Questions sur ZF
Voici quelques questions que je me pose sur ZF ( liste loin d'être exhaustive..) :
1) ZF est engendré par les 7 axiomes bien connus.
On note S l'ensemble de ces axiomes. ZF est cohérent. Peut on enlever certains axiomes à ZF tout en gardant la cohérence ? ie : existe t'il des parties non vide de S engendrant une théorie cohérente? L'axiome des parties et de la paire par exemple.
2) On note $P^{k}{(\N)}$ l'ensemble P(P(... P(N)...)), k entier naturel non nul.
Est ce que tout ensemble infini est équipotent à un $P^{k}{(\N)}$ ? Je n'en suis pas du tout sur, des ordinaux limites par exemple. Je pense que l'hypothèse du continu intervient ici.
3) Comment montre t'on que N, dont l'existence est assurée par l'axiome de l'infini, est le plus petit ensemble infini ? Peut on le montrer en utilisant uniquement la définition suivante : un ensemble E est infini ssi il existe une injection non surjective de E dans lui même ?
En fait j'aimerais pouvoir construire N et $P^{k}{(\N)}$ dans un cadre moins restrictif que ZF. Je cherche des conditions minimales.
Merci d'avance, Arthas
1) ZF est engendré par les 7 axiomes bien connus.
On note S l'ensemble de ces axiomes. ZF est cohérent. Peut on enlever certains axiomes à ZF tout en gardant la cohérence ? ie : existe t'il des parties non vide de S engendrant une théorie cohérente? L'axiome des parties et de la paire par exemple.
2) On note $P^{k}{(\N)}$ l'ensemble P(P(... P(N)...)), k entier naturel non nul.
Est ce que tout ensemble infini est équipotent à un $P^{k}{(\N)}$ ? Je n'en suis pas du tout sur, des ordinaux limites par exemple. Je pense que l'hypothèse du continu intervient ici.
3) Comment montre t'on que N, dont l'existence est assurée par l'axiome de l'infini, est le plus petit ensemble infini ? Peut on le montrer en utilisant uniquement la définition suivante : un ensemble E est infini ssi il existe une injection non surjective de E dans lui même ?
En fait j'aimerais pouvoir construire N et $P^{k}{(\N)}$ dans un cadre moins restrictif que ZF. Je cherche des conditions minimales.
Merci d'avance, Arthas
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Réponses
Arthas : A propos de vos questions autour de la théorie ZF, j'émettrais deux petites remarques.
1) L'indépendance entre les axiomes de ZF garantirait que toute théorie extraite (ou induite) de ZF serait cohérente.
2) $\N$ est un ensemble infini ; il n'est pas équipotent à ${\mathcal{P}^k}(\N)$ avec $k \in \N_*$. Cela infirme la question originale. Celle-ci portait peut-être sur une restriction des ensembles infinis équipotents à $\R$...
Cordialement, nha de Lyon.
Pardon je voulais dire $k$ entier naturel, avec $P^{0}(\N)=\N$.
Pour le 1), c'est ce que je pensais, mais j'ai entendu dire que l'on avait été obligé d'ajouter des axiomes à ZF pour empécher des paradoxes. Le paradoxe de Russel par exemple. Si vous pouviez éclaircir ce point , merci.
Arthas
2) Pour autant que je puisse en juger, ton assertion est l'hypothèse du continu généralisée, qui est indécidable dans ZF.
3) omega est le plus petit ordinal infini par définition.
On suppose que l'axiome d'extension et l'axiome de l'ensemble des parties est vrai. On suppose que pour tout ensemble x et y, on peut définir un couple (x,y) tel que pour tous x, x', y, y' on ait : (x,y)=(x',y') ssi x=x' et y=y'. ie : on doit pouvoir formaliser la notion de couple. C'est le cas de ZF, grâce à l'axiome de la paire. On suppose que pour tout ensemble M et N il existe un ensemble MxN telque les éléments de MxN soient exactement les couples d'élements de M et N. C'est le cas de ZF, le produit cartésien étant défini avec les couples et l'axiome de compréhension (je pense). Dans ce cas, on appelle relation entre M et N un élément de P(MxN).
On peut définir les applications etc. On suppose qu'un ensemble M est infini ssi il existe une injection non surjective de M dans M.
Dans ce cadre, j'aimerais savoir si on peut définir oméga à une bijection près comme le plus petit ensemble infini (au sens de l'injectivité). Car j'ai appris que "les plus petits..." n'existent pas toujours.
Cordialement, Arthas.
le point 1) me donne le vertige, puis-je demander naïvement ce que l'on peut faire avec une théorie des ensembles avec négation de l'axiome de l'infini?
Je n'ai jamais vraiment bien compris le point de vue de la logique intuitionniste, est-ce lié?
(pardon de m'écarter du fil)
aimablement,
S
(on peut faire varier les numeros de chapitre dans 1,14).
Depuis 2 ou 3 ans, j'essai de créer mes propres théories mathématiques et physiques et j'apprécie de comparer avec ces théories bien établies.
Dans les cours que j'ai vus sur la théorie des modèles, on ne parle que de théories du premier ordre, dont le language est donnée par des constantes, des relations et des fonctions. C'est efficace pour les corps, les espaces vectoriels en trafiquant un peu, mais pour les topologies ?? Pourriez vous me dire comment on formalise les structures et théories d'ordre supérieur (tout lien est le bienvenu) ? J'ai quelques idées sur la question mais je suis obligé de créer des conditions sur les domaines, je vais continuer à chercher de mon coté.
Si vous pouviez me dire également ce que vous pensez de ma théorie précédente du premier ordre (en particulier, si c'en est une..).
Merci, Arthas
Pour samok : la théorie des ensembles dans laquelle on nie l'axiome de l'infini est simplement la théorie des ensembles finis. Sauf erreur de ma part, cette théorie est non contradictoire, ce qui prouve sa relative faiblesse.
Pour Arthas. Même sans hypothèse du continu, il est clair qu'il y a des ensembles qui ne sont pas équipotents à $\mathfrak P^k(\N)$ car tu n'a là qu'une suite de cardinaux, et les cardinaux constituent une classe propre, tu n'épuise donc pas la liste.
On peut aisément construire quelque chose de plus grand : posons $\mathfrak P^\omega(\N) = \bigcup_{k \in \N}\mathfrak P^k(\N)$ ; c'est un cardinal plus grand que les précédent qui n'est pas dans ta liste et tu passes à $\mathfrak P^{\omega+1}(\N) = \mathfrak P\big(\mathfrak P^\omega(\N)\big)$... Il n'y a plus aucune raison de s'arrêter.
Bruno
D'accord, je suppose qu'il s'agit des classes de la théorie NGB, la classe des cardinaux n'est pas un ensemble mais une classe propre, donc encore moins un ensemble dénombrable.
A propos de "l'ensemble de tous les ensembles", on montre qu'il n'existe pas dans ZF grâce à l'axiome de compréhension, mais peut il exister dans ZF sauf l'axiome de compréhension plus sa négation ?
(Je pense que ma théorie du premier ordre n'en est pas une , je n'arrive pas à exprimer ses axiomes par une formule du premier ordre.)
Pouvez vous me dire comment on formalise les théories d'ordre supérieurs (genre topologies) dans la théorie des modèles ? ou me donner un lien ?
Cordialement, Arthas.
Je ne me situe pas dans une théorie des classes NGB (ou autre), simplement une classe désigne une collection (terme primitif) définie par une formule à une variable libre. A ce sens la classe $\rm On$ des ordinaux est défini par une variable libre $x$ est dans $\rm On$ ssi $x$ est un ensemble transitif et la restriction à $x$ de la relation $\in$ est un bon ordre strict.
Un cardinal est un ordinal initial (qui n'est pas en bijection avec aucun ordinal inférieur) ce qui est se traduit par une formule à une variable libre également. Bref, la collection des cardinaux est une classe et elle n'est pas un ensemble, c'est une classe propre.
Bruno
si, c'est bien le cas. La collection On(x) des ordinaux est bien ordonnée par la relation € (i.e. c'est une relation d'ordre (strict) total et pour tout élément, la sous-collection des éléments inférieurs est un ensemble dont toute partie non vide possède un plus petit élément). Il en résulte que toute sous-collection non vide possède un plus petit élément, et en particulier la sous-collection des ordinaux infinis (qui n'est pas vide en vertu de l'axiome de l'infini) possède un plus petit élément que l'on appelle oméga. Les éléments inférieurs à oméga, autrement dit les éléments d'oméga, sont donc finis, ce sont les entiers "naturels".
(si tu enlèves arbitrairement des éléments à un ordinal, tu n'obtiens plus en général un ordinal).
Peut on définir une collection comme un objet $M$ muni d'une relation $\in$ telle que $\forall x$ $x\in M$ ou (exclusif) $x\not\in M$ ?
Une classe est alors une relation défini par une formule F à une variable libre tq $\forall x$ ($x\in M$ ssi $ F(x) $ est vrai ) . La collection des ensembles de ZF est alors une collection contenant la collection vide, stable par les applications parties, union, paires, vérifiant l'extension, la compréhension et contenant un ordinal infini. Est ce qu'une telle interprétation est correcte ?
Arthas.
Celle des paradoxes
En fait on appelle paradoxe (à tort) une conséquence des axiomes qui va à l'encontre du sens commun
Celui de Russel je ne le connais pas
Mais par exemple l'axiome du choix entraine qu'on le peut découper une boule en plusieurs parties, les déplacer et les recoller et obtenir une boule plus grande
Ceci étant appelé paradoxe de Tarski
Et je pense que c'est ça qu'on appelle paradoxe, mais ce sont en fait des théorèmes de ta théorie
L'idée est que quand l'on pose des axiomes, l'on veut que ça corresponde à notre intuition
Et une autre remarque, je ne vois pas en quoi le fait que la théorie des ensembles finis, soit non contradictoire (ce qui n'est pas prouvable bien sûr) prouve sa faiblesse, surtout que malheurement c'est peut-être la seule qui existe dans notre univers (supposition, ce n'est pas une affirmation)
Contrairement à ce que tu penses, on démontre que la théorie des ensembles finis est non contradictoire car le $V_\omega$ intuitif en est un modèle. C'est pour cela que j'ai écrit que la théorie des ensembles finis est "faible". Je développe : bien sûr elle est plus faible que $ZFC$ puisque pour cette dernière théorie on ajoute à la précédente l'axiome de l'infini et l'axiome de choix. Mais, simplement en ajoutant l'axiome de l'infini, on tient une théorie dont on ne peut plus montrer la non contradiction. Donc $ZF$ (et a fortiori $ZFC$) sont des théories beaucoup plus sophistiquées (le mot est peut-être mieux choisi) que la théorie des ensembles finis.
En ce qui concerne les "paradoxes" ; on distinguait autrefois entre "antinomies" et "paradoxes". Le paradoxe est un énoncé qui choque le sens commun. Le paradoxe de Banach-Tarski (ne l'oublions pas) est un paradoxe dans ce sens là ; on en viendrait à douter de la validité de $ZFC$ parce que nous (moi du moins) ne croyons pas à la multiplication des pains.
Le paradoxe de Russel (en réalité il y en a plusieurs) mettent en cause la théorie, qui n'était pas formelle, des ensembles. C'est donc plutôt une antinomie.
Pour mémoire, Russel a démontré que l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d'eux-même est un objet contradictoire.
Au passage, il a accroché à son tableau de chasse les langages auto référents avec le paradoxe du barbier et celui- du menteur.
Bruno
Bruno
juste une petite précision, $V_{\omega}$ est une partie d'un modèle de $ZF$. Ainsi il faut supposer $ZF$ consistant pour pouvoir construire $V_{\oemga}$.
Le $V_{\omega}$ considéré ici est le '$V_{\omega}$' intuitif, c'est à dire l'union croissante de $N$ puis de l'ensemble des parties de $\N$, puis de l'ensemble des parties des parties de $\N$ et ainsi de suite un nombre dénombrable de fois.
@l
D'abord $V_0 = \varnothing$, puis $V_{n+1} = \mathfrak P(V_n)$ et $V_\omega$ est la réunion de tous ces ensembles intuitifs. C'est un ensemble intuitif et tout modèle d'une théorie est un ensemble intuitif. De pllus cet ensemble vérifié les axiomes de $ZF$ sauf celui de l'infin.
D'accord ou pas ?
Bruno
j'ai de la peine à comprendre comment on peut parler d'objets intuitifs déjà très sophistiqués comme des réunions de parties d'ensembles, etc, sans s'assurer auparavant de l'existence des opérations que l'on effectue, autrement dit sans présupposer déjà une partie substantielle de ZF.
Peut-on parler d'objets intuitifs au-delà de signes graphiques visibles et d'assemblages de tels signes ?
Bien sûr et c'est pour cela que je sollicitais un engagement de @l, c'est mon point faible notamment parce que je n'ai jamais vraiment réfléchi à ce qu'on met dans les objets intuitifs. Cependant, je sais que qu'il faut quelque chose d'assez solide, à savoir que les ensembles intuitifs doivent vérifier les opérations valides dans $ZFC$ et posséder des objets dans l'existence est valide dans $ZFC$ ; on ne fait pas de théorie des modèles sans axiome de choix par exemple.
Pour GG.
On ne fait rien sans rien. Quand on définit la notion de langage, on parle "d'un ensemble dénombrable de variables" par exemple. Bref, pour parler de "modèles", il faut des ensembles. Il ne faut pas confondre ces ensembles, ces entiers (lire Bourbaki à ce sujet) {\bf avec les objets formels} et c'est pour cela que l'on parle {\bf d'objets intuitifs}. Sur ces objets intuitifs, on a besoin des opérations simples de classification donc la réunion, l'intersection, les couples, j'en passe et des meilleures. Pour faciliter les choses (par exemple le théorème de Gödel suppose une certaine forme d'axiome de choix) on admet que grâce aux ensembles intuitifs on peut faire toute opération valide dans $ZFC$.
La théorie {\bf formelle} des ensembles est l'étude d'un couple (intuitif) $(E,R)$ où $E$ est un ensemble intuitif et $R$ une relation binaire sur celui-ci et on admet que ce couple satisfait aux axiomes de $ZF$. {\bf D'après le théorème d'incomplétude de Gödel}, l'existence d'un tel couple n'est ni évidente, ni démontrable (contrairement à celle de $V_\omega$).
Je suis absent jusqu'à la fin de semaine pour la raison maintenant publique sur le forum, mais je tenterai de répondre aux objections de "..." ou aux questions de GG sur le sujet à mon retour (à moins que d'autres plus qualifiés ne l'aient fait d'ici là).
Bruno
(En effet, un modèle de la théorie des ensembles est souvent appelé un univers)
Il faut bien voir qu'étudier la théorie des ensembles (ou des univers), c'est à la base la même chose qu'étudier la théorie des groupes, des anneaux, des corps....
La théorie des univers c'est juste la donnée d'un ensemble d'axiomes dans un langage bien défini. Ensuite on étudie en détail cette théorie. Quand on fait de la théorie des groupes, on ne se demande pas si les ensembles existent, si $\N$ existe, etc.... Il en va de même avec la théorie des univers.
Là où le bât blesse, c'est que toute théorie 'intéressante' a une raison d'être; ici, on veut une théorie qui 'mime' ce que devraient être les propriétés fondamentales des ensemble qu'on utilise tous les jours. La théorie des univers est donc un {\bf essai} de miroir {\bf à notre portée} de phénomènes, de connaissances {\bf en dehors de notre portée}.
On recrée ainsi un univers... Ce qui est fascinant, c'est qu'on arrive avec les moyens du bord à recréer tous les objets dont on a l'habitude.
Maintenant savoir si il y a une correspondance complète entre les objets mathématiques usuels, 'intuitifs' et ceux créés dans $ZF$ est de l'ordre de la philosophie pure. Cela a été beaucoup étudié par Cavaillès entre autres. En fait, la question est de savoir si le miroir dont je parle est fidèle et pas un peu déformant....
Ainsi même si $ZF+AC$ est consistant, rien ne dit que l'Axiome du Choix de notre monde soit lui aussi consistant... La seule chose qu'on peut faire, c'est prier que le miroir ne déforme pas l'Axiome du Choix.... De toute façon, à l'heure actuelle, on n'a aucune autre technique pour aborder ces questions...
C'est pour cela qu'à un moment ou un autre, on peut parler de foi en $ZF$.
Une dernière chose, ce qui est très important dans $ZF$, c'est tout ce qui est en rapport avec la syntaxe. En effet, ce qui vaut la peine finalement, ce n'est pas tant les théorèmes que peut prouver $ZF$ mais le chemin qui permet de passer des axiomes de $ZF$ à ce théorème.
En effet, si on connaît ce chemin alors on peut l'appliquer à notre monde 'intuitif' et donc dans ce cas très précis vérifier l'adéquation entre notre monde et $ZF$.
C'est un peu comme un pantographe: on peut augmenter la taille d'un petit dessin (petit=modèle de $ZF$) de façon à obtenir un gros dessin identique (gros=notre monde) -et vice-versa- , à condition qu'on sache comment le dessin de base a été obtenu.
Par contre, on ne peut pas utiliser un pantographe avec une fonction chaotique. Ainsi si on sait que $ZF$ démontre un théorème mais qu'on ne sait pas comment 'pratiquement' alors on retombe dans le problème de la foi en $ZF$ pour appliquer le théorème ainsi obtenu à notre monde.
Sinon, pour répondre à Bruno, $V_{\omega}$ est précisément ce qui écrit mais à l'intérieur d'un modèle de $ZF$. $V_{\omega}$ est donc un point du modèle considéré.
Dans notre monde, '$V_{\omega}$ intuitif' est construit de la même manière (cf ci-dessus par rapport au chemin de construction) mais évidemment '$V_{\omega} intuitif' va être différent de $V_{\omega}$.
@l
(En effet, un modèle de la théorie des ensembles est souvent appelé un univers)
Il faut bien voir qu'étudier la théorie des ensembles (ou des univers), c'est à la base la même chose qu'étudier la théorie des groupes, des anneaux, des corps....
La théorie des univers c'est juste la donnée d'un ensemble d'axiomes dans un langage bien défini. Ensuite on étudie en détail cette théorie. Quand on fait de la théorie des groupes, on ne se demande pas si les ensembles existent, si $\N$ existe, etc.... Il en va de même avec la théorie des univers.
Là où le bât blesse, c'est que toute théorie 'intéressante' a une raison d'être; ici, on veut une théorie qui 'mime' ce que devraient être les propriétés fondamentales des ensemble qu'on utilise tous les jours. La théorie des univers est donc un {\bf essai} de miroir {\bf à notre portée} de phénomènes, de connaissances {\bf en dehors de notre portée}.
On recrée ainsi un univers... Ce qui est fascinant, c'est qu'on arrive avec les moyens du bord à recréer tous les objets dont on a l'habitude.
Maintenant savoir si il y a une correspondance complète entre les objets mathématiques usuels, 'intuitifs' et ceux créés dans $ZF$ est de l'ordre de la philosophie pure. Cela a été beaucoup étudié par Cavaillès entre autres. En fait, la question est de savoir si le miroir dont je parle est fidèle et pas un peu déformant....
Ainsi même si $ZF+AC$ est consistant, rien ne dit que l'Axiome du Choix de notre monde soit lui aussi consistant... La seule chose qu'on peut faire, c'est prier que le miroir ne déforme pas l'Axiome du Choix.... De toute façon, à l'heure actuelle, on n'a aucune autre technique pour aborder ces questions...
C'est pour cela qu'à un moment ou un autre, on peut parler de foi en $ZF$.
Une dernière chose, ce qui est très important dans $ZF$, c'est tout ce qui est en rapport avec la syntaxe. En effet, ce qui vaut la peine finalement, ce n'est pas tant les théorèmes que peut prouver $ZF$ mais le chemin qui permet de passer des axiomes de $ZF$ à ce théorème.
En effet, si on connaît ce chemin alors on peut l'appliquer à notre monde 'intuitif' et donc dans ce cas très précis vérifier l'adéquation entre notre monde et $ZF$.
C'est un peu comme un pantographe: on peut augmenter la taille d'un petit dessin (petit=modèle de $ZF$) de façon à obtenir un gros dessin identique (gros=notre monde) -et vice-versa- , à condition qu'on sache comment le dessin de base a été obtenu.
Par contre, on ne peut pas utiliser un pantographe avec une fonction chaotique. Ainsi si on sait que $ZF$ démontre un théorème mais qu'on ne sait pas comment 'pratiquement' alors on retombe dans le problème de la foi en $ZF$ pour appliquer le théorème ainsi obtenu à notre monde.
Sinon, pour répondre à Bruno, $V_{\omega}$ est précisément ce qui écrit mais à l'intérieur d'un modèle de $ZF$. $V_{\omega}$ est donc un point du modèle considéré.
Dans notre monde, '$V_{\omega}$ intuitif' est construit de la même manière (cf ci-dessus par rapport au chemin de construction) mais évidemment '$V_{\omega}$ intuitif' va être différent de $V_{\omega}$.
@l