incomplétude

Sylvain
Sylvain
dans Fondements et Logique
Bonjour,

il me semble que d'après Gödel, il existe dans toute théorie T des énoncés vrais mais non déductibles des axiomes de T. Ma question est :
Existe-t-il toujours un nombre fini d'axiomes A1,A2,...,An tels que l'ajout de ces axiomes à ceux de T permet de démontrer chacun de ces énoncés ?
Merci.

Réponses

  • Probaloser
    Probaloser
    Je n'y connais pas grand chose mais les spécialistes corrigeront s'il le faut...

    <<
    il me semble que d'après Gödel, il existe dans toute théorie T
    >>
    Il doit y avoir des hypothèses sur la thérie tout de même.

    <<
    des énoncés vrais mais non déductibles des axiomes de T.
    >>
    qu'entends-tu par "vrai" ?

    <<
    Ma question est:
    existe-t'il toujours un nombre fini d'axiomes A1,A2,...,An tels que l'ajout de ces axiomes à ceux de T permet de démontrer chacun de ces énoncés ?
    >>
    Ben ça contredit un peu ce que tu dis plus haut. Ou alors tu voulais dire que pour chacun de ces énoncés, il existait des axiomes tels que blabla. Alors ça doit être oui. Si tu ne peux démontrer ni ton énoncé ni son contraire, tu peux rajouter ton énoncé comme axiome (si elle n'était pas contradictoire elle le restera (sans réfléchir et sans vérifier)).
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour Sylvain.

    Le théorème de Gödel repose sur le caractère auto-référent d'une théorie, en général on considère une théorie permettant de formaliser l'arithmétique : la théorie des ensemble par exemple.

    Laissons tomber l'aspect "énoncé vrai" qui ne prend du sens qu'en ajoutant la composante sémantique, sinon on est rabattu sur le truisme "est vrai ce qui est démontrable".

    Nous arrivons donc à : le langage d'une théorie suffisamment sophistiquée, contient toujours des énoncés non démontrables et non réfutables (dont la négation n'est pas plus démontrable). On peut donc au choix ajouter cet énoncé ou sa négation à l'ensemble de nos axiomes, on a donc une théorie plus forte que la précédente et on peut répéter l'opération sans inconvénient.

    Je vois que j'ai laissé de côté un aspect de ta question : existe-t-il toujours un nombre fini d'axiomes permettant de compléter la théorie ? La réponse me semble non, puisqu'on peut construire une suite infinie d'énoncés non démontrables.

    Bruno
  • Initial
    Initial
    Est-ce que toutes les assertions qui exemplifient le théorème d'incomplétude de Gödel sont auto-référentes?
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Bonjour!

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