquence des axiomes de $\mathsf{ZF}$.
Il y a aussi la notion d'indiscernables en théorie des modèles, je ne sais pas si c'est directement relié à ce que je disais au-dessus. -
Bonjour, peut-on dire, considérant un groupe par exemple que abstraction faite de l'aspect "structure" ( opération, élément neutre, symétrique...) que les éléments du groupe sont indiscernables. Je trouve ça pas très convaincant car prenant le groupe Z par exemple, 2 et 5 sont différents par construction. Donc je pense que la réponse à ma question est non.
Bonne soirée.
Jean-Louis. -
Par contre il existe la notion de "multiset" qui peut contenir plusieurs fois le même élément, "instances" qui sont indiscernables
-
Un multiset n'est rien d'autre qu'une fonction à valeurs dans $\N$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
Merci à tous pour vos réponses rapides.
En réponse à la question de Médiat, je dis ceci :
Je ne sais pas vous, mais, moi, je comprends intuitivement Cantor quand il définit un ensemble comme « une réunion $M$ d’objets de notre conception, déterminés et bien distincts, que nous nommerons éléments de $M$ ».
Cela dit :
$\bullet$ Quand on considère l’ensemble $\mathbb{N}$, pas de souci : On distingue bien $0$ de $1$, $1$ de $2$, $2$ de $3$, etc.
$\bullet$ Pareillement, d’une façon ou d’une autre, est possible de distinguer les nombres rationnels.
$\bullet$ Mais comment écrire les nombres irrationnels de façon à ce qu’ils soient « bien distincts » ? -
Du coup j'ai l'impression que vous utilisez la distinction par une formule (une description) comme élément discriminant, en avançant un peu plus dans cette direction, vous finirez par dire que tout ensemble infini est dénombrable (pas compatible avec ZFC).Mais comment écrire les nombres irrationnels de façon à ce qu’ils soient « bien distincts » ?
Votre compréhension est loin d'être idiote, elle a été défendue par A. S. Schoenflies (mathématicien Allemand) qui lui_même a été critiqué par Poincaré -
Sneg a écrit:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2277624,2313230#msg-2313230
$\bullet$ Mais comment écrire les nombres irrationnels de façon à ce qu’ils soient « bien distincts » ?
Si tu demandes comment les écrire sous la forme $x_n$ où $n$ décrit les entiers naturels, la réponse est « c'est impossible ». -
Merci, Médiat et JLapin.
J’ai maintenant l’impression d’être dans une impasse.
Si, par une écriture ou une autre, on ne peut pas distinguer les uns des autres les nombres irrationnels, alors il existe au moins un ensemble dont les éléments ne sont pas distincts. Et la définition de Cantor n’est plus bonne. Mystère. -
Sneg fais de la théorie des ensembles axiomatique. Comme ça tu définis tout à partir d'axiomes et de notions de bases et ces questions reçoivent des réponses au fur et à mesure.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
Sneg, je crois qu'il ne faut pas vous attacher à la définition de Cantor, il est plus simple de considérer qu'un ensemble est un élément d'un modèle d'une théorie des ensembles, ZF par exemple, c'est à dire qu'un ensemble est un sommet dans un graphe avec certaines propriétés
-
Sneg a écrit:Et la définition de Cantor n’est plus bonne.
Mystère.
Cantor n'a sûrement pas voulu écrire que l'ensemble des réels ou des irrationnels n'était pas un ensemble.
À ta question "existe-t-il un ensemble dont les éléments ne sont pas distincts", je réponds donc "non".
Ca te rassure ? -
Vousmettez le doigt sur un problème pratique si je vous donne deux définitions de nombres irrationnels (en fait le même, mais je ne vous l'ai pas dit) vous permettant de calculer leurs décimales, à partir de quand déciderez vous que ces 2 définitions sont celles d'un seul irrationnel ?
-
Facile : je calcule les $n$-ième décimale de chaque nombre en $1/2^n$ seconde et j'ai donc la réponse en 1 seconde
-
JLapin elle est bonne B-)-
Médiat ok je ne voyais pas le côté pratique de la chose... -
Mais ce n'est pas par leurs décimales qu'on distingue $\pi$ de $\sqrt 2$.
Et l'idée théorique que des irrationnels distincts se distinguent par leurs décimales est même à la base de la preuve de Cantor. Donc on sait bien, en théorie (*) distinguer les irrationnels.
Ce qui fait que Sneg n'a plus de problème.
Cordialement. -
gerard0 si on distingue les irrationnels par leur définition, on ne peut en distinguer que $\aleph_0$
-
Bien sûr, mais tu as restreint le sens de "irrationnel". Mais ça va perturber Sneg, sans améliorer sa compréhension des maths.
-
Restreint comment, où ?
-
Bonjour.
Personnellement, je n'ai besoin que de leur première décimale pour distinguer $\sqrt{2}$ de $\pi$, le problème est plutôt de pouvoir décider si deux réels infiniment proches sont discernables.
Il me semble qu'on ne peut pas décrire explicitement toutes les décimales de deux réels infiniment proches, sauf à les construire explicitement égaux à part pour un nombre de décimales au plus dénombrable mais cela ne sert à rien d'en déterminer autant de différentes quand une seule suffit.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
Médiat, tu ne considère que les irrationnels dont on peut écrire une définition. Ce qui restreint l'ensemble (si c'est bien un ensemble) considéré. D'autant que des définitions différentes peuvent désigner le même rationnel. Ce qui fait que "les distinguer par leur définition" n'est pas opérationnel.
Dreamer, les grecs anciens n'utilisaient pas de décimales, mais distinguaient parfaitement $\pi$ et $\sqrt 2$.
En fait, ce mot "distinct" (ou distinguer) n'est pas complétement mathématique, ce qui introduit des significations malsaines.
Cordialement. -
Gerard0, quelle expression mathématique utiliser pour remplacer le mot 'distincts' ?
Merci d'avance et à bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
Ce n'est pas moi qui considère cela ! Il faudrait lire un peu ce qui est écrit avant de critiquer, je répondais à Sneg, dont c'était une des considérations), et j'ai même donné un exemple historique et levé une contradiction pour invalider cette vision des choses !Médiat, tu ne considère que les irrationnels dont on peut écrire une définition -
Dreamer a écrit:quelle expression mathématique utiliser pour remplacer le mot 'distincts' ?
Bonjour,
En maths on dit que "$a$ et $b$ sont distincts" lorsque $a\neq b$.
Cordialement.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Merci Foys.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
Foys : (tu)
-
Désolé, médiat, mais je n'avais pas lu ça dans les propos de Sneg.
Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 16
+7 Invités