Axiomes de Peano - prédécesseur
Bonjour
Concernant les axiomes de Peano, mon livre utilise une affirmation non démontrée, à savoir que tout nombre naturel non nul est le successeur d'un nombre naturel, autrement dit que l'application successeur.
$s : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \{0 \},\ n \mapsto s(n)=n^+=n \cup \{n \}$ (avec $0= \emptyset$, autrement dit, on confond l'ensemble $n$ avec son nombre d'éléments : $1=\{0 \}, 2=\{0,1 \}, \cdots$ ) est surjective.
Auriez-vous une idée de la démonstration ?
Merci d'avance.
Concernant les axiomes de Peano, mon livre utilise une affirmation non démontrée, à savoir que tout nombre naturel non nul est le successeur d'un nombre naturel, autrement dit que l'application successeur.
$s : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \{0 \},\ n \mapsto s(n)=n^+=n \cup \{n \}$ (avec $0= \emptyset$, autrement dit, on confond l'ensemble $n$ avec son nombre d'éléments : $1=\{0 \}, 2=\{0,1 \}, \cdots$ ) est surjective.
Auriez-vous une idée de la démonstration ?
Merci d'avance.
Réponses
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N’est-ce pas la construction de $\mathbb N$ par Peano qui exige que chaque élément non nul est* un successeur ?
J’arrive en naïf lointain…
[small]*je dis bien « est » et non pas « ait »[/small] -
Bonjour,
J'avais l'impression que cette affirmation était un des axiomes de Peano, donc la démonstration la plus simple que je vois est : $a \Rightarrow a$ -
Par exemple, dans : https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano, il n'y a pas un tel axiome (chaque élément non nul est un successeur), mais seulement : tout élément a un unique successeur (2ème axiome).
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Ok.
Je pense que c’est le point « 5. ».
Je reviens plus tard… -
Ok, cela me semble aussi tenir du point 5.
Mon livre utilise en fait cette construction (due à Von Neumann) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_entiers_naturels -
Un peu plus bas, une traduction du point « 5. » parle d’espace stable (toujours dans le premier lien).
J’étais en train de réfléchir par exemple à :
$$\{0,1,2,… \} \cup \{0’ , 1’ , 2’, …\}$$
En gros, un autre « zéro » (qui n’aurait pas d’antécédent mais bien tous ses successeurs…
Il faut avoir ce que cela implique. Certainement que ça entraîne $0=0’$. -
La relation $R:=$$n\mapsto [n=0$ ou $\exists x : n=x+1]$
vérifie:
$R(0)$ et
$\forall x: [R(x)\to R(x+1)]$
donc $R=\N$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Dans le lien fourni je lis :
$\forall x (x=0\vee \exists y (x=s(y)))$
Le premier paquet de 5 axiomes sont les axiomes du 2nd ordre, et cette propriété se démontre avec l'axiome 5 -
Attention, coquille, tu as fait un WEDGE au lieu d'un VEE (corrigée) :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Merci, coquille corrigée
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Oui Christophe, mais ça ne dit pas d’où ça vient dans les « cinq trucs ».
J’avais bien vu cette ligne, disons « formalisée ». -
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Je ne comprends pas bien ce que tu écris christophe c (probablement parce que je connais pas suffisamment le formalisme de la logique).
Quelque chose comme : $s(\mathbb N) \cup \{0 \}$ est un ensemble d'entiers naturels (car $s(\mathbb N) \subset \mathbb N$ : 2ème axiome) qui contient $0$ et le successeur de chacun de ses éléments (car s'il contient $n$, il contient $s(n)$), donc c'est $\mathbb N$ (5ème axiome). Or $0 \notin s(\mathbb N)$ (3ème axiome) donc $s(\mathbb N) = \mathbb N \setminus \{0 \}$, donc $s$ est surjective. -
Ha ! Oui.
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Aux temps anciens où j’étais élève de Math-Elem, le manuel en usage dans mon lycée de province, Maillard & Millet, comportait 7 volumes : Algèbre, Arithmétique, Cosmographie, Géométrie, Géométrie descriptive (bzzz !), Mécanique, Trigonométrie. Les auteurs ne dédaignaient pas de donner quelques développements dépassant le programme, et le tome d'arithmétique (Hachette, 1954) présentait l'axiomatique de Peano. Cinq axiomes, dont l'existence du prédécesseur (axiome 4).
Aujourd'hui, je trouve sur Wikipedia cinq axiomes, mais le 4 n'est plus celui-ci. Probablement les deux systèmes d'axiomes sont-ils équivalents. https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano
D'après Wikipedia, les axiomes qu'on présente aujourd'hui ne sont pas tout à fait les mêmes que ceux qui ont été énoncés par Giuseppe Peano, ils ont été simplifiés, ce qui est habituel.
Pour l'anecdote, vous pouvez vous rendre acquéreur de la brochure de vingt pages où Peano a exposé sa théorie, Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita, 1889, il vous en coûtera 15 000 €. La qualité, ça se paye.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Julia Paule, la notice Wikipedia est, disons, plus facile à comprendre que les messages de Christophe...
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Chaurien, la cinétique était dans le volume de mécanique? Sinon, moi, en 65 je n'avais pas la descriptive (ouf, mais j'ai encore des cauchemars du dessin industriel de taupe), ni la mécanique , ni la cosmographie. Mais on avait bien Péano.
Cordialement.
Jean-Louis.
Cinématique pardon!! -
Merci à tous. Après un tour d'horizon rapide, il semble qu'il y ait plusieurs systèmes d'axiomes de Peano équivalents, et que lui avait commencé ses entiers naturels à $1$.
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Attention, les versions 1er et 2nd ordre ne sont pas équivalentes
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Je ne sais pas ce que tu entends par version 1er et 2nd ordre. Mais peut-être que tu t'adresses à christophe c.
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Non, bien à vous,
Les 5 premiers axiomes forment une axiomatisation du 2nd ordre (quantification sur des sous-ensembles), les 8 (7 + 1 schéma) suivants forment une axiomatisation du 1er ordre -
Soit $E$ un ensemble, $f:E\to E$ une fonction, $u\in E$ et $F$ l'intersection de toutes les éléments de $\mathcal I$ où $\mathcal I$ est l'ensemble des parties $G$ de $E$ telles que $u\in G$ et telles que pour tout $x\in G$, $f(x)\in G$. Alors pour tout $x\in F$, $x= u$ ou il existe $y\in F$ tel que $f(y)=x$.
En effet:
1°) Remarquons déjà que $F\in \mathcal I$, en effet par définition, pour tout $H\in \mathcal I$, $u\in H$ et donc $u \in \bigcap \mathcal I = F$. De plus soit $x\in F$ et soit $K\in \mathcal I$. Alors $x \in K$ et donc $f(x)\in K$. Donc $f(x)\in \bigcap \mathcal I = F$.
En particulier, $F$ est stable par $f$.
2°) Soit $L$ l'ensemble de tous les éléments $t$ de $E$ tels que $t=u$ ou tels qu'il existe $s\in F$ tel que $f(s)=t$.
A) On a évidemment $u\in L$.
Soit $z\in L$.
(i) Si $z=u$ alors $z\in F$ et donc $f(z)$ est de la forme $f(r)$ où $r$ est un élément de $F$ et donc $f(z)\in L$.
(ii) Si $z=f(q)$ avec $q\in F$, alors $z\in F$ puisque $F$ est stable par $F$ (cf 1°) et donc $f(z)$ est de la forme $f(r)$ avec $r$ dans $F$.
(i) et (ii) montrent que pour tout $t\in L$, $f(t)\in L$.
Finalement, A) et entraînent que $L\in \mathcal I$. Donc $F\subseteq L$, ce qui entraîne le résultat bleu au début du message. Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Ces histoires de logique du premier ordre ou que sais-je encore, ça intéresse ceux qui font de la logique, c'est leur droit. Mais ça n'a aucune importance ici, pas besoin de perdre du temps à s'en soucier.
Le dernier message de Christophe donne la liste de cinq assertions considérées comme vraies, qu'on peut baptiser « axiomes » si ça nous chante (mais ça n'a a aucune importance). C'est très clair, qu'il en soit remercié.
Ce sont les mêmes que j'ai vues sur Wikipedia.
Il faut en déduire l'existence du prédécesseur. C'est un problème de mathématiques. Pas besoin de finasseries logisticiennes.
Bon courage.
Fr. Ch. -
Ce discours de prof de L1 (ce n’est évidemment pas péjoratif !) me va bien.
Cependant, dans le sous-forum « Fondements », il n’est à mon sens pas pertinent.
Fuir quelque chose qu’on ne connaît pas est naturel mais les mathématiques, voire La Mathématique, c’est aussi la curiosité et la découverte. -
Opposer la logique et les mathématiques, c'est opposer les Chauriens et les Occitans. Appeler logisticiens les personnes qui font de la logique, c'est appeler Sostomagiens les habitants de Castelnaudary. Le progrès fait rage.
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Bonjour Chaurien
Dans leur Introduction à la logique - Théorie de la démonstration, Messieurs David, Nour et Raffalli expliquent bien l'utilité d'une logique d'ordre supérieur, comme le montre cet extrait. Une solution dans une certaine théorie des ensembles consiste effectivement à reformuler comme suit![:\](https://les-mathematiques.net/vanilla/resources/emoji/confused.png ":\")
[(\forall\,X)\left(\left(X\in\mathfrak{P}(\Bbb{N})\setminus\{\emptyset\}\right)\Longrightarrow(\exists\,p)\left(p\in{}X\wedge(\forall\,n)(n\in{}X\Rightarrow{}p\leqslant{}n)\right)\right)\]Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
La question était, moyennant les cinq « axiomes » qui ont été rappelés, de prouver que tout entier naturel non nul a un prédécesseur. Ceci ne nécessite aucune considération sur la logique de tel ou tel ordre, ni de savoir si l'on définit plusieurs $\mathbb N$ en s'y prenant de plusieurs façons, ni autre raffinement logique.
C'est juste un problème d'algèbre, et Julia Paule l'a résolu en une ligne :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2283046,2283102#msg-2283102
Peut-être ce fil aurait-il été mieux situé dans le sous-forum Algèbre.
Maintenant, que ceux qui aiment la logique en fassent, tous les goûts sont dans la nature.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Si vous n'avez pas les 15 000 € pour acheter la brochure de Peano de 1898, vous pouvez tout de même prendre connaissance de son contenu : https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog/page/n36/mode/2up
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Ah ben si, finalement nous sommes bien dans une annexe du forum shtam
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@Jean-Louis
Je ne sais plus où j'ai fourré mon Maillard-Millet de Mécanique, mais il me semble me souvenir que oui, le programme, c'était de la cinématique du point. Avec une acrobatie pour définir le vecteur accélération au moyen d'un « hodographe », pour éviter de définir en toute généralité la dérivée d'une fonction vectorielle.
Je partage ton aversion pour la géométrie descriptive et le dessin industriel, du moins leur réalisation pratique par moi. Que ceux qui aiment ça, en fassent, c'est très bien. Le matériel est sans doute aujourd'hui bien meilleur qu'il y a soixante ans.
Dans le volume d’Arithmétique, l'axiomatique de Peano était donnée en annexe, à la fin, en guise de note. Dans la classe où j’étais, à Thonon-les-Bains, le professeur ne traitait pas cette question, qui ne figurait pas au programme officiel. Mais c'était une bonne chose qu'elle soit là, pour la culture mathématique des élèves intéressés.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
@Julia : je reviens à l'objet initial de la discussion. Je n'ai pas lu tout le fil mais je pense avoir compris d'où vient l'ambiguïté. En fait l'axiome "tout entier naturel non nul admet un prédécesseur" est redondant avec les autres, au sens où il peut se déduire des autres axiomes. Tout est expliqué dans le document ci-joint, page 34. (Il n'y a pas besoin de lire ce qui précède pour comprendre, et ne te casse pas trop la tête avec des questions de logique du 1er ou du 2ème ordre, ce n'est pas ça le noeud du problème).
Le truc, c'est que pour démontrer cet axiome à partir des autres, on utilise très fortement l'axiome de récurrence. Or, il s'avère qu'on a souvent besoin de travailler dans une arithmétique faible, généralement notée $Q$, et appelée arithmétique de Robinson. $Q$ est obtenue à partir de Peano en lui ôtant l'axiome de récurrence, mais à condition d'y faire figurer l'axiome des prédécesseurs. (Car, dans $Q$, il ne peut plus se déduire des autres).
C'est la raison pour laquelle, je pense, pour éviter des ennuis et des explications sans fin, la plupart des auteurs mettent l'axiome du prédécesseur dans la liste des axiomes de Peano. -
@chaurien, tu te trompes (maisau fond de toi tu le sais de toute façon :-D ).
dansle cas présent l'intervenant qui a signalé que c'est important de rappeler que c'est au second ordre a eu raison: tu peux revendiquer un prix Nobel si tu parviens à contruire $+$ et $\times$ au premier ordre à partir des 5 axiomes. Ce sont là de banales maths, que tu aimes bien rejeter avec brutalité certes, (et c'est ton droit, tu nous a habitués à tes déclarations anti-logiques et anti-fondements) mais qui si on te suivait conduiraient tout bêtement à dire des faussetés scientifiques.
Or vu ton gout pour la rigueur, il est tout de même dommage que tu reprennes un post en l'arrosant d'agressivitié verbale qui rappelait pourtant la stricte vérité MATHEMATIQUE et non pas logique.
L'arithmétique, ce n'est juste l'ensemble $\mathbb{N}$, mais aussi ses deux opérations $+$ et $\times$. Ou bien tu les contruis au second ordres, ou bien tu les ADMETS comme notions premières au premier ordre, mais dans ce cas, la présentation wikipedia avec 5 axiomes est FAUSSE (elle n'est pas "de mauvais gout, elle n'est pas anti-chaurien, elle n'est pas "de gauche" :-D, elle est juste .. fausse, froidement fausse).
C'est du même tonneau que de dire que toutes les fonctions dérivables sont $C^1$, erreur que tu ne ferais pas car sur un sujet qui t'est familier. Mais il n'y a pas de raison de dire que le soleil et la lune c'est pareil en corpulence, juste parce que d'où tu es tu les vois de la même taille. Pour une personne neutre qui ne rejette rien, en particulier pas la logique, c'est pareil que signaler qu'il y a des fonctions dérivables qui ne sont pas $C^1$, et peu importe si le prof de prépa que tu as été n'en a pas montré une grosse quantité au tableau.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Martial, bonjour,
[small]dans le (vi) n'a-t-on pas une coquille ?
$m.n+m$ au lieu de $m.n+n$
Edit : et je crois aussi qu'il y a un problème entre "tous" et "tout" ou plutôt une lettre $n$ manque...[/small] -
Ça y est, merci.
C'est la fatigue des fins de papier. -
Chaurien, contrairement à toi, mon Lespinard et Pernet en 5 volumes (algèbre, arithmétique, cinématique, trigonométrie et l'énorme géométrie) ne propose pas Péano. Par contre notre prof (lycée Berthelot à Toulouse ) nous l'a fait. Par ailleurs je suis étonné de voir les réels et les complexes dans le cours d'arithmétique...
Cordialement.
Jean-Louis. -
@ Jean-Louis
Le cours de Lespinard-Pernet a eu plusieurs éditions successives, couvertures jaunes, vertes, rouges, au gré des changements de programme. J'ai certains de ces livres, mais pas tous. Dans le livre d'arithmétique de l'édition de 1957 (jaune, 172 p.), il n'y a que de l’arithmétique, selon le programme de 1948. Il manifeste une liberté avec ce programme en introduisant les congruences. Il offre des exercices très intéressants comme le petit théorème de Fermat, le théorème de Wilson, la fonction indicatrice d'Euler, etc. Il y avait à l'époque de tels traités qui avaient l'ambition de tirer le niveau vers le haut ; il y en aussi aujourd'hui.
Ce traité, avec ses diverses éditions, a sans doute été un succès pour une petite maison d’édition lyonnaise, André Desvigne.
J'ai été par la suite l'élève de Victor Lespinard en Math-Sup HXC au lycée du Parc, l'année 1962-63. C'est une des années où j'ai appris le plus de mathématiques.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Bonjour
Je viens de lire ce fil dans les grandes lignes, je suis gêné par le premier ensemble d'axiome sur wikipédia. Ma culture est un peu limitée, mais je crois que ce n'est pas canon de parler d'ensemble avant de dire que le langage est juste composé d'un univers $E$ une fonction $f$ et une constante $c$, parce que la notion d'ensemble et d'opération qu'on peut y faire n'y est pas défini. Si je veux prouver $\forall x,\ F(x)$, pour une formule $F$ en interprétant l'axiome 5 comme $[F(c)\wedge \forall x,\ F(x)\implies F(f(x))]\implies \forall x ,\ F(x)$, je crois que j'ai besoin d'un peu du langage ensembliste et d'une sorte de schéma de compréhension (et probablement aussi un axiome des parties).
Je me demande si les rédacteurs n'ont pas fait une erreur en voulant dans cette première partie plus parler à l'intuition qu'autre chose.
Je ne suis pas sûr de ce qu'est une axiomatique du premier ou second ordre, mon critère c'est : dés qu'il y a un schéma d'axiomes (comme le 8 de la deuxième partie, qui a une meilleur gueule que 5 de la première) portant sur une propriété des formules (ou des fonctions comme le schéma de remplacement dans ZF), paf ! c'est du second ordre. Si dans ce message, Médiat a raison, c'est dû à quoi ? -
Vous confondez schéma d'axiomes indexé par des formules (1er ordre si les formules le sont) et quantification sur des formules (2nd ordre)portant sur une propriété des formules (ou des fonctions comme le schéma de remplacement dans ZF), paf! c'est du second ordre. -
Euh... Je ne suis pas sûr de comprendre, du coup, ZF, c'est du premier ordre?
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Bonjour Titi,
ZF c'est du premier ordre. Il ne faut pas confondre une quantification dans un axiome sur :- une partie (ou collection) arbitraire (incluse dans la collection que forme le modèle entier avec tous ces ses objets) : c'est du second ordre
- un objet $E$ du modèle, qui est appelé "ensemble" dans le cas de ZF et est intuitivement assimilé à la collection des $x$ du modèle tels que $x\in E$. Mais toute collection n'est pas forcément la collection des éléments d'un "ensemble". Par exemple la collection des $x$ tels que $x\in x$ n'est pas un ensemble dans ZF. C'est du premier ordre.
- des formules, qu'on peut assimiler à la collection des $x$ qui la vérifie (c'est une "classe"). Mais toute collection d'objets n'est pas une classe. Par exemple la collection des entiers non standard d'un modèle non standard de l'arithmétique de Peano n'est pas descriptible par une formule. C'est du premier ordre.
- la version second ordre de l'axiome de récurrence : pour toute partie $A$, on a $[0\in A \wedge(\forall n, n\in A \Rightarrow n+1\in A)]\Rightarrow \forall n, n\in A$
- l'axiome de l'ensemble des parties de ZF : $\forall E, \exists F, \forall x, x\in F\Leftrightarrow x\subset E$.
- le schéma de récurrence de l'arithmétique de Peano, ou le schéma de compréhension de ZF, tous deux du premier ordre.
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Il y a une différence fondamentale entre une formule quantifiant des sous-ensembles (même ceux de IN ne sont pas tous définissables) et une liste de formules dont, pour chaque démonstration, on n'utilise qu'un nombre fini.
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Ok, merci beaucoup, c'est enregistré. Je crois que je ne suis pas près de m'approcher du deuxième ordre.
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Je n'ai pas lu, je réponds très rapidement car ne peux pas rester connecté.
1er et second ordre ne veulent rien dire dans l'absolu : par exemple les raisonnements du 1er ordre sur $\R$ (et sa structure) sont des raisonnements du second ordre sur $\N$
On appelle propriétés du premier ordre sur une structure $(E,$ parties des $E^n)$ des définitions qui se font à l'aide de trucs prédéfinis et d'opérations booléennes et projections**.
On appelle propriétés du second ordre sur une structure $(E,$ partiesTotos des $E^n)$ des définitions du premier ordre sur $(P(E), blablaInduitParLesTotos)$
ZF est une théorie du premier ordre puisque ses axiomes (ses propriétés d'arité 0) sont au premier ordre sur $(UniversTacite, \in)$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'en rajoute une couche. Christophe a parfaitement raison, il faut être plus précis quand on parle d'une logique du $m^{i\grave{e}me}$ ordre. Voici un exemple. Considérons la propriété : "toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure".
Si on se place du point de vue de l'arithmétique cette phrase est une formule du 3ème ordre, puisqu'on y quantifie sur les parties de $\mathbb{R}$ ou, ce qui revient au même, sur les parties de parties de $\mathbb{N}$.
En revanche si on travaille dans ZF c'est une formule du 1er ordre, qui s'écrit $\forall X \in \mathscr P(\mathbb{R}), blablabla$. Elle ne fait que raconter une propriété de $\mathscr P(\mathbb{R})$, qui est un objet du domaine. -
Pour tenter de comprendre.
Si on se place sur $\{1, 2\}$, pouvez-vous proposer des exemples du premier ordre, du second, du troisième ?
À moins que dans le cas fini, ce ne soit pas pertinent (?). -
Ce n'est pas pertinent car on peut lister les sous-ensembles qui sont en nombre fini
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