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L'axiome (*) de Woodin

Envoyé par Martial 
L'axiome (*) de Woodin
24 juillet 2021, 12:18
Salut à tous,

Je suis en train d'essayer de "survoler" les axiomes de forcing. Je pense avoir compris $MA$, $PFA$, $MM$, $MM^{++}$ et $PFA^+$.

J'en viens à l'axiome $\mathbb{P}_{max}$ de Woodin, dit aussi axiome (*). Dans le papier ci-joint, les auteurs définissent l'axiome (*) au bas de la page 5, mais on ne sait pas encore ce qu'est le forcing $\mathbb{P}_{max}$. Ce dernier est défini au bas de la page 9, à partir de "In order to define $\mathbb{P}_{max}$, we need the notion of blablabla", et en haut de la page 10.

Mais qu'est-ce que ça peut bien être qu'un "normal uniform ideal on $\omega_1$" ?

Merci d'avance

Martial

P.S. : ce papier est un scoop (18 mars 2021 sur arxiv) dans la mesure où les auteurs y démontrent que $MM^{++}$ implique (*)... alors que jusqu'à maintenant ces deux axiomes étaient considérés comme plutôt contradictoires.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - 1906.10213.pdf (491.4 KB)
Re: L'axiome (*) de Woodin
24 juillet 2021, 16:29
Stable par unions diagonales (quand c'est un filtre (notion duale) on dit "stable par intersections diagonales")

Soit $F$ un filtre sur un ordinal $e$ et une famille $w:$ de éléments $i\in e\mapsto A_i$ de $F$. L'intersection diagonale de $w$ est

$$ \{x\mid \forall y<x: x\in A_y\}$$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: L'axiome (*) de Woodin
24 juillet 2021, 17:34
OK, merci. Je connaissais bien sûr la normalité pour les filtres, mais je ne savais pas que cela existait aussi pour les idéaux.
Bon, alors si je comprends bien (et en gardant tes notations), un idéal sur $e$ est normal si pour toute famille $w=\{A_i \mid i \in e\}$ d'éléments de $I$, on a
$$\{x \mid \exists y<x,\ x \in A_y\} \in I.

$$ C'est bien ça ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/07/2021 19:01 par AD.
Re: L'axiome (*) de Woodin
24 juillet 2021, 17:40
J'en viens à la notion d'uniformité.
Je sais ce qu'est un filtre uniforme : un filtre $F$ sur $\kappa$ est uniforme si tous les éléments de $F$ ont même cardinal (en l'occurrence $\kappa$).

Mais pour un idéal ? Ça veut dire que tous les complémentaires des éléments de $I$ sont de cardinal $\kappa$, c'est ça ?
Re: L'axiome (*) de Woodin
24 juillet 2021, 18:21
De mon téléphone. Je dirai que oui.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: L'axiome (*) de Woodin
24 juillet 2021, 18:50
OK, merci. Je vais enfin pouvoir travailler, lol.
Re: L'axiome (*) de Woodin
24 juillet 2021, 20:07
thumbs down thumbs down thumbs down thumbs down

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