Schéma de consistance axiomes théorie ens.

AlainLyon · September 2021

Bonjour, je ne suis pas un spécialiste de la théorie des ensembles et
1) Je cherche un schéma de la consistance des différents axiomes qui fondent les théories des ensembles. A savoir ZF, Axiome du Choix, Axiome Choix Dépendant, Axiome Fondation, Axiome Cardinal Accessible, Hypothèse du Continu. Un schéma de cette nature se trouvait sur ce site, mais je ne le vois plus.
2) Avec ZF+Axiome de Choix on peut construire $\mathbb{R}$ et un théorème affirme que toute partie de $\mathbb{R}$ peut être munie d'un bon ordre. Est ce que $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ peut être alors vu comme un ensemble d'ordinaux ordonnés par l'ordre de l'inclusion ?
3) Avec ZF+Axiome Choix on construit $\mathbb{R}$ à partir de $\omega$ (en se donnant les bonnes structures qui définissent ordre, addition, multiplication sur $\mathbb{R}$). Est-ce que $\mathbb{R}$ peut être vu comme un ensemble d'ordinaux ?
4) Soit une copie de ZFC et un ensemble d'ordinaux $E$ (ce n'est donc pas l'univers entier puisque la collection des ordinaux n'est pas un ensemble). Si ZFC est contradictoire sur $E$, ZFC est-elle contradictoire pour cette copie de ZFC ?
Merci de donner réponse à au moins une partie de mes questions.

Martial · September 2021

Le problème n'est pas tellement de répondre à tes questions mais surtout de les comprendre. Certaines n'ont guère de sens.

1) Je ne suis pas sûr de savoir ce que tu veux exactement. Je te livre ce qu'on sait.
a) ZFC + Il existe un cardinal inaccessible entraîne la consistance de ZFC.
b) ZFC + Axiome du choix implique l'axiome du choix dépendant.
c) L'axiome de fondation fait partie intégrante de ZF (sauf chez Krivine). De toutes façons, si on note ZF* la théorie ZF privée de l'axiome de fondation, alors ZF et ZF* ont la même consistance, i.e. que AF est indépendant du reste.
d) ZF, ZFC et ZFC+ HC ont la même consistance. Autrement dit, AC est indépendant de ZF, et HC est indépendante de ZFC.
2) Là, ça commence mal. Thanks God il n'y a pas besoin de AC pour construire $\mathbb{R}$, une théorie beaucoup plus faible que ZF suffit. Par contre, oui, dans ZF + AC, $\mathbb{R}$ peut être muni d'un bon ordre. En revanche l'inclusion n'est pas du tout un bon ordre (ni même un ordre total) sur $\mathscr P(\mathbb{R})$.
3) Avec ZFC tu disposes d'un bon ordre sur $\mathbb{R}$. Il y a effectivement un théorème qui dit qu'à ce bon ordre correspond un unique ordinal $\alpha$, et donc à tout élément de $\mathbb{R}$ correspond un unique $\beta < \alpha$. Donc en un certain sens $\mathbb{R}$ peut être vu comme l'image directe d'un certain ensemble d'ordinaux par une certaine bijection. Mais le bon ordre est totalement artificiel (donc la bijection aussi) et en particulier n'a rien à voir avec la structure de $\mathbb{R}$ telle qu'on la connaît. En plus, si AC est vrai il n'y a non pas un mais une flopée de bons ordres sur $\mathbb{R}$.
4) C'est quoi une "copie de ZFC" ? Jamais entendu causer.

AlainLyon · September 2021

Merci pour les réponses, par "copie" de ZFC, j'entends ce que Krivine appelle un modèle. Quels sont les axiomes minimaux pour construire $\mathbb{R}$? J'ai appris à le construire à partir des rationnels par complétion de $\mathbb{Q}$ (à partir du quotient de l'anneau des suites de Cauchy par l'idéal des suites tendant vers $0$) et il m'est apparut que tout ZF était nécessaire pour le faire. Je sais de plus trouver un exemple pas trop compliqué où l'utilisation de l'axiome du choix en analyse réelle sur $\mathbb{R}$ conduit à une contradiction, alors si tu me dis que l'axiome du choix n'est pas nécessaire pour construire $\mathbb{R}$ mais seulement l'axiome du choix dénombrable ou l'axiome du choix dépendant cela contribue à me rassurer.

Martial · September 2021

OK. De coup j'essaye de répondre à ta question 4). Il se peut qu'il existe ce qu'on appelle un modèle naturel de ZFC, c'est-à-dire un $V_{\alpha}$ pour un certain ordinal $\alpha$. Dans ces conditions, les ordinaux du modèle sont tous les $\beta < \alpha$. Vu de l'extérieur (c'est-à-dire de chez nous), c'est bien un ensemble d'ordinaux, à vrai dire égal à l'ordinal $\alpha$. Mais pour l'habitant du modèle c'est une classe propre, i.e. une classe définissable qui n'est pas égale à un ensemble.

Par contre je ne peux pas répondre à la question "Si ZFC est contradictoire sur E, ZFC est-elle contradictoire pour cette copie de ZFC ?" car elle ne veut rien dire. Une théorie est contradictoire ou elle ne l'est pas, point barre.

Aucune forme de choix n'est nécessaire pour construire $\mathbb{R}$. Tu as juste besoin des axiomes suivants : extensionnalité, schéma de compréhension, paire, réunion, parties, infini.

J'aimerais bien voir l'exemple dont tu parles.

AlainLyon · September 2021

Oui le voici j'ai essayé de "blinder" la preuve qui peut être plus courte

Martial · September 2021

Je ne sais pas ce qu'il faut penser de ce papier, et je n'ai guère le temps de me pencher dessus. Attendons l'avis de spécialistes plus spécialistes que moi.

De toutes façons, ce n'est pas parce qu'on peut construire $\mathbb{R}$ en utilisant l'axiome du choix dépendant qu'on ne peut pas le construire sans.

AlainLyon · September 2021

Prenons l'exemple de l'analyse fonctionnelle réelle et de l'analyse fonctionnelle réelles, la plupart des livres que j'ai pu consulter prennent pour prémisse la construction de $\mathbb{R}$ et quelques lemmes fondés sur l'axiome du choix. Puisque l'utilisation de l'axiome du choix est contradictoire avec l'analyse réelle alors ces lemmes de fondement sont soit faux soit ne sont pas des acquis. Pour l'algèbre linéaire il est considéré comme acquis, parce que c'est une conséquence de l'axiome du choix, que tout espace vectoriel a une base : l'inexistence prouvée, par utilisation de l'axiome du choix,des bases de Hamel montre que le $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $\mathbb{R}$ n'a pas de base "connue". Les preuves que je connais pour l'existence d'une solution maximale à une équation différentielle $u^{(n+1)}(t)=F(u(t),\dots,u^{(n)}(t),t)$ (le théorème de Cauchy-Lipschitz) sont basées sur l'usage de l'axiome du choix en analyse réelle....

Poirot · September 2021

Ou comment tout mélanger en un message...

Ce n'est pas parce l'axiome du choix permet de construire un objet que celui est requis pour la construction de cet objet. Autrement dit, ne pas confondre condition suffisante et condition nécessaire.

AlainLyon a écrit:

l'exemple de l'analyse fonctionnelle réelle et de l'analyse fonctionnelle réelles

AlainLyon a écrit:

l'utilisation de l'axiome du choix est contradictoire avec l'axiome du choix alors ces lemmes de fondement sont soit faux soit ne sont pas des acquis

AlainLyon a écrit:

l'inexistence prouvée, par utilisation de l'axiome du choix,des bases de Hamel

On nage en plein délire là...

AlainLyon · September 2021

Voici le papier de Xavier Caruso et le papier concernant la construction de $\mathbb{R}$ fondée par les quasi-morphismes.

Martial · September 2021

@Poirot : je suis bien d'accord avec toi. Pour tout dire, dans tout le discours d'AlainLyon il y a une seule phrase où je suis prêt à le croire, très volontiers. Je te laisse deviner laquelle...

AlainLyon · September 2021

Poirot écrivait :

> On nage en plein délire là...

On ne nage pas dans un délire, on en souffre. Poirot et Martial ne respectent pas la charte du forum en opposant des attaques personnelles aux arguments scientifiques contenus dans les articles que je partage en téléchargement.