Majorant d'une limite inductive

mehdi
mehdi
dans Fondements et Logique
Bonjour

Soit $ (E_n ,f_{nm}) $ un système direct d'une catégorie (par exemple des espaces vectoriels) et $(E,g_n) $ sa limite directe ou inductive.
Supposons qu'il y a un objet $G $ de cette catégorie vérifiant $E_n$ inclus dans $G $ Pour tout $n$.
A-t-on que $ E $ inclus dans $G $ ?
Merci.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ta question n'a pas de sens, une inclusion entre objets n'ayant pas de sens dans une catégorie générale.
  • mehdi
    mehdi
    On suppose que c'est une catégorie des espaces vectoriels.
  • Poirot
    Poirot
    La réponse est oui si les inclusions sont compatibles avec le système inductif, c'est-à-dire si, en notant $i_n$ l'inclusion $E_n \hookrightarrow G$, on a $i_n(x) = i_m(f_{n,m}(x))$ pour $n \leq n$ et $x \in E_n$, car les limites inductives préservent les suites exactes de systèmes inductifs.

    En général, je ne sais pas, je ne fais pas assez de catégories pour savoir. Peut-être que Maxtimax saura répondre.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Poirot : ta condition de compatibilité peut s'exprimer sans hypothèse que ce soit des inclusions, et la définition de limite directe implique qu'on obtient automatiquement une flèche de la limite directe vers $G$.

    Si le mot inclusion veut dire "monomorphisme" (par exemple), il y aura des cas où c'est faux, et des cas où c'est vrai.

    C'est vrai dans les $R$-modules et plus généralement (comme tu l'indiques) quand les limites directes sont exactes.

    Un contre-exemple est donné par l'opposé de la catégorie des groupes abéliens, et les morphismes $\mathbb Z\to \mathbb Z/p^n$ (plus généralement, tout sous groupe dense non ferné d'un groupe profini donne un contre-exemple)
  • mehdi
    mehdi
    Bonjour
    Exemple.
    Soit $(X_{\alpha})_{\alpha\in A}$ une famille d'ensembles et $ E=\otimes_{\alpha\in A} \mathbb{R}^{X_{\alpha}}$ le produit tensoriel des espaces vectoriels $\mathbb{R}^{X_{\alpha}}$.
    Soit $E_{I}=\otimes_{\alpha\in I}\mathbb{R}^{X_{\alpha}}$ pour tout $I\subset A,\ I$ est fini.
    On sait que, chaque $E_{I}$ s'injecte dans $ \mathbb{R}^{\prod_{\alpha}X_{\alpha}}$ et
    on a $E_{I}$ est la limite inductive du système $(E_{I},\ \sigma_{I,J})$.
    $$ E=\lim_{\rightarrow}E_{I}.

    $$ A-t-on $ E=\otimes \mathbb{R}^{X_{\alpha}}$ s'injecte dans $ \mathbb{R}^{\prod_{\alpha}X_{\alpha}}$ ?
    Merci.
  • mehdi
    mehdi
    Bonjour
    Je simplifié mon problème.
    Si (f_a) [est] une famille quelconque indexée par A de fonctions continues réelles sur un compact X.
    A-t-on que le produit tensoriel infini de ces fonctions est une fonction continue sur X^A (X exposant A) ? Merci.
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