Classe, catégorie, objets...

Collection n'est pas un terme défini en mathématiques. On l'utilise en théorie naïve des ensembles pour définir un ensemble en tant que "collection d'objets", ce qui est suffisant pour l'étudiant lambda.

Concernant la notion de "classe", elle apparait lorsqu'on veut faire une théorie des ensembles formelle. Tu n'es pas sans savoir que la vision naïve selon laquelle "tout est ensemble" pose problème notamment à cause du paradoxe de Russel. Le diagnostic qui a été historiquement posé est que les ensembles "trop gros" posent problème. D'où la volonté d'imposer une limitation par la taille. Les ensembles sont donc les "collections" petites, alors que les classes (on dira même plutôt les classes propres) sont les grosses.

Par exemple $\{x \mid x \: \text{est un ensemble}\}$ n'est pas un ensemble, c'est une classe propre. Pareillement $\{x \mid x \: \text{admet une structure de groupe}\}$ n'est pas un ensemble c'est une classe propre.

Tu comprendras donc aisément que la notion de classe intervient naturellement en théorie des catégories puisqu'on veut pouvoir parler de la catégorie de TOUS les groupes. Il faut donc que les objets constituent une classe propre et non un ensemble. Un morphisme de classe, est juste une application au sens classique du terme.

Pour plus d'infos sur la théorie des ensembles avec classes, tu peux consulter ce lien wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_Morse-Kelley

NB : Il est possible de faire de la théorie des catégories SANS classes, donc uniquement en utilisant les ensembles "petits". Pour ça, il suffit de considérer la théorie des ensembles classiques ZF et de lui adjoindre l'axiome des univers. Au lieu de parler de la catégorie de tous les groupes, par exemple, on parlera plutôt de la catégorie des groupes appartenant à un univers fixé à l'avance.

Bon dimanche,

La réponse à tes questions se trouve dans la définition d'une catégorie. L'as-tu lue ?

Pour ne pas faciliter les interrogations légitimes de Mehdi, lorsque l'on parle d'une collection d'objets d'une catégorie $\mathscr{C}$, autre que la catégorie des ensembles (bien entendu), chaque objet de cette catégorie serait-il un objet de $\Bbb{V}$ (reprise de la notation de Martial) ? C'est un tout petit peu l'impression que cela me donne en lisant ceci, par exemple. Pour s'interroger convenablement, l'on pourra considérer la catégorie des groupes, puis celle des catégories par exemples.