Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
265 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Classe, catégorie, objets...

Envoyé par mehdi 
Classe, catégorie, objets...
24 juillet 2021, 18:30
Bonjour
Merci pour vos réponses.

1) Que signifie "classe" et "collection" ?
Et quelle est la différence entre classe et ensemble et collection ?

2) Que signifie objet mathématique et objet d'une classe ?

3) Que signifie morphisme des classes ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 24/07/2021 18:58 par AD.
Re: Class, Catégorie, objets...
24 juillet 2021, 18:59
Bonjour mehdi,

En théorie moderne des ensembles on s'intéresse à ce qu'on appelle l'univers, généralement noté $\mathbb{V}$, qui consiste en la "collection" de tous les ensembles. On peut voir $\mathbb{V}$ comme un graphe : un ensemble est simplement un point de $\mathbb{V}$, et, si $x$ et $y$ sont deux ensembles, il y a une flèche de $x$ vers $y$ ssi $x \in y$.

On sait qu'à cause du paradoxe de Russell $\mathbb{V}$ elle-même n'est pas un ensemble. Du coup on appelle "classe" ou "collection" (les deux mots sont synonymes) toute partie au sens intuitif de $\mathbb{V}$ qui est définissable par une formule du langage. Une classe qui n'est pas un ensemble est appelée une classe propre.

Exemples : la classe $\mathbb{V}$ elle-même, la classe des ordinaux, la classe des cardinaux etc.

Le reste de tes questions concerne la théorie des catégories, et là il y a sur ce forum des gens qui sont $\kappa$ fois plus compétents que moi, $\kappa$ étant au moins un cardinal supercompact.
Re: Class, Catégorie, objets...
24 juillet 2021, 18:59
avatar
Collection n'est pas un terme défini en mathématiques. On l'utilise en théorie naïve des ensembles pour définir un ensemble en tant que "collection d'objets", ce qui est suffisant pour l'étudiant lambda.

Concernant la notion de "classe", elle apparait lorsqu'on veut faire une théorie des ensembles formelle. Tu n'es pas sans savoir que la vision naïve selon laquelle "tout est ensemble" pose problème notamment à cause du paradoxe de Russel. Le diagnostic qui a été historiquement posé est que les ensembles "trop gros" posent problème. D'où la volonté d'imposer une limitation par la taille. Les ensembles sont donc les "collections" petites, alors que les classes (on dira même plutôt les classes propres) sont les grosses.

Par exemple $\{x \mid x \: \text{est un ensemble}\}$ n'est pas un ensemble, c'est une classe propre. Pareillement $\{x \mid x \: \text{admet une structure de groupe}\}$ n'est pas un ensemble c'est une classe propre.

Tu comprendras donc aisément que la notion de classe intervient naturellement en théorie des catégories puisqu'on veut pouvoir parler de la catégorie de TOUS les groupes. Il faut donc que les objets constituent une classe propre et non un ensemble. Un morphisme de classe, est juste une application au sens classique du terme.

Pour plus d'infos sur la théorie des ensembles avec classes, tu peux consulter ce lien wikipedia : [fr.wikipedia.org]

NB : Il est possible de faire de la théorie des catégories SANS classes, donc uniquement en utilisant les ensembles "petits". Pour ça, il suffit de considérer la théorie des ensembles classiques ZF et de lui adjoindre l'axiome des univers. Au lieu de parler de la catégorie de tous les groupes, par exemple, on parlera plutôt de la catégorie des groupes appartenant à un univers fixé à l'avance.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 25/07/2021 12:25 par Philippe Malot.
Re: Classe, catégorie, objets...
24 juillet 2021, 19:47
Merci pour tous
Re: Classe, catégorie, objets...
25 juillet 2021, 12:16
Bonjour

Que signifie objet d'une catégorie ?

Et morphisme entre deux objets ?

Quel est le bon livre pour ces notions et direct limite d'un system direct ?
Merci
Re: Classe, catégorie, objets...
25 juillet 2021, 12:20
Une catégorie vient par définition avec une collection d'objets, et par définition donc un objet de cette catégorie est un élément de cette collection.

Pareil pour morphisme : ça vient dans la donnée de ta catégorie; ta question est un peu la même que "c'est quoi la multiplication dans un groupe ?"

Pour une introduction douce à la théorie des catégories, je recommande toujours Introduction to category theory de Simmons - maintenant il y a aussi le livre de Riehl, Category theory in context qui, parait-il, est très bon (et c'est tout à fait crédible, connaissant Riehl).

Les deux introduiront à un moment ou à un autre la notion de colimite, et certainement la notion de système direct.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Classe, catégorie, objets...
25 juillet 2021, 12:21
Bon dimanche,

La réponse à tes questions se trouve dans la définition d'une catégorie. L'as-tu lue ?
Re: Classe, catégorie, objets...
25 juillet 2021, 13:36
[www.les-mathematiques.net]

Tout dépend ce que tu veux en faire. Il faudrait que tu précises. La notion de catégories permet de "colorer" bon nombre de choses en maths, générer des questions, créer du désir (par exemple le "désir" d'un objet terminal qu'on ne sait pas encore s'il existe ou pas)

Sur un plan strictement froid, une catégorie est un cas particulier de monoïde associatif qui est utilisé en "oubliant" son élément absorbant $0$, ce qui va amener une définition un peu plus longue dans la tradition pratique (2 flèches qui ne se composent pas ayant un produit envoyé sur $0$, on va juste dire "elles ne se composent pas, etc").

Cette définition froide ne correspond pas du tout à ce que les gens en font. CELA DIT, malgré ma béotie, j'ai tout de même eu l'impression de noter que les flèches sont bien plus importantes que les objets pour leurs praticiens or tu as formulé ta question de sorte qu'on voit que tu as un biais de gout vers les objets.

Bref, précise ce que tu veux en faire après.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classe, catégorie, objets...
25 juillet 2021, 14:01
Merci beaucoup.

Est-il possible d'avoir une catégorie formée
(ou contient) par des groupes et des ensembles ordonnes ?

Merci



Modifié 1 fois. Dernière modification le 25/07/2021 14:53 par mehdi.
Re: Classe, catégorie, objets...
25 juillet 2021, 14:39
C'était ça "ta vraie demande"? Elle est imprécise et un espace vectoriel est un groupe particulier en pluss. Sans plus de précision la réponse est trivialement oui.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classe, catégorie, objets...
25 juillet 2021, 17:15
avatar
Pour ne pas faciliter les interrogations légitimes de Mehdi, lorsque l'on parle d'une collection d'objets d'une catégorie $\mathscr{C}$, autre que la catégorie des ensembles (bien entendu), chaque objet de cette catégorie serait-il un objet de $\Bbb{V}$ (reprise de la notation de Martial) ? C'est un tout petit peu l'impression que cela me donne en lisant ceci, par exemple. Pour s'interroger convenablement, l'on pourra considérer la catégorie des groupes, puis celle des catégories par exemples.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 151 221, Messages: 1 536 552, Utilisateurs: 28 228.
Notre dernier utilisateur inscrit Ginger40.


Ce forum
Discussions: 2 606, Messages: 53 181.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page