raisonnement par l'absurde
Bonjour,
Je cherche des exemples de problème résolu par l'absurde qui soient du niveau seconde/première S et qui soient pertinents.
Exemple d'un problème que je ne trouve pas assez pertinent :
Montrer que pour tout réel x $\neq$ -2, $\frac{x+1}{x+2} \neq$ 1.
Je cherche des exemples de problème résolu par l'absurde qui soient du niveau seconde/première S et qui soient pertinents.
Exemple d'un problème que je ne trouve pas assez pertinent :
Montrer que pour tout réel x $\neq$ -2, $\frac{x+1}{x+2} \neq$ 1.
Cette discussion a été fermée.
Réponses
Soit n un entier naturel.
Si n>=3 et n est premier, alors n est impair.
Soient a et b deux entiers.
Si ab est impair, alors a et b sont impairs.
Ou encore : Soient a et b deux entiers.
Si ab est pair alors a est pair ou b est pair.
Evidemment, là, il faut guider les élèves. Par exemple, question 1 : montrer par l'absurde que 0 n'est pas solution. Question 2 : montrer que si l'équation avait une solution non nulle y, alors y vérifierait y^2+y+1=0 et y+1+1/y=0. Question 3 : montrer que si l'équation avait une solution non nulle y, alors y vérifierait y^3=1. Question 4 (trop dur ?) : montrer par l'absurde que l'équation n'a pas de solution non nulle. Question 5 : conclure.
Au fait, en quoi trouves-tu l'exemple que tu donnes "non pertinent"?
(il y a plusieurs façons d'interprêter cette phrase).
"
On sait qu'une fraction est égale à 1 si et seulement si son numérateur est égal à son dénominateur.
Donc si le numérateur est différent du dénominateur, alors la fraction est différente de 1 ce qui est le cas ici.
"
Je cherche des exemples où la contraposée d'une proposition connue ne vient pas tout gaché !
1) Le principe de récurrence est long à comprendre et je n'ai pas le temps une fois démontré de l'utiliser suffisement souvent mais c'était un exemple pertinent !
2) L'irrationnalité de $\sqrt{2}$ est pertinente à mon gout !
3) Tes propriétés ne sont pas pertinentes pour ce que je veux car leur contraposée est simple à mettre en oeuvre
4) Je trouve pertinent de montrer que 0 n'est pas solution de l'équation $x^2+x+1=0$
$y^3=1$ donc $y=1$ n'est pas accessible en début de première S ( pour moi )
Un problème classique: montrer que l'on ne peut pas paver une pièce rectangulaire de côtés 1 m et sqrt(2) m avec des pavés carrés.
Bon, tant que tu n'as pas dit : "je suis très content avec tout ça, c'est bon", moi, je continue.
Encore de l'arithmétique (désolé, c'est tout ce qui me vient).
Soit n un nombre entier.
Montrer que 4*n+3 ne peut pas s'écrire sous la forme x^2+y^2 avec x et y des entiers.
En fait, je suis bien content avec tout ce que j'ai...
D'ailleurs je vais poser une autre question pour me changer les idées !
... ou comment plonger une classe dans la perplexité.
Menagex.
(Si un modérateur pouvait modifier mon message précédent, et supprimer ce message, merci !)
"montrer que l'équation x^2+x+1=0 n'a pas de solution (réelle).
Evidemment, là, il faut guider les élèves. Par exemple, question 1 : montrer par l'absurde que 0 n'est pas solution"
Ca se démontre "par l'absurde"?
N'empêche. Même si aucun être humain n'a conscience d'utiliser un raisonnement par l'absurde pour montrer qu'un nombre donné n'est pas solution d'une équation donnée, c'est pourtant ce qu'on fait, en fin de compte, non?
Cherchons une solution réelle de l’équation : x2+x+1=0 notée (E)
Résolution :
x vérifie d’après l’équation (E) : x2 + x = -1 soit encore x.(x+1) = -1 (E1)
On a également , toujours d’après l’équation (E), x+1 = – x2 (E2)
d'ou en substituant x+1 par – x2 dans (E1) on obtient :
x.(x+1) = x.( – x2) = – x3 = - 1
Ainsi x3 =1 et donc x =1
Commentaires :
Remplaçons maintenant x par sa valeur dans l’équation (E) ; il vient : 12+1+1=0
Soit encore 3 = 0
Surprenant non ???
Alors quel est le problème ? expliquez clairement ce que vous pensez de cette démarche !
Sur une île, il y a deux types d'habitants.
Les menteurs qui mentent toujours et les honnêtes qui disent toujours la vérité.
Un homme dit : "Je suis un menteur"
Est-ce un habitant de l'île ?
demontrer par l'absurde que V3 est irrationnel
Ca dépasse un peu "l'entendement" là, le nombres de "sottises" que j'ai lues, donc, je le dis {\bf gentiment}, la plupart des exemples ci-dessus se démontrent sans passer par le raisonnement par l'absurde (ou en tout cas, il n'est pas net qu'il soit obligatoire)
Je vous mettrai un lien propre, ma page a été bousillée par le système de passage unicode utf8 à je sais pu quoi
Le raisonnement par l'absurde est en fait un axiome: celui qui dit que si (A implique tout) implique A alors A
Démontrer que A implique tout (c'est à dire le faux, comme dans beaucoup d'exemples ci-dessus) ce n'est pas utiliser l'axiome du raisonnement par l'absurde. C'est faire un raisonnement {\bf intuitionniste} banal et accepté par les axiomes intuitionnites (la logique classique s'obtient en ajoutant l'axiome du raisonnement par l'absurde à la logique intuitionniste)
L'axiome du raisonnement par l'absurde est équivalent au tiers exclus (exercice!)
L'archétype, à mon avis, de raisonnement par l'absurde consiste en la manière rapide de démontrer que si le carré de x est nul alors x lui-même est nul (dans un corps). En effet (d'ailleurs bravo si quelqu'un parvient à le prouver intuitionnistement... thème de recherche, je ne sais pas si c'est possible, je pense que non), vous prouverez facilement que la nonnullité de x et la nullité du carré de x entrainent la nullité de x. Cependant, il vous sera difficile de vous passer de l'hypothèse "supposons, par l'absurde, que $x\neq 0$"...
A ou (non A) (tiers exclu)
(A ou A) ou (non A) (axiome dont j'ai oublié le nom)
(non (A => (non A))) ou (non A) (définition de l'implication)
(A => (non A)) => (non A) (derechef)
> (A ou A) ou (non A) (axiome dont j'ai oublié le
> nom)
Ne serait-ce pas plutôt : (A {\bf et} A) ou (non A),
qui devient : non(non A ou non A) ou (non A) ?
{\bf non, justement:} ça, c'est un théorème de logique intuitionniste banal.
Rappel: nonA$=_{par\ definition**}A$ implique tout.
Ton énoncé dit: si A implique que A implique tout, alors A implique tout. En fait, ton énoncé est un cas particulier de "si A implique que A implique B alors A implique B" qui est juste le droit de "cloner" les hypothèses ce qui est un axiome hautement accepté par la logique intuitionniste (il y a une logique créée par un logicien "JY Girard" qui renonce à cet axiome et elle s'appelle logique affine, mais bref)
Le tiers exclus ou sa variante le "droit de raisonner par l'absurde", dit que non(non(A)) implique A. Variante: si nonA implique A alors A. Par contre, ta version, c'est à dire A implique non(nonA) est un cas particulier de "A implique [(A implique
Si tu veux éviter le recours au "non" qui est artificiel, l'axiome qui t'autorise à raisonner par l'absurde s'apelle "axiome de Pearce" et affirme:
Si $(A\to
** si tu {\it n'aimes pas} cette définition, démontre-la, c'est assez faisable "intuitivement et c'est bien sûr faisable.. intuitionnistement.
Déduis A implique tout de nonA et réciproquement, montre (sans passer par l'absurde) que si A implique tout, alors nonA. Ca ne te sera pas forcément désagréable, et ça met les idées au clair
Théorème:
Le contraire d'une phrase P a le même sens que la phrase "si P alors tout arrive"
preuve:
On va prouver 2 choses,
(1) que [nonP implique "si P alors tout arrive"]
(2) que ["si P alors tout arrive" implique nonP"]
(1): il est impossible que (P et nonP). Donc si nonP alors si P alors tout arrive.
(2): supposons que si P alors tout arrive. Si P alors tout arrive et donc nonP . Si nonP alors nonP. Donc (si (P ou nonP) alors nonP). Donc nonP.
Axiomes utilisés
Les lettres majuscules représentent des phrases quelconques.
si tout arrive alors nonP
si (A implique
si A alors A
si (A implique T) et (B implique T) alors ((A ou
si (A ou nonA) implique T alors T
si "un truc impossible" alors tout arrive
"si A alors si B alors T"="si (B et A) alors T"
S'il est prouvé que A implique B et qu'il est aussi prouvé que B implique A alors sens de A=sens de B
Et pour la réciproque on fait pareil : (non non A implique A) donne (non A implique non non non A) en prenant la contraposée, ce qui s'écrit (non non A ou non non non A) puis finalement (A ou non A).
Puisque (x+1/2)²=x²+x+1/4 l'équation x²+x+1=0 est donc équivalente à (x+1/2)²+3/4=0
ou bien equivalente à: (x+1/2)²=-3/4. Elle n'a donc aucune solution réelle.
Non: et de toute façon, pas besoin "d'avoir compris", tout est explicite. Par ailleurs, comme je t'ai dit le fait que A entraine non (non A ) {\bf n'est pas} "difficile", puisque c'est {\bf l'abréviation} de A implique ((A implique tout)implique tout) (vu que nonX="X implique tout"
{\it Le tiers exclu (A ou non A) donne alors (A ou non non non A) qui s'écrit (non non A implique A). Oui ?
Et pour la réciproque on fait pareil : (non non A implique A) donne (non A implique non non non A) en prenant la contraposée, ce qui s'écrit (non non A ou non non non A) puis finalement (A ou non A)}
Bref...
Eventuellement, je te donne une {\bf autre} preuve (n'utilisant pas le tiers exclus) que nonA équivaut à A implique tout
1) Si nonA alors A implique tout (en admettant que "(A et nonA) implique tout", comme axiome)
2) La proposition (A implique tout) est "incompatible***" avec A. Si on admet comme axiome que nonA doit être une proposition moins forte que toutes celles qui sont incompatibles avec A alors, en particulier, nonA est impliquée par "A implique tout"
*** car la conjonction de A implique tout et de A implique tout.
Pour info: dans une version "épurée" et efficace de la logique qui ne réchauffe pas la planête, il n'y a que 2 connecteurs: le connecteurs $\forall$ et le connecteur $\to$ d'implication..
0) "si A alors B" est une abréviation commode de $A\to B$
1) "A et B" n'est qu'une abréviation de "$\forall X: [A\to (B\to X)]\to X$"
2) "A ou B" n'est qu'une abréviation de"$\forall X:$ si $(A\to X)$ et $(B\to X)"$ alors X
2) nonA est une abréviation de "$\forall X:A\to X$"
3) "le faux" est la proposition $\forall Y:Y$
Exercice: prouver l'équivalence entre "$\forall A:$ A ou nonA" et "$\forall A:non(nonA)\to A$"
J'ai lu que les logiciens ne s'entendent pas vraiment sur ce que l'on appelle le "raisonnement par l'absurde" (i.e. reductio ad absurdum). Certains attribuent ce type de raisonnement à la règle logique$$\neg\neg A \Rightarrow A$$
Merci !!
[Correction du LaTeX. Si mauvaise interprétation, la signaler. AD]
oui, c'est ça l'axiome du raisonnement pas l'absurde. En termes "déployés" il dit:
{\it si (A implique tout) implique tout alors A} pour toute formule A. On considère comme un axiome logique que "tout implique P" pour tout P et on renomme "tout" le faux. C'est idéologique comme notation, mais à peu près consensuel et contenant la substance de ce qu'enseignent les découvertes logiques techniques
Merci GG pour ton dépistage rapide. Quelle nouille je fais.
je ne crois pas, un corps est un anneau dont tout élément non nul est inversible (et qui n'est pas réduit à l'anneau nul). Il est donc intègre comme conséquence. Et Christian Challon a raison : si x2=0, soit x=0, soit x<>0, auquel cas x-1x2=0=x. Donc x=0.
je l'ai déjà dit dans un msg plus haut dans ce fil, mais au milieu de d'autres trucs.
Donc je le re-isole ici:
Un seul connecteur binaire logique $\to$ qui signifie "implique"
Un quantificateur $\forall$
Seuls axiomes: ($\forall x$ $x$ est bleu)$\to y$ est bleu
2 droits (concernant les raisonnements avec des hypothèses en arrière-plan):
1)si vous pouvez prouver un truc en supposant A et si vous pouvez prouver A, vous avez le droit de dire que vous avez prouvé votre truc (sans utiliser autre chose que vos hypothèses en arrière plan, mais pas A
2)si vous pouvez prouver un truc P, alors vous pouvez sans tout réécrire dire que vous avez prouvé $H\to P$ sans utiliser l'hypothèse H (même si elle était dans les hyp en arrière plan qui ont été utilisé pour prouver P)
Avec ça, vous avez toute la logique, et toutes les maths.. intuitionnistes.
En rajoutant l'axiome $((A\to All)\to All)\to A$, vous avez la logique classique pour laquelle le théorème de complétude dit "soit ya une preuve soit il existe un contre modèle"
"nonA" est une abréviation de $A\to All$
"faux" est une abraviation de $All$ (affirmation que "tout est vrai)"
Seul axiome concernant "tout", c'est $All\to P$ où P est n'importe quelle phrase
Exercice: fabriquer "A et B"
"A et B":="pour tout X, si $A\to (B\to X)$ alors X"
comme 0^3=0=/=1, soit y>0 soit y<0. Si y<0, alors y^3<0, donc y>0.
Si 0<y<1, alors y²<y et y^3<y² donc y^3<y<1.
Si 1<y, alors y²>y>1 et y^3>y²>1.
Donc y=1.
Un exemple intéressant de raisonnement par l'absurde à ce niveau:la divergence de f(x)=sin x.
En quelle limite? J'ai l'impression que ça se démontre sans util du rst par l'absurde
Sinon, la preuve de l’irrationnalité de racine de 2 se fait aussi par l’absurde.
-- Schnoebelen, Philippe
une assertion prouvable a toujours plein de preuves, donc, entre autres, une par l'absurde, si on a envie.
Mais certaines ne peuvent être démontrée QUE par l'absurde, c'est plutôt ça la question, je pense
Le raisonnement par l'absurde est une expression impropre pour désigner en fait un axiome: [(A ->tout)-> tout] implique A
Déduire tout (c'est à dire "le faux") de A c'est prouver A ->tout banalement.
A priori, le raisonnement de NP est:
1 est valeur d'adhérence
0 aussi
la limite est donc égale à 0
cette même limite vaut aussi 1
donc 0=1
donc tout (car 0=1 implique tout)
Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde: il établit limite de sin existe implique tout (assertion dont "lim de sin n'existe pas" est une simple et conventionnelle abréviation).
Pour racine carrée de 2, par contre, c'est bien possible qu'il faille utiliser au moins une fois une instance de
[(A ->tout)-> tout] implique A
> une assertion prouvable a toujours plein de preuves, donc, entre autres, une par l'absurde, si on a envie.
Sans blague.
> Mais certaines ne peuvent être démontrée QUE par l'absurde, c'est plutôt ça la question, je pense
Tu as des exemples ?
> Le raisonnement par l'absurde est une expression impropre pour désigner en fait un axiome: [(A ->tout)-> tout] implique A
Il me semble que c’est plus simplement, si non A implique un truc faux, alors A est vraie.
> Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde: il établit limite de sin existe implique tout (assertion dont "lim de sin n'existe pas" est une simple et conventionnelle abréviation).
Wabon. Mon raisonnement dit bien que si sin a une limite en +∞, alors cette limite a deux valeurs, ce qui est impossible.
Je trouve ta formulation du raisonnement par l’absurde bien tordue.
N’essairaies-tu pas de la distinguer de la contraposée, par hasard ?
-- Schnoebelen, Philippe
le raisonnement par l'absurde c'est la règle d'élimination de ¬ en déduction naturelle : on suppose ¬p, on montre q et ¬q, on en déduit p.
La règle d'introduction de ¬ c'est : on suppose p, on montre q et ¬q, on en déduit ¬p.
"sin x diverge" (tout comme l'irrationalité de rac(2)) se démontre par la règle d'introduction de ¬, pas pas le raisonnement par l'absurde.
La règle d'introduction de ¬ permet de démontrer p => ¬¬p (Supposons p. Supposons ¬p, contradiction, donc ¬¬p) et le raisonnement par l'absurde permet de démontrer ¬¬p => p (Supposons ¬¬p. Supposons ¬p, contradiction, donc p).
Le raisonnement par l'absurde est plus fort que la règle d'introduction de ¬ :
Admettons-le et supposons que de p on montre q et ¬q: supposons ¬¬p. Alors, par une première application du raisonnement par l'absurde on a p (si on avait ¬p, on aurait une contradiction). On a donc q et ¬q. Ainsi, par une seconde application de ce raisonnement, on a ¬p, ce qui démontre la règle d'introduction de ¬.
Il n'est d'ailleurs pas admis par les intuitionnistes.
P.S. Quand on ne s'intéresse à la logique que de loin, on peut mettre les deux règles (introduction et élimination de la négation) dans le même sac. C'est pourquoi l'on dit par tradition que la démonstration de l'irrationalité de rac(2) est le premier exemple de démonstration par l'absurde.
P.S.2 Pour les intuitionnistes, il y a deux notions relatives à l'ensemble vide : un ensemble non vide, et un ensemble habité: un ensemble habité H est tel qu'il existe h € H, un (l') ensemble vide V est un ensemble non habité, i.e. tel que ¬ il existe h € V. Ainsi, un ensemble habité n'est pas vide, mais un ensemble non vide n'est pas forcément habité
Juré, c'est pas pour t'embêter: si (A->B)->A alors A
Ou encore, si A->B et si (nonA)->B alors B
oui, ce qui est la même chose que ce que j'ai écrit, via les traductions conventionnelles: (1) nonA:=A->faux; et (2) faux:=tout (sous-entendu: tout est vrai)
Tout à fait: il dit bien que si sin a une limite alors tout arrive (car l'impossible arrive). Tu prouves bien A->tout (ie A->faux ou encore, nonA). Tu le prouves très bien (enfin..., ya des axiomes tacites (limite unique admise) mais bon...congratulations), et pas du tout par l'absurde.
oui et non: tu poses une bonne question, merci.
Il y a en fait 2 contraposées:
1) si A->B alors nonB->nonA. Celle-ci est un théorème autant intuitionniste, que même linéaire, et même intuitionnisto-linéaire (au sens de la "logique linéaire"). C'est simplement dû au raisonnement suivant:
"A---->*B---->tout", chemin qui mène de A au paradis, via l'hypothèse* A->B. Ce chemin exhibe que si B->tout, alors A->tout.
2) si nonA -> nonB alors B -> A. Celle-ci est équivalente à l'axiome du raisonnement par l'absurde.
Toute la nuance vient du fait qu'en maths, il existe des propositions atomiques à partir desquelles on construit les autres. Le fait que non(nonA) équivaut à A est obtenu, je sais c'est choquant, grace à l'axiome du raisonnement par l'absurde.
Pour prouver juste que A->non(nonA), ya pas besoin. Mais pour avoir: non(nonA) implique A, ya besoin.
GG a dit :
j'ai dit une bêtise concernant l'irrationalité de rac(2). Sa démonstration nécessite le raisonnement par l'absurde.
Non, l'irrationalité de rac(2) demande "au pire" la contraposition simple (i.e. acceptée par les intuitionistes si j'ai bien compris) de la proposition suivante :
Proposition :
Si une racine n-ième d'un nombre entier est rationnelle alors cette racine n-ième est un nombre entier.
Contraposée simple :
Si une racine n-ième n'est pas un nombre entier (racine carrée de 2 par exemple) alors cette racine n-ième est irrationnelle.
Preuve :
Soit une fraction irréductible a/b € Q vérifiant (a/b)^n = c € Z avec n > 0, alors a^n = cb^n dans Z. Comme n>0, on a b divise b^n qui divise a^n. Donc b divise pgcd(b,a^n). Or pgcd(a,b)=1 donc pgcd(a^n,b)=1, donc b divise 1, donc b = +/- 1, donc a/b € Z.
Dans tout ça, je ne vois rien en liaison avec une preuve par l'absurde.
Bien sûr, on peut emballer la démo dans une rédaction lourde <<supposons que... absurde...>> , mais ce n'est pas nécessaire.
On peut toujours supposer ce qu'on veut pour l'éviter... (par exemple, choisir quelle est la formule atomique entre A et nonA, car dans les maths ce n'est pas toujours très clair (poule ou oeuf))
Dans ton raisonnement, tu supposes que tout rationnel peut s'écrire sous forme d'une fraction irréductible et même tu utilises le pgcd..
Il faudrait y regarder en détails, mais je pense que ces choses admises consomment pas mal de raisonnement par l'absurde (ie l'axiome non(non(A)) implique A)
Bézout consomme du RPA assez spectaculairement il me semble pour aboutir à la conclusion il existe u,v avec ua+vb=pgcd(a,b).
Certes, on peut toujours tricher..
L'algorithme d'Euclide étendu m'a l'air assez effectif et sans raisonnement par l'absurde, tout de même.
Il y a plein de choses qui nous sont familières prouvées avec le RPA: une toute bête est si a×a=0 alors a=0
De plus un algorithme n'est pas une preuve: c'est la preuve que l'algorithme marche qui compte pour savoir si y a du RPÄ ou non
Pour prouver Bézout, on prend le plus petit d>0 qui est somme d'un multiple de a et d'un mutliple de b. (Admettons que l'axiome de récurrence autorise ce genre de formulation). divisons a par d pour avoir a=qd+r. Supposons que r est non nul (ce qui s'écrit non(r=0)). Alors r=a-qd et 0<r<d. Par hypothèse (là ya pas de RPA), il existe u,v avec ua+yb=d (définition de d). Donc r=a-qua-qyb=(1-qu)a+(-qy)b est un nombre plus petit que d à être somme de multiples de a,b. Comme par hypothèse, d est le plus petit, on obtient "tout" (dire que d est le plus petit c'est dire que tout plus petit que d à être blabla implique tout). On vient de prouver non(r=0) implique tout, ie non non (r=0).
(je ne vois pas trop comment améliorer ça sans tricher sans RAP)
Puisque r=0, a=qd. On refait de même avec b (deuxième RPA) pour obtenir que d est bien un CD de a,b.
En plus de ça l'existence de la division euclidienne est elle-même un peu tendancieuse (nivo RPA) je pense (simplifiant avec des nb>0):
On prend le plus grand q tel que qa<=b (admettons qu'il existe sans RPA, ce qui oblige à rajouter un axiome en plus de la récurrence). En posant r:=b-qa on obtient b=qa+r. MAIS pour prouver r<a, il me semble qu'on montre que l'hypothèse non(r<a) implique tout (parce qu'elle implique (q+1)a<=b) et donc encore une fois non(non(r<a))
> x effectif trouvé (à vérifier mais crédible), mais la réciproque n'est pas vraie:
ie existence effective prouvée n'implique pas forcément non utilisation du RPA