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raisonnement par l'absurde

Envoyé par matmat 
matmat
raisonnement par l'absurde
il y a treize années
<latex> Bonjour,

Je cherche des exemples de problème résolu par l'absurde qui soient du niveau seconde/première S et qui soient pertinents.

Exemple d'un problème que je ne trouve pas assez pertinent :
Montrer que pour tout réel x $\neq$ -2, $\frac{x+1}{x+2} \neq$ 1.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
Fais-leur démontrer le principe de récurrence (ah non c'est vrai qu'il faut dire théorème sous peine de désintégration bestiale ^_^).
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
<latex> Sinon il y a les classiques : irrationnalité de $\sqrt{2}$ par exemple...

Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
Une autre (je sens que je vais me défouler dans ce fil) :

Soit n un entier naturel.
Si n>=3 et n est premier, alors n est impair.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
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Dans le même ordre d'idées.

Soient a et b deux entiers.
Si ab est impair, alors a et b sont impairs.

Ou encore : Soient a et b deux entiers.
Si ab est pair alors a est pair ou b est pair.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
Un truc pas terrible (j'en ai conscience mais j'ai trop envie de me défouler) : montrer que l'équation x^2+x+1=0 n'a pas de solution (réelle).

Evidemment, là, il faut guider les élèves. Par exemple, question 1 : montrer par l'absurde que 0 n'est pas solution. Question 2 : montrer que si l'équation avait une solution non nulle y, alors y vérifierait y^2+y+1=0 et y+1+1/y=0. Question 3 : montrer que si l'équation avait une solution non nulle y, alors y vérifierait y^3=1. Question 4 (trop dur ?) : montrer par l'absurde que l'équation n'a pas de solution non nulle. Question 5 : conclure.

Au fait, en quoi trouves-tu l'exemple que tu donnes "non pertinent"?
(il y a plusieurs façons d'interprêter cette phrase).
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
Oui bon, pour revenir sur mon truc pas terrible, y'a sans doute plus malin comme questions intermédiaires. Par exemple, montrer que si y était solution, on aurait (y^2+y+1)(y-1)=0, donc y^3=1 donc (trop difficile ?) y=1 donc 3=1.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
Je préfère revenir sur les classiques (valeurs sûres) : montrer que l'ensemble des nombres premiers est infini.
matmat
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
<latex> Je ne trouve pas mon premier exemple pertinent car l'un de mes élèves m'a répondu :

"
On sait qu'une fraction est égale à 1 si et seulement si son numérateur est égal à son dénominateur.
Donc si le numérateur est différent du dénominateur, alors la fraction est différente de 1 ce qui est le cas ici.
"

Je cherche des exemples où la contraposée d'une proposition connue ne vient pas tout gaché !

1) Le principe de récurrence est long à comprendre et je n'ai pas le temps une fois démontré de l'utiliser suffisement souvent mais c'était un exemple pertinent !
2) L'irrationnalité de $\sqrt{2}$ est pertinente à mon gout !
3) Tes propriétés ne sont pas pertinentes pour ce que je veux car leur contraposée est simple à mettre en oeuvre
4) Je trouve pertinent de montrer que 0 n'est pas solution de l'équation $x^2+x+1=0$
$y^3=1$ donc $y=1$ n'est pas accessible en début de première S ( pour moi )
MrocdeMorgat
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Bonsoir.

Un problème classique: montrer que l'on ne peut pas paver une pièce rectangulaire de côtés 1 m et sqrt(2) m avec des pavés carrés.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
Ok, pour le caractère pertinent, c'est ce que je pensais (et craignais au vu de mes exemples sur la parité). Pour x^3=1 => x=1, c'est ce que je pensais aussi.

Bon, tant que tu n'as pas dit : "je suis très content avec tout ça, c'est bon", moi, je continue.

Encore de l'arithmétique (désolé, c'est tout ce qui me vient).
Soit n un nombre entier.
Montrer que 4*n+3 ne peut pas s'écrire sous la forme x^2+y^2 avec x et y des entiers.
matmat
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Merci, merci !!
En fait, je suis bien content avec tout ce que j'ai...
D'ailleurs je vais poser une autre question pour me changer les idées !
MrocdeMorgat
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Montrer qu'un réel dont la valeur absolue est inférieure ou égale à tout réel strictement positif est nul.
Nunuche
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Oui, mais il ne s'agit pas de vrais raisonnements par l'absurde. A mon avis, on devrait changer de terminologie. Qu'en pensez-vous ?
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Ce matin avec mes premières S, une preuve par l'absurde pour démontrer que la fonction racine carrée est strictement positive sur $\R$+

... ou comment plonger une classe dans la perplexité.

Menagex.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Une proposition du barbu rasé de 17h 13 me laisse perplexe:

"montrer que l'équation x^2+x+1=0 n'a pas de solution (réelle).

Evidemment, là, il faut guider les élèves. Par exemple, question 1 : montrer par l'absurde que 0 n'est pas solution"

Ca se démontre "par l'absurde"?
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
Richard a tout à fait raison, je me suis laissé emporté par mon désir de voir des absurde partout. C'est encore pire que l'exemple initial sur (x+1)/(x+2). De quoi définitivement embrouiller les élèves.

N'empêche. Même si aucun être humain n'a conscience d'utiliser un raisonnement par l'absurde pour montrer qu'un nombre donné n'est pas solution d'une équation donnée, c'est pourtant ce qu'on fait, en fin de compte, non?
peyo
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
et que pensez vous de présenter l'équation du Barbu rasé comme suit ?

Cherchons une solution réelle de l’équation : x2+x+1=0 notée (E)

Résolution :
x vérifie d’après l’équation (E) : x2 + x = -1 soit encore x.(x+1) = -1 (E1)
On a également , toujours d’après l’équation (E), x+1 = – x2 (E2)
d'ou en substituant x+1 par – x2 dans (E1) on obtient :
x.(x+1) = x.( – x2) = – x3 = - 1
Ainsi x3 =1 et donc x =1

Commentaires :
Remplaçons maintenant x par sa valeur dans l’équation (E) ; il vient : 12+1+1=0
Soit encore 3 = 0
Surprenant non ???
Alors quel est le problème ? expliquez clairement ce que vous pensez de cette démarche !
matmat
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Pour info, j'ai choisi finalement cet exercice :

Sur une île, il y a deux types d'habitants.
Les menteurs qui mentent toujours et les honnêtes qui disent toujours la vérité.
Un homme dit : "Je suis un menteur"

Est-ce un habitant de l'île ?
ano
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
demontrer que racine carré de a + b est strictement inférieur a racine carré de a + racine carré de b ( je cherche la reponse aussi :p)


demontrer par l'absurde que V3 est irrationnel
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
J'allais m'autocensurer (suite à une suggestion légitime d'Aleg) quand je suis tombé sur ce post...

Ca dépasse un peu "l'entendement" là, le nombres de "sottises" que j'ai lues, donc, je le dis {\bf gentiment}, la plupart des exemples ci-dessus se démontrent sans passer par le raisonnement par l'absurde (ou en tout cas, il n'est pas net qu'il soit obligatoire)

Je vous mettrai un lien propre, ma page a été bousillée par le système de passage unicode utf8 à je sais pu quoi

Le raisonnement par l'absurde est en fait un axiome: celui qui dit que si (A implique tout) implique A alors A

Démontrer que A implique tout (c'est à dire le faux, comme dans beaucoup d'exemples ci-dessus) ce n'est pas utiliser l'axiome du raisonnement par l'absurde. C'est faire un raisonnement {\bf intuitionniste} banal et accepté par les axiomes intuitionnites (la logique classique s'obtient en ajoutant l'axiome du raisonnement par l'absurde à la logique intuitionniste)

L'axiome du raisonnement par l'absurde est équivalent au tiers exclus (exercice!)

L'archétype, à mon avis, de raisonnement par l'absurde consiste en la manière rapide de démontrer que si le carré de x est nul alors x lui-même est nul (dans un corps). En effet (d'ailleurs bravo si quelqu'un parvient à le prouver intuitionnistement... thème de recherche, je ne sais pas si c'est possible, je pense que non), vous prouverez facilement que la nonnullité de x et la nullité du carré de x entrainent la nullité de x. Cependant, il vous sera difficile de vous passer de l'hypothèse "supposons, par l'absurde, que $x\neq 0$"...
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
C'est pas plutôt "Si A implique non A, alors non A" ? Qui est bien équivalent au tiers exclu :
A ou (non A) (tiers exclu)
(A ou A) ou (non A) (axiome dont j'ai oublié le nom)
(non (A => (non A))) ou (non A) (définition de l'implication)
(A => (non A)) => (non A) (derechef)
gb
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
Guimauve &Eacute;crivait:
-------------------------------------------------------
> (A ou A) ou (non A) (axiome dont j'ai oublié le
> nom)

Ne serait-ce pas plutôt : (A {\bf et} A) ou (non A),
qui devient : non(non A ou non A) ou (non A) ?
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Exposer le principe des boites/du pigeonnier/de Dirichlet et lorsqu'un élève dit que c'est évident, en demander la démonstration ... laisser cogiter 10 minutes (ou plus si affinités) ... avant de régler la chose en trois lignes.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
De guimauve: {\it C'est pas plutôt "Si A implique non A, alors non A" ? Qui est bien équivalent au tiers exclu?}

{\bf non, justement:} ça, c'est un théorème de logique intuitionniste banal.

Rappel: nonA$=_{par\ definition**}A$ implique tout.

Ton énoncé dit: si A implique que A implique tout, alors A implique tout. En fait, ton énoncé est un cas particulier de "si A implique que A implique B alors A implique B" qui est juste le droit de "cloner" les hypothèses ce qui est un axiome hautement accepté par la logique intuitionniste (il y a une logique créée par un logicien "JY Girard" qui renonce à cet axiome et elle s'appelle logique affine, mais bref)

Le tiers exclus ou sa variante le "droit de raisonner par l'absurde", dit que non(non(A)) implique A. Variante: si nonA implique A alors A. Par contre, ta version, c'est à dire A implique non(nonA) est un cas particulier de "A implique [(A implique B) implique B]", avec B="tout" (c'est à dire le faux)

Si tu veux éviter le recours au "non" qui est artificiel, l'axiome qui t'autorise à raisonner par l'absurde s'apelle "axiome de Pearce" et affirme:

Si $(A\to B)\to A$ alors A. En mettant "tout" à la place de B tu retrouves tes classiques...

** si tu {\it n'aimes pas} cette définition, démontre-la, c'est assez faisable "intuitivement et c'est bien sûr faisable.. intuitionnistement.

Déduis A implique tout de nonA et réciproquement, montre (sans passer par l'absurde) que si A implique tout, alors nonA. Ca ne te sera pas forcément désagréable, et ça met les idées au clair
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
histoire d'être constructif, je t'ai mis une correction:

Théorème:
Le contraire d'une phrase P a le même sens que la phrase "si P alors tout arrive"

preuve:
On va prouver 2 choses,

(1) que [nonP implique "si P alors tout arrive"]

(2) que ["si P alors tout arrive" implique nonP"]

(1): il est impossible que (P et nonP). Donc si nonP alors si P alors tout arrive.

(2): supposons que si P alors tout arrive. Si P alors tout arrive et donc nonP . Si nonP alors nonP. Donc (si (P ou nonP) alors nonP). Donc nonP.

Axiomes utilisés
Les lettres majuscules représentent des phrases quelconques.

si tout arrive alors nonP
si (A implique B) et (B implique C) alors (A implique C)
si A alors A
si (A implique T) et (B implique T) alors ((A ou B) implique T)
si (A ou nonA) implique T alors T
si "un truc impossible" alors tout arrive
"si A alors si B alors T"="si (B et A) alors T"
S'il est prouvé que A implique B et qu'il est aussi prouvé que B implique A alors sens de A=sens de B
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Ok je pense avoir compris. Pour montrer que non non A implique A on utilise le fait que A implique non non A. Le tiers exclu (A ou non A) donne alors (A ou non non non A) qui s'écrit (non non A implique A). Oui ?
Et pour la réciproque on fait pareil : (non non A implique A) donne (non A implique non non non A) en prenant la contraposée, ce qui s'écrit (non non A ou non non non A) puis finalement (A ou non A).
Fin de partie
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
A propos de l'équation x²+x+1=0

Puisque (x+1/2)²=x²+x+1/4 l'équation x²+x+1=0 est donc équivalente à (x+1/2)²+3/4=0
ou bien equivalente à: (x+1/2)²=-3/4. Elle n'a donc aucune solution réelle.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
{\it Ok je pense avoir compris. Pour montrer que non non A implique A on utilise le fait que A implique non non A}

Non: et de toute façon, pas besoin "d'avoir compris", tout est explicite. Par ailleurs, comme je t'ai dit le fait que A entraine non (non A ) {\bf n'est pas} "difficile", puisque c'est {\bf l'abréviation} de A implique ((A implique tout)implique tout) (vu que nonX="X implique tout"


{\it Le tiers exclu (A ou non A) donne alors (A ou non non non A) qui s'écrit (non non A implique A). Oui ?
Et pour la réciproque on fait pareil : (non non A implique A) donne (non A implique non non non A) en prenant la contraposée, ce qui s'écrit (non non A ou non non non A) puis finalement (A ou non A)}

Bref...

Eventuellement, je te donne une {\bf autre} preuve (n'utilisant pas le tiers exclus) que nonA équivaut à A implique tout

1) Si nonA alors A implique tout (en admettant que "(A et nonA) implique tout", comme axiome)

2) La proposition (A implique tout) est "incompatible***" avec A. Si on admet comme axiome que nonA doit être une proposition moins forte que toutes celles qui sont incompatibles avec A alors, en particulier, nonA est impliquée par "A implique tout"

*** car la conjonction de A implique tout et de A implique tout.

--------------

Pour info: dans une version "épurée" et efficace de la logique qui ne réchauffe pas la planête, il n'y a que 2 connecteurs: le connecteurs $\forall$ et le connecteur $\to$ d'implication..

0) "si A alors B" est une abréviation commode de $A\to B$

1) "A et B" n'est qu'une abréviation de "$\forall X: [A\to (B\to X)]\to X$"

2) "A ou B" n'est qu'une abréviation de"$\forall X:$ si $(A\to X)$ et $(B\to X)"$ alors X

2) nonA est une abréviation de "$\forall X:A\to X$"

3) "le faux" est la proposition $\forall Y:Y$

Exercice: prouver l'équivalence entre "$\forall A:$ A ou nonA" et "$\forall A:non(nonA)\to A$"
Gértrude
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Bonjour !!!

J'ai lu que les logiciens ne s'entendent pas vraiment sur ce que l'on appelle le "raisonnement par l'absurde" (i.e. reductio ad absurdum). Certains attribuent ce type de raisonnement à la règle logique$$\neg\neg A \Rightarrow A$$
Merci !!

[Correction du LaTeX. Si mauvaise interprétation, la signaler. AD]
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Désolé j'avais pas vu, je réponds tard:

oui, c'est ça l'axiome du raisonnement pas l'absurde. En termes "déployés" il dit:

{\it si (A implique tout) implique tout alors A} pour toute formule A. On considère comme un axiome logique que "tout implique P" pour tout P et on renomme "tout" le faux. C'est idéologique comme notation, mais à peu près consensuel et contenant la substance de ce qu'enseignent les découvertes logiques techniques
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
[Sottise éditée et rajoutée à la liste : c. post de GG qui suit.]

Merci GG pour ton dépistage rapide. Quelle nouille je fais.
GG
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
et comme un corps est intègre par définition

je ne crois pas, un corps est un anneau dont tout élément non nul est inversible (et qui n'est pas réduit à l'anneau nul). Il est donc intègre comme conséquence. Et Christian Challon a raison : si x2=0, soit x=0, soit x<>0, auquel cas x-1x2=0=x. Donc x=0.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
avatar
Merci GG. Je me demande bien ce qui m'est passé par la tête... Je m'en vais éditer mon post de ce pas histoire de rajouter ma propre sottise à la liste. :]

SadYear

17'5 n1c3 70 83 1mp0r74n7, 8u7 17'5 m0r3 1mp0r74n7 70 83 n1c3.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
De toutes façons, les choses sont très simples, et ça me parait utile de la rappeler ou de les publiciter plusieurs fois...

je l'ai déjà dit dans un msg plus haut dans ce fil, mais au milieu de d'autres trucs.

Donc je le re-isole ici:

Un seul connecteur binaire logique $\to$ qui signifie "implique"

Un quantificateur $\forall$

Seuls axiomes: ($\forall x$ $x$ est bleu)$\to y$ est bleu

2 droits (concernant les raisonnements avec des hypothèses en arrière-plan):

1)si vous pouvez prouver un truc en supposant A et si vous pouvez prouver A, vous avez le droit de dire que vous avez prouvé votre truc (sans utiliser autre chose que vos hypothèses en arrière plan, mais pas A

2)si vous pouvez prouver un truc P, alors vous pouvez sans tout réécrire dire que vous avez prouvé $H\to P$ sans utiliser l'hypothèse H (même si elle était dans les hyp en arrière plan qui ont été utilisé pour prouver P)

Avec ça, vous avez toute la logique, et toutes les maths.. intuitionnistes.

En rajoutant l'axiome $((A\to All)\to All)\to A$, vous avez la logique classique pour laquelle le théorème de complétude dit "soit ya une preuve soit il existe un contre modèle"

"nonA" est une abréviation de $A\to All$

"faux" est une abraviation de $All$ (affirmation que "tout est vrai)"

Seul axiome concernant "tout", c'est $All\to P$ où P est n'importe quelle phrase

Exercice: fabriquer "A et B"
Re: raisonnement par l'absurde
il y a treize années
Correction:

"A et B":="pour tout X, si $A\to (B\to X)$ alors X"
Re: raisonnement par l'absurde
il y a douze années
avatar
Pour matmat : y^3=1 implique y=1 est parfaitement accessible en début de première S.
comme 0^3=0=/=1, soit y>0 soit y<0. Si y<0, alors y^3<0, donc y>0.
Si 0<y<1, alors y²<y et y^3<y² donc y^3<y<1.
Si 1<y, alors y²>y>1 et y^3>y²>1.
Donc y=1.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Sylvain.
Yassine
Re: raisonnement par l'absurde
il y a douze années
Pardon...
Un exemple intéressant de raisonnement par l'absurde à ce niveau:la divergence de f(x)=sin x.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a douze années
Un exemple intéressant de raisonnement par l'absurde à ce niveau:la divergence de f(x)=sin x.

En quelle limite? J'ai l'impression que ça se démontre sans util du rst par l'absurde
Re: raisonnement par labsurde
il y a douze années
avatar
Supposons qu’elle soit convergente, alors elle a une seule limite. Or 0 et 1 sont deux valeurs d’adhérence, donc elle n’est pas convergente.
Sinon, la preuve de l’irrationnalité de racine de 2 se fait aussi par l’absurde.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: raisonnement par labsurde
il y a douze années
oula, rappels:

une assertion prouvable a toujours plein de preuves, donc, entre autres, une par l'absurde, si on a envie.

Mais certaines ne peuvent être démontrée QUE par l'absurde, c'est plutôt ça la question, je pense

Le raisonnement par l'absurde est une expression impropre pour désigner en fait un axiome: [(A ->tout)-> tout] implique A

Déduire tout (c'est à dire "le faux") de A c'est prouver A ->tout banalement.

A priori, le raisonnement de NP est:

1 est valeur d'adhérence
0 aussi

la limite est donc égale à 0
cette même limite vaut aussi 1

donc 0=1
donc tout (car 0=1 implique tout)

Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde: il établit limite de sin existe implique tout (assertion dont "lim de sin n'existe pas" est une simple et conventionnelle abréviation).

Pour racine carrée de 2, par contre, c'est bien possible qu'il faille utiliser au moins une fois une instance de
[(A ->tout)-> tout] implique A
Re: raisonnement par labsurde
il y a douze années
avatar
christophe chalons écrivait:

> une assertion prouvable a toujours plein de preuves, donc, entre autres, une par l'absurde, si on a envie.

Sans blague.

> Mais certaines ne peuvent être démontrée QUE par l'absurde, c'est plutôt ça la question, je pense

Tu as des exemples ?

> Le raisonnement par l'absurde est une expression impropre pour désigner en fait un axiome: [(A ->tout)-> tout] implique A

Il me semble que c’est plus simplement, si non A implique un truc faux, alors A est vraie.

> Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde: il établit limite de sin existe implique tout (assertion dont "lim de sin n'existe pas" est une simple et conventionnelle abréviation).

Wabon. Mon raisonnement dit bien que si sin a une limite en +&#8734;, alors cette limite a deux valeurs, ce qui est impossible.

Je trouve ta formulation du raisonnement par l’absurde bien tordue.
N’essairaies-tu pas de la distinguer de la contraposée, par hasard ?

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
GG
Re: raisonnement par l'absurde
il y a douze années
bonjour,
le raisonnement par l'absurde c'est la règle d'élimination de ¬ en déduction naturelle : on suppose ¬p, on montre q et ¬q, on en déduit p.
La règle d'introduction de ¬ c'est : on suppose p, on montre q et ¬q, on en déduit ¬p.

"sin x diverge" (tout comme l'irrationalité de rac(2)) se démontre par la règle d'introduction de ¬, pas pas le raisonnement par l'absurde.

La règle d'introduction de ¬ permet de démontrer p => ¬¬p (Supposons p. Supposons ¬p, contradiction, donc ¬¬p) et le raisonnement par l'absurde permet de démontrer ¬¬p => p (Supposons ¬¬p. Supposons ¬p, contradiction, donc p).

Le raisonnement par l'absurde est plus fort que la règle d'introduction de ¬ :
Admettons-le et supposons que de p on montre q et ¬q: supposons ¬¬p. Alors, par une première application du raisonnement par l'absurde on a p (si on avait ¬p, on aurait une contradiction). On a donc q et ¬q. Ainsi, par une seconde application de ce raisonnement, on a ¬p, ce qui démontre la règle d'introduction de ¬.

Il n'est d'ailleurs pas admis par les intuitionnistes.

P.S. Quand on ne s'intéresse à la logique que de loin, on peut mettre les deux règles (introduction et élimination de la négation) dans le même sac. C'est pourquoi l'on dit par tradition que la démonstration de l'irrationalité de rac(2) est le premier exemple de démonstration par l'absurde.

P.S.2 Pour les intuitionnistes, il y a deux notions relatives à l'ensemble vide : un ensemble non vide, et un ensemble habité: un ensemble habité H est tel qu'il existe h € H, un (l') ensemble vide V est un ensemble non habité, i.e. tel que ¬ il existe h € V. Ainsi, un ensemble habité n'est pas vide, mais un ensemble non vide n'est pas forcément habité :)



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GG.
GG
Re: raisonnement par l'absurde
il y a douze années
j'ai dit une bêtise concernant l'irrationalité de rac(2). Sa démonstration nécessite le raisonnement par l'absurde.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a douze années
Citation

> Mais certaines ne peuvent être démontrée QUE par l'absurde, c'est plutôt ça la question, je pense

Tu as des exemples ?

Juré, c'est pas pour t'embêter: si (A->B)->A alors A

Ou encore, si A->B et si (nonA)->B alors B

----------

Citation

Il me semble que c’est plus simplement, si non A implique un truc faux, alors A est vraie.





oui, ce qui est la même chose que ce que j'ai écrit, via les traductions conventionnelles: (1) nonA:=A->faux; et (2) faux:=tout (sous-entendu: tout est vrai)

Citation

Mon raisonnement dit bien que si sin a une limite en +&#8734;, alors cette limite a deux valeurs, ce qui est impossible.


Tout à fait: il dit bien que si sin a une limite alors tout arrive (car l'impossible arrive). Tu prouves bien A->tout (ie A->faux ou encore, nonA). Tu le prouves très bien (enfin..., ya des axiomes tacites (limite unique admise) mais bon...congratulations), et pas du tout par l'absurde.


Citation

Je trouve ta formulation du raisonnement par l’absurde bien tordue.
N’essairaies-tu pas de la distinguer de la contraposée, par hasard ?

oui et non: tu poses une bonne question, merci.

Il y a en fait 2 contraposées:

1) si A->B alors nonB->nonA. Celle-ci est un théorème autant intuitionniste, que même linéaire, et même intuitionnisto-linéaire (au sens de la "logique linéaire"). C'est simplement dû au raisonnement suivant:

"A---->*B---->tout", chemin qui mène de A au paradis, via l'hypothèse* A->B. Ce chemin exhibe que si B->tout, alors A->tout.


2) si nonA -> nonB alors B -> A. Celle-ci est équivalente à l'axiome du raisonnement par l'absurde.

Toute la nuance vient du fait qu'en maths, il existe des propositions atomiques à partir desquelles on construit les autres. Le fait que non(nonA) équivaut à A est obtenu, je sais c'est choquant, grace à l'axiome du raisonnement par l'absurde.

Pour prouver juste que A->non(nonA), ya pas besoin. Mais pour avoir: non(nonA) implique A, ya besoin.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe chalons.
leon1789
Re: raisonnement par l'absurde
il y a onze années
-----------
GG a dit :
j'ai dit une bêtise concernant l'irrationalité de rac(2). Sa démonstration nécessite le raisonnement par l'absurde.
-----------

Non, l'irrationalité de rac(2) demande "au pire" la contraposition simple (i.e. acceptée par les intuitionistes si j'ai bien compris) de la proposition suivante :

Proposition :
Si une racine n-ième d'un nombre entier est rationnelle alors cette racine n-ième est un nombre entier.

Contraposée simple :
Si une racine n-ième n'est pas un nombre entier (racine carrée de 2 par exemple) alors cette racine n-ième est irrationnelle.

Preuve :
Soit une fraction irréductible a/b € Q vérifiant (a/b)^n = c € Z avec n > 0, alors a^n = cb^n dans Z. Comme n>0, on a b divise b^n qui divise a^n. Donc b divise pgcd(b,a^n). Or pgcd(a,b)=1 donc pgcd(a^n,b)=1, donc b divise 1, donc b = +/- 1, donc a/b € Z.




Dans tout ça, je ne vois rien en liaison avec une preuve par l'absurde.
Bien sûr, on peut emballer la démo dans une rédaction lourde <<supposons que... absurde...>> , mais ce n'est pas nécessaire.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a onze années
De toute façon, le raisonnement par l'absurde concerne comme son dit l'indique les preuves

On peut toujours supposer ce qu'on veut pour l'éviter... (par exemple, choisir quelle est la formule atomique entre A et nonA, car dans les maths ce n'est pas toujours très clair (poule ou oeuf))

Dans ton raisonnement, tu supposes que tout rationnel peut s'écrire sous forme d'une fraction irréductible et même tu utilises le pgcd..

Il faudrait y regarder en détails, mais je pense que ces choses admises consomment pas mal de raisonnement par l'absurde (ie l'axiome non(non(A)) implique A)

Bézout consomme du RPA assez spectaculairement il me semble pour aboutir à la conclusion il existe u,v avec ua+vb=pgcd(a,b).

Certes, on peut toujours tricher..
Ga?
Re: raisonnement par l'absurde
il y a onze années
Bonjour,

Citation
cc
Bézout consomme du RPA assez spectaculairement il me semble pour aboutir à la conclusion il existe u,v avec ua+vb=pgcd(a,b).

L'algorithme d'Euclide étendu m'a l'air assez effectif et sans raisonnement par l'absurde, tout de même.
Re: raisonnement par l'absurde
il y a onze années
Ah bah ça c'est intéressant, justement, en fait le raisonnement par l'absurde (rappel: logique classique = logique intuitionniste + RPA) n'est pas seulement ce qui permet de "l'ineffectif"

Il y a plein de choses qui nous sont familières prouvées avec le RPA: une toute bête est si a×a=0 alors a=0

De plus un algorithme n'est pas une preuve: c'est la preuve que l'algorithme marche qui compte pour savoir si y a du RPÄ ou non


Pour prouver Bézout, on prend le plus petit d>0 qui est somme d'un multiple de a et d'un mutliple de b. (Admettons que l'axiome de récurrence autorise ce genre de formulation). divisons a par d pour avoir a=qd+r. Supposons que r est non nul (ce qui s'écrit non(r=0)). Alors r=a-qd et 0<r<d. Par hypothèse (là ya pas de RPA), il existe u,v avec ua+yb=d (définition de d). Donc r=a-qua-qyb=(1-qu)a+(-qy)b est un nombre plus petit que d à être somme de multiples de a,b. Comme par hypothèse, d est le plus petit, on obtient "tout" (dire que d est le plus petit c'est dire que tout plus petit que d à être blabla implique tout). On vient de prouver non(r=0) implique tout, ie non non (r=0).

(je ne vois pas trop comment améliorer ça sans tricher sans RAP)

Puisque r=0, a=qd. On refait de même avec b (deuxième RPA) pour obtenir que d est bien un CD de a,b.

En plus de ça l'existence de la division euclidienne est elle-même un peu tendancieuse (nivo RPA) je pense (simplifiant avec des nb>0):

On prend le plus grand q tel que qa<=b (admettons qu'il existe sans RPA, ce qui oblige à rajouter un axiome en plus de la récurrence). En posant r:=b-qa on obtient b=qa+r. MAIS pour prouver r<a, il me semble qu'on montre que l'hypothèse non(r<a) implique tout (parce qu'elle implique (q+1)a<=b) et donc encore une fois non(non(r<a))
Re: raisonnement par l'absurde
il y a onze années
En résumé, preuve de "il existe x tel que.." pas par l'absurde -----> x effectif trouvé (à vérifier mais crédible), mais la réciproque n'est pas vraie:

ie existence effective prouvée n'implique pas forcément non utilisation du RPA
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