Théories des ensembles
Bonjour et bonne rentrée.
Je crois avoir lu qu'il existait plus de dix théories des ensembles différentes. Alors :
$-$ existe-t-il un livre ou pdf développant simultanément (même superficiellement) toutes ces théories ?
$-$ est-ce que le mathématicien professionnel sait sur quelle théorie il travaille, autrement dit la théorie a-t-elle des répercussions sur son travail ?
Merci d'avance.
Jean-Louis.
Je crois avoir lu qu'il existait plus de dix théories des ensembles différentes. Alors :
$-$ existe-t-il un livre ou pdf développant simultanément (même superficiellement) toutes ces théories ?
$-$ est-ce que le mathématicien professionnel sait sur quelle théorie il travaille, autrement dit la théorie a-t-elle des répercussions sur son travail ?
Merci d'avance.
Jean-Louis.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je réponds à la seconde question (sachant que c'est compliqué de répondre "non" à une question comme la première, mais la réponse est certainement "non". Enfin, ça dépend de ce que la personne qui disait ça entendait par là)
En maths hors de théorie des ensembles on se fiche quasiment à 100% de nos fondations, on fait essentiellement des trucs qui se passent dans ZFC mais sans jamais vraiment se poser la question de si c'est ZFC. En principe ZFC a été créée pour plus ou moins calquer les raisonnements qu'on connait, donc c'est là dedans qu'on travaille, par design - et on répond "ZFC" quand on nous demande parce qu'on a la flemme de se poser la question, et surtout (c'est la raison principale) parce que sur les grandes lignes ça ne change rien.
Un truc qui potentiellement changerait beaucoup (notamment en algèbre et certaines parties de l'analyse fonctionnelle) c'est retirer AC, et certaines personnes font gaffe à ça et tu verras des articles qui précisent être sans AC (plus précisément peut-être, dans ZF) - mais c'est l'exception.
Après il faut parfois quelques aménagements, notamment quand on fait des catégories (donc catégoristes, certain-e-s géomètres ou topologues), typiquement des univers. En général c'est uniquement pour se simplifier la vie et pas quelque chose d'essentiel : c'est aussi pour ça qu'on n'y réfléchit pas, parce qu'en principe les idées sont imperméables à des petites variations (et qu'on n'utilise que très rarement, voire jamais, la force totale de ces trucs)
Bref, oui, les matheuxses professionnel-le-s savent qu'iels travaillent dans ZFC, la plupart du temps, mais la plupart du temps ça ne change rien.
(tout ceci en évitant soigneusement les gens qui travaillent en logique, en théorie des ensembles, en fondements etc. qui, là, savent vraiment de quoi il est question)
Tu es largement en dessous de la réalité : perso j'ai dénombré pas moins de 28 théories alternatives, dont certaines admettent des variantes et sous-variantes. Ce sera l'objet de mon chap 26 (et dernier), mais il va falloir patienter encore un peu.
En attendant je te propose de lire un papier de Randall Holmes, consultable en ligne à l'adresse
https://plato.stanford.edu/entries/settheory-alternative/
C'est facile à lire et ça donne une idée du sujet.
Il y a aussi ce papier de Randall Holmes, Thomas Forster and Thierry Libert : "Alternative Set Theory", 2012, que je te mets en PJ. (Je l'ai téléchargé légalement).
HS ON :
Puisque tu es dans le quartier, as-tu une petite idée à me suggérer dans mon fil sur $0^{\#}$ ?
HS OFF
Amicalement..
Merci Martial pour les pdf, je te revaudrai ça avec un plein pot de grès...
Jean-Louis.
"je te revaudrai ça avec un plein pot de grès..."
Fredo, si tu nous regardes...
@Max : c'est bien la première fois que je t'entends dire que tu ne connais rien à quelque chose. Hélas, cela ne m'arrange guère...
1) La théorie $T_0=$ ZFC + HGC est un enrichissement de ZFC. On a simplement rajouté un axiome dont on sait que ni lui ni sa négation ne peut être prouvé dans la théorie initiale. Mais cette théorie a la même consistance que ZFC. En d'autres termes, si on trouve une contradiction dans ZFC + HGC, alors il y en a aussi une dans ZFC... et même dans ZF tout court.
2) La théorie $T_1 =$ ZFC + "il existe un cardinal inaccessible" est un renforcement de ZFC. $T_1$ est strictement plus forte que ZFC au sens où $T_1$ démontre la consistance de ZFC, alors que la consistance de ZFC n'entraîne pas la consistance de $T_1$.
Mais aucune de ces théories n'est une théorie alternative : les bases sont les mêmes, simplement on rajoute des axiomes parce que ça nous arrange.
Une théorie alternative, c'est une théorie qui part sur des bases radicalement différentes de celles de ZFC. Si tu veux en savoir plus je t'invite à lire les deux papiers que j'ai mentionnés ci-dessus, qui sont largement abordables.
Ceci dit tu as raison, la plupart des mathématiciens qui travaillent dans un domaine autre que TDE, logique, catégories, théorie des modèles etc s'en foutent.
Les autres grattent peut-être dans les coins, mais cette expression n'est pas très élogieuse envers les settheorists.
-- Vous faîtes quoi dans la vue ?
-- Je suis chercheur en théorie des ensembles.
-- Ah bon, et ça consiste en quoi ?
-- A gratter dans les coins.
-- Ah, vous faites le ménage chez une personne maniaque, c'est ça ?
@Tous : Bien entendu, j'ai beaucoup de respect pour les femmes et hommes d'entretien, c'était juste pour énerver Héhéhé, lol.
C'est toujours la métaphore de l'informaticien qui ne s'occupe guère comment ses processeurs marchent, sauf si justement il va gratter dans les coins où il a besoin de savoir ce qui s'y passe !
Quant à la remarque de savoir si je suis mathématicien ou pas, je te laisse la responsabilité de donner une définition de "mathématicien".
J'appelle mathématicien toute personne qui fait, ou qui a fait, de la recherche en mathématiques. Donc, je ne suis pas mathématicien au sens de ma définition... Plus précisément : je fais bien de la recherche, mais jusqu'à maintenant je n'ai jamais réussi à faire de la retrouve.