Écriture d'un couple d'applications

Julia Paule · September 2021

Bonjour

Question bête : soit $X$ et $Y$ des ensembles quelconques, $f$ une application $X \rightarrow X$, $g$ une application $Y \rightarrow Y$, comment écrivez-vous l'application : $X \times Y \rightarrow X \times Y, \ (x,y) \mapsto (f(x), g(y))$ ?
$f \times g$ ou $(f,g)$, ou peu importe, les deux écritures sont possibles ?

Merci d'avance.

Julia Paule · September 2021

Hum, j'ai posé la question un peu vite. $(f,g) \in Hom_{ens} (X,X) \times Hom_{ens} (Y,Y)$, donc cette écriture est possible. Rien n'empêche de l'écrire $f \times g$, non ?

Thierry Poma · September 2021

@JP : bonsoir. Il est à noter que $f\times{}g$, extension canonique de $f$ et $g$ à $X\times{}Y$, appartient à $\mbox{End}_{\text{Ens}}(X\times{}Y)$, pour la catégorie $\text{Ens}$ des objets de type ensemble.

Julia Paule · September 2021

Merci TP. J'imagine que $\mbox{End}_{\text{Ens}}(X\times{}Y) = {Hom}_{Ens} (X \times Y, X \times Y)$.

Pour la peine, peut-on écrire directement pour $T,X,Y$ des objets de la catégorie $C$, si $X \times Y$ est un objet de $C$ et si les morphismes de la catégorie $C$ sont des applications, ${Hom}_C (T, X \times Y) = {Hom}_C (T, X) \times {Hom}_C (T, Y)$ ?
(en effet, j'ai envie de dire : $f \in {Hom}_C (T, X \times Y) \Leftrightarrow f=(p,q) \in {Hom}_C (T, X) \times {Hom}_C (T, Y)$).

Maxtimax · September 2021

par définition de produit, si $(X\times Y, p,q)$ est un produit de $X$ et $Y$ dans $C$, alors la postcomposition par $p$ et $q$ induit une bijection $\hom_C(T,X\times Y)\to \hom_C(T,X)\times\hom_C(T,Y)$ ($f\mapsto (p\circ f, q\circ f)$ )
Donc tu peux écrire $=$ si tu es à l'aise avec les identifications canoniques :-D

Mais strictement parlant, l'égalité est fausse, même pour les ensembles

En général si $f: T\to X, g: T\to Y$, on note $(f,g)$ le morphisme $T\to X\times Y$ obtenu.
Dans la situation que tu décris $f\times g$ me semble adapté et c'est ce qu'on utilise souvent.

Julia Paule · September 2021

Merci beaucoup Maxtimax. Je n'arrivais pas à démontrer la bijection, et j'en étais venue à me dire qu'en fait les ensembles étaient égaux, sans en être sûre. Je vais donc réessayer de démontrer la bijection.

Maxtimax · September 2021

Le fait que c'est une bijection est essentiellement la définition de produit ("il existe" --> surjection, "un unique morphisme" --> injection)

Julia Paule · September 2021

Heu oui, c'est très facile de le démontrer, avec la bijection réciproque aussi. Ce qui m'a induit en erreur pour l'égalité, c'est que l'application :
$Hom_C (T,X) \times Hom_C (T,Y) \rightarrow Hom_C (T, X \times Y), (f,g) \mapsto u$, tel que $ \forall t \in T, u(t)=(f(t),g(t))$ peut s'écrire $u=(f,g)$, donc cela donne l'impression de l'identité.

Mais en fait $u=(f,g)$ est une simple écriture qui se confond avec l'égalité. Bizarre.