Relation d'ordre partiel

Julia Paule
Julia Paule
dans Fondements et Logique
Bonjour,

J'essaie (en vain) de montrer que dans un ensemble $X$ muni d'un ordre partiel $\leq$, alors :
si $\forall c \in X, (c <a \Rightarrow c < b)$, alors $a \leq b$.

Dans un ensemble $E$ muni de la relation d'ordre $\subset$, qui est la relation d'ordre partiel par excellence (enfin il me semble), il est pourtant immédiat de montrer (par contraposée), pour $A$ qui n'est pas un singleton, que : si $\forall C \subset E, (C \subsetneq A \Rightarrow C \subsetneq B)$, alors $A \subset B$.
J'essaie donc de trouver des ensembles $A$ et $B$ qui donneraient le résultat
Mais je ne suis pas sûre que le résultat soit vrai pour tout ordre partiel.

Merci d'avance.

Réponses

  • Martial
    Martial
    Bonjour Julia,

    En fait c'est faux. Et le contre-exemple est désopilant. Tu considères l'ensemble $X= \{0,1,2\}$ muni de l'ordre partiel où tu imposes seulement $0<1$ et $0<2$. En d'autres termes le graphe de ton ordre partiel est $G=\{(0,1),(0,2)\}$.
    $$\xymatrix{1\ar@{-}[dr]&&2\ar@{-}[dl]\\&0}

    $$ Tu poses $a=1$ et $b=2$. Il est clair que $\forall c \in X, (c <a \Rightarrow c<b)$.Et pourtant $a \not \leq b$.
  • Martial
    Martial
    Merci AD.
    [À ton service. ;-) AD]
  • Poirot
    Poirot
    Le résultat est cependant vrai pour un ordre total (linear order en anglais).
  • Martial
    Martial
    @Poirot : c'est vrai...
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Ce n'est pas vrai que pour les ordres totaux, par exemple la divisibilité dans $\mathbb{N}^*$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Médiat
    Médiat
    Lié à l'existence d'une borne sup ?
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Je me suis rendue compte entre-temps que c'était faux pour la divisibilité dans $\mathbb N$ :
    exemple : les diviseurs stricts de $8$, qui sont $1,2,4$, ils divisent $12$, et $8$ ne divise pas $12$.

    Ton exemple, Martial, est lumineux de simplicité.

    MERCI.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Alors je sèche sur l'exercice suivant.

    Soit $f$ une application de $X$ dans $Y$, partiellement ordonnés. Alors $f$ est une bijection croissante si et seulement si elle conserve l'ordre strict.

    Pas de problème pour le sens =>.

    Merci d'avance.
  • Poirot
    Poirot
    L'énoncé est faux (prendre $n \mapsto n+1$ de $\mathbb N$ dans lui-même). Ne manque-t-il pas une hypothèse ?
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ah mais oui. Merci beaucoup Poirot.

    Non, il ne manque aucune hypothèse, je viens d'y passer 2 heures. Moralité : prendre plus de recul.

    Donc c'est faux même si l'ordre est total. Et dans ce cas, on peut juste conclure l'injectivité.
  • Poirot
    Poirot
    Si l'ordre de départ est total, préserver l'ordre strict implique l'injectivité, mais ce n'est pas forcément le cas en général.

    Contre-exemple : $X=\{a,b\}$ avec $a$ et $b$ incomparables et $Y=\{c\}$.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci. Donc l'énoncé est complètement faux. J'aurais pu m'en rendre compte. Je me suis focalisée sur montrer la croissance (dans les deux sens).
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Désolée, la fonction est de $X$ sur $Y$, je n'ai pas fait attention, donc elle est supposée surjective.
    L'énoncé est donc ok si l'ordre est total.

    Dans ton exemple, la relation d'ordre de l'ensemble de départ est juste l'égalité, donc dans ce cas, la relation d'ordre strict est vide ?
    Alors, l'énoncé serait-il juste pour une relation d'ordre partiel, dont l'ordre strict n'est pas vide ?
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Heu, je réponds moi-même à cette question. Grâce à vous, j'ai mieux compris la relation d'ordre partiel (je la voyais comme une généralisation de l'inclusion, alors que c'est plutôt une relation d'ordre que je qualifierais de "pauvre", tous les éléments ne sont pas en relation).

    C'est faux si l'ordre est partiel, et l'ordre strict même non vide : dans $X : a <b, c$, dans $Y : d<e$.

    Merci beaucoup.
  • GG
    GG
    @Julia Paule, je ne sais pas si cela t'apporte quelque chose, mais à propos du rapport entre relation d'ordre partiel et inclusion, comme l'a souvent mentionné CC, toute relation d'ordre partiel dans un ensemble est plongeable (i.e. est isomorphe à une partie de) dans l'ensemble de ses parties muni de la relation d'inclusion.
  • Médiat
    Médiat
    @GG
    Inutile de préciser "partiel".
  • GG
    GG
    @Médiat, je suis d'une viellie école avec de "vieux" livres comme par exemple "Algèbre générale" de Kurosh, où de russe en français, "ordre partiel était ce qu'on appelle maintenant "ordre", et "ordre linéaire", ce qu'on appelle "ordre total". Donc pour moi, dans mon esprit, "partiel" n'était pas pas antinomique de "total" !
  • Martial
    Martial
    @Médiat : je suis d'accord avec GG, je ne vois pas ce qu'il y a de choquant à parler d'ordre partiel. D'ailleurs dans la littérature anglo-saxonne on utilise beaucoup le terme "poset" (partially ordered set), notamment quand on fait du forcing ou de la combinatoire. Et nulle part il n'est précisé que l'ordre partiel ne doit pas être total. (Même si, il faut bien le dire, on ne va pas loin avec un ordre total).

    De même, quand on fait de la récursivité, on parle facilement de l'ensemble des fonctions récursives partielles de toutes arités. Et, parmi ces fonctions récursives partielles, il y en a des qui sont totales.
  • Médiat
    Médiat
    D'abord je veux m'excuser du ton un peu brusque de mon message précédent, mais j'étais très pressé.

    Je voulais juste faire remarquer que la phrase : "toute relation d'ordre dans un ensemble est plongeable ..." laisse moins de place à une mauvaise interprétation (comme exclure les ordres totaux à cause de la précision "partiel"), j'ai d'ailleurs bien écrit "inutile de..." et non que cette précision était fautive
  • Martial
    Martial
    @Médiat : no souci.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Ok GG pour ta remarque sur le lien ordre partiel et inclusion. Il me semble que cela ne doit pas être trop dur à montrer, je m'y emploierai si j'ai le temps.
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