Enoncés (non) équivalents à l'axiome du choix
Je lance un fil de discussion qui pourrait a priori être très vite réglé.
J'ai essayé de chercher dans ma mémoire si je connais un théorème, dont la preuve repose sur l'axiome du choix, qui n'y est pas équivalent. Et je ne me sous souvenu d'aucun tel résultat ! Je lis tellement souvent "ça dépend de l'axiome du choix, en fait ça y est même équivalent" que j'en suis venu à me demander s'il existe des résultats qui sont des "conséquences strictes" de l'axiome du choix et qui ne pourraient pas le remplacer. J'espère qu'il y en a, s'il y en a ça ne devrait pas être long avant qu'on en ait une flopée ici :-D
Quand je dis "l'axiome du choix", je parle de l'AC standard (celui qui est, entre autres, équivalent au lemme de Zorn), je sais qu'il en existe des formulations plus fortes/faibles, je préfère ne pas m'en préoccuper pour l'instant.
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J'ai essayé de chercher dans ma mémoire si je connais un théorème, dont la preuve repose sur l'axiome du choix, qui n'y est pas équivalent. Et je ne me sous souvenu d'aucun tel résultat ! Je lis tellement souvent "ça dépend de l'axiome du choix, en fait ça y est même équivalent" que j'en suis venu à me demander s'il existe des résultats qui sont des "conséquences strictes" de l'axiome du choix et qui ne pourraient pas le remplacer. J'espère qu'il y en a, s'il y en a ça ne devrait pas être long avant qu'on en ait une flopée ici :-D
Quand je dis "l'axiome du choix", je parle de l'AC standard (celui qui est, entre autres, équivalent au lemme de Zorn), je sais qu'il en existe des formulations plus fortes/faibles, je préfère ne pas m'en préoccuper pour l'instant.
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Réponses
Bonjour. J'espère que tu vas bien. (AC) entraîne (TE) (i.e. le principe du tiers exclu).
Thierry
[EDIT] Grillé
Je pensais plus à des théorèmes en-dehors à de la logique, mais loin de moi l'idée de rejeter ça.
- Déjà toutes les formes + faibles strictement d'AC
- Tout ensemble peut être totalement ordonné
- tout filtre peut être prolongé en un ultrafiltre
- Tychonoff seulement pour les espaces T2 (Tychonoff tout entier équivaut à AC)
- Tout plein de machins "modérés" sur les cardinaux
- Tout cas particulier (genre IR peut être bien ordonné)
- Toutes les négations d'énoncés violemment en contradiction avec AC (genre "il y a un ensemble non mesurable" etc)
$$ AC \iff TiersExclus $$
Et pas seulement une implication dans un sens "en amont", car AC a un équivalent de la forme
Donc fondamentalement, si on considère une "hiérarchie" du fondamental à l'appliqué, AC et TE sont une "même entité" scientifique. C'est pourquoi, il y a une forme de "jouissance" pour les experts à vers de la SET théory sans AC et avec des principes qui le violent franchement, car ils ont l'impression de garder le platonisme cash qu'ils aiment tout à voguant dans le monde "non classique".
Je te prouve que AC=>TE (en présence de l'extensionalité)
$A:=\{x\mid x=0$ ou $((x=1)$ et $P)\}$
$B:=\{x\mid x=1$ ou $((x=0)$ et $P)\}$
Soit $f$ qui choisit un élément dans chacun de ces ensembles.
Intuitionnistiquement tu prouves que $f(A)=f(B)\iff P$ (en fait c'est évident quasiment, mais n'oublie par l'extensionnalité)
Comme par ailleurs tu as $(f(A)=f(B))$ ou $non(f(A)=f(B))$
Tu as donc $[P$ ou $nonP]$
Le coup des clôtures algébriques me plait bien. J'essaierai d'y réfléchir.
Par exemple pour la caractérisation séquentielle de la limite : je te laisse réfléchir à comment démontrer que si pour toute suite $(u_n)_n$ de réels convergeant vers $a$, $(f(u_n))_n$ converge vers $\ell$ alors $f$ admet $\ell$ comme limite en $a$.
$$ \forall X: [(A\to X)\to ((B\to X)\to X)] $$[/small]
Bon, comme c'était un supplément un peu HS, j'utilise des petits caractères.
Il y a des exceptions. Par exemple la preuve de la réciproque de Bolzano-Weierstrass* utilise (sauf erreur de ma part) l'axiome du choix dépendant, qui est plus fort que le choix dénombrable.
* Théorème : soit $E$ un espace métrique dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente. Alors, $E$ est compact.
ACD intervient dans le 1er lemme : modulo l'hypothèse, pour tout $\varepsilon >0$ il est possible de recouvrir l'espace avec un nombre fini de boules de rayon $\varepsilon$.
J'ai appris cette chose-là dans le bouquin de Herrlich à nouveau.
Mais je ne poste pas pour ça en fait:
[small]HS ON : j'ai (heureusement) trouvé un voisin qui va s'occuper de mon apart après mon départ pour le vider entièrement. Or j'ai une tonne de livres de maths que je n'ai jamais lus, que j'ai acheté dans une "sorte de crise" durant plein de samedis de suite chez Gibert vers 2005-2010 (en gros j'ai presque tout Gibert-académique**). Je ne sais pas où tu es en ce moment, mais je sais que tu aimes les livres de maths, donc je te préviens au cas où tu voudrais en récupérer quelques uns. Je sais que tu te balades souvent en voiture, etc...
HS OFF[/small]
HS ON : Merci d'avance pour ta proposition. Je t'appelle mercredi.
HS OFF.
(Sorry).
@Max : Marrant, j'ai justement acheté le livre de Herrlich il y a pas longtemps, il faudra que je le lise.