bon ordre et plus grand element
bonjour,
je connais même si je connais le principe de la recurrence transfinie, je bute en pratique sur le fait qu'on peut choisir un bon ordre sur un ensemble de telle sorte qu'il ait un élément maximal.
Je souhaite en fait établir qu'"il existe un ensemble de R qui rencontre toutes les parties fermees bornées non denombrables de R mais qui n'en contient aucun":
si la première partie a le parfum de l'axiome du choix, la deuxieme partie de l'assertion est problématique.
Merci pour vos réponses.
je connais même si je connais le principe de la recurrence transfinie, je bute en pratique sur le fait qu'on peut choisir un bon ordre sur un ensemble de telle sorte qu'il ait un élément maximal.
Je souhaite en fait établir qu'"il existe un ensemble de R qui rencontre toutes les parties fermees bornées non denombrables de R mais qui n'en contient aucun":
si la première partie a le parfum de l'axiome du choix, la deuxieme partie de l'assertion est problématique.
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Réponses
Suppose que tu aies un bon ordre $\prec$ sur $E \neq \emptyset$ et que $(E,\prec)$ n'aies pas de plus grand élément. Soit $x$ le {\it plus petit élément de $E$}, alors, en désignant par $E' = E \setminus \{x\}$ et $\prec'$ la restriction de $\prec$ à $E'$, les ensembles ordonnés $(E,\prec)$ et $(E,\prec')$ sont isomorphes. On pose alors $
je tenais le raisonnement similaire - en considérant pour ma part le successeur aU{a} de l'ordinal a isomorphe à E (c'est le theorème de Zermelo) pour faire apparaitre un plus grand élément dans E - mais ce qui me gêne dans ces deux explications c'est qu'il me semble qu' on viole l'unicité de l'ordinal isomorphe à E alors n'hésite pas à me contredire si je dis une bêtise...
Autre interrogation: peux tu me préciser STP l'isomorphisme que tu évoque entre E et E' (ce n'est pas l'injection canonique ?) et ce que devient l'image de x par cet isomorphisme ? Merci d'avance
Première interrogation : en vertu de l'unicité de l'ordinal en bijection avec l'ensemble ordonné $(E,\prec)$ tu redécouvres la relation $1 + \alpha = \alpha$ pour tout ordinal infini $\alpha$ (alors que $\alpha + 1 \neq \alpha$.
Concrétisons : si $E$ est infini, alors $\omega$ ($\N$ si tu préfères) est isomorphe à un segment initial de $E$, tu peux donc voir $E$ comme $\N \cup F$ où $F$ est bien ordonné (éventuellement vide) et tout élément de $F$ majore $\N$. La bijection $f$ consiste à envoyer $\N$ sur $\N^*$ par l'application successeur et à poser $f_{\harppon F} = {\rm Id}_F$.
Notamment, $x$ a pour image $s(x)$.
Bruno