Différence entre application et fonction

Salut

Sujet qui revient fréquemment : une petite recherche devrait être payante.
(essaie avec "fonction vs application").

Rapidement, si j'ai bien compris, tu peux dire que :
$f:\R \to \R$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est une fonction (dont tu as la charge de trouver le domaine de définition) mais pas une application.

Par contre
$f:\R^* \to \R$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est une application car bien définie sur tout l'espace de départ.

a+

Pour moi, c’est pareil.

Au lycée, dans les exercices de domaines de définition, ce ne sont ni des applications ni des fonctions mais des "formules" qu'on donne aux élèves. Par exemple, on demande quel est le domaine de définition de $x/x$. Et je ne sais toujours pas si c'est $\bf R$ ou $\mathbf R^*$ :S. Ces exercices ne sont pas des exercices de math, on peut les supprimer du programme (td)

Correction du LaTeX

Je suis tout à fait d'accord avec Gérard.

Si l'on part d'une fonction $f$, de $\R$ dans $\R$ par exemple, donnée par l'expression de $f(x)$, la recherche de l'ensemble de définition $D$ n'est qu'un prétexte à la résolution d'équations et d'inéquations. Il est totalement antinaturel de parachuter l'expression $f(x)$. L'usage veut courant veut qu'on arrive à cette expression "avec les conditions pour avoir pu l'écrire".

J'ai toujours été horrifié par les élèves qui, ayant à résoudre une équation du type $\sqrt{f(x)} = g(x)$, commençaient par déterminer un prétendu ensemble de définition de l'équation, avec la condition $f(x) \geq 0$, ce qui, dans leur esprit, justifie tous les calculs ultérieurs, en particulier le passage à l'équation $f(x) = g^2(x)$, sans se rendre compte que, pour une solution de cette dernière équation, on a nécessairement $f(x) \geq 0$.

En fait, si j'ai pu parvenir à l'équation $\sqrt{f(x)} = g(x)$, c'est que, quelque part, je connais le signe de $f(x)$ ; la seule résolution possible est l'équivalence : $$
\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} f(x) = g^2(x) \\ g(x) \geq 0 \end{array}\right.
$$ et les solutions dites "étrangères" de l'équation $f(x) = g^2(x)$ ne sont pas celles pour lesquelles $f(x) < 0$ (encore une fois il ne peut pas en exister de telles), mais celles pour lesquelles $g(x) < 0$, ce qui ne peut ressortir du prétendu domaine de définition.

Par contre il est pratique de distinguer la fonction $f$ de $U$ dans $E$ (non partout définie) et l'application $f$ de $D_f$ dans $E$, où $D_f$ est l'ensemble de définition de $f$. En théorie, la fonction et l'application ne sont pas le même objet, et on devrait les noter différemment. Je m'explique par un exemple concret : $U$ est un ouvert connexe de $\C$ et l'on considère des fonctions $f$ et $g$ de $U$ dans $\C$, méromorphes sur $U$ ; on peut les additionner, les multiplier, les diviser... Il est donc pratique de considérer $f$, $g$, $f+g$, $fg$, $\dfrac{f}{g}$ comme éléments du même ensemble alors que les applications correspondantes ont chacune leur ensemble de définition contenue dans $U$, et ne sont donc pas éléments d'un même ensemble du type $\C^D$.

[Ne pas oublier de cocher la case LaTeX. AD]

Eric a écrit: {\it "puisqu'ils trouvent, en raisonnant par implications, des solutions qui n'en sont pas. "}


Là je ne peux pas te cautionner!!! C'est normal, en raisonnant par implication qu'on trouve des "valeurs" qui ne sont pas des solutions de l'équation de départ... Ca devrait même être la situation rencontrée la plus souvent et c'est un gros défaut des programmes, même des petites classes, de toujours exhiber des exemples qui "marchent" à propos de phénomènes qui n'ont pourtant rien de général. Ils finissent par faire l'erreur, non pas logique, mais psychologique de croire {\bf qu'en maths} A implique B équivaut à B implique A et que les matheux sont des gens bizarres (car eux les élèves ne trouvent pas évidents cette assertion, et pour cause...)


Eric a écrit: {\it "Les mots ont un sens, arrêtons de penser que les élèves sont stupides et ne peuvent pas faire la différence entre une fonction et une application."}

Bah justement! Même quand les implications sont (anecdotiquement) des équivalences, on devrait se retenir de les écrire comme telles, sans l'assumer en boldface!!

bonjour

la nuance entre application et fonction existe; il faut la respecter:

une application est une relation générale entre deux ensembles,
une fonction est une relation précise (explicitée) entre deux ensembles

je donne comme exemple à mes élèves les suites numériques:

u(n)=u²(n-1) + u(n-1) avec u(0) réel fixé et n entier naturel ; cette relation récurrente établit une application entre l'ensemble N et l'ensemble R
il n'est pas possible d'expliciter la relation u(n) fonction de n

u(n+1)= u(n) + 2 avec u(1) réel avec n=1,2,3.....
est une suite récurrente facilement explicitable: u(n)=u(1) + 2(n-1)

la relation entre N* et R est donc ici une fonction entre les deux ensembles

une fonction est bien une application mais précisée

cordialement

incognito Écrivait:

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> L'ensemble des fonctions de R dans R n'est pas un
> espace vectoriel, alors que l'ensemble des
> applications oui.
>
> Combien de candidats à certains concours se sont
> fait avoir sur cette question?

J'aimerais bien savoir ce qui empêche l'ensemble des fonctions de $\R$ dans lui-même d'être un espace vectoriel !!!

Comment définissez-vous la somme de deux fonctions?

Ensuite posez-vous la question de savoir si la somme d'une fonction f avec -f donne bien la fonction nulle.

Je pense que les réponses doivent plutôt amener le lecteur à se poser les bonnes questions! Au moins au début de l'échange.

La distinction historique entre "fonction" et "application" est d'un tout autre ordre :
- le mot "fonction" est associé à l'expression "varier en fonction de" ; il avait initialement été introduit pour modéliser la dépendance de deux grandeurs physiques et ne concernait donc de ce fait que les fonctions numériques (en termes modernes : à variable réelle et à valeur réelle)
- le mot "application" provient au contraire d'une connotation plus géométrique, ce qui se voit sans doute plus clairement dans ses équivalents anglais "map" (littéralement : "carte") et surtout allemand "Abbildung" (littéralement : "image", au sens purement visuel du terme). En français, on a même adopté le mot "carte" en géométrie différentielle, par référence à sa signification géographique : une carte est une "image" plane d'une portion de la surface de la Terre.

Il faudra attendre l'essor du langage ensembliste pour se rendre compte que ces deux notions, jusque là sans lien car apparaissant dans des contextes totalement différents, peuvent en fait se formaliser de la même manière : ensemble de départ A, d'arrivée B, etc.

Malgré cela, les habitudes de vocabulaire sont largement restées les mêmes : la plupart des mathématiciens continuent à utiliser plutôt le mot "fonction" quand les valeurs sont numériques, et plutôt le mot "application" dans d'autres contextes, notamment géométriques.

La distinction qu'on a vu apparaître dans les manuels (fonction="il existe au plus un" ; application="il existe un et un seul") n'a donc rien à voir avec l'origine (même mathématique) de ces deux termes, et est somme toute assez arbitraire et artificielle.

Vous êtes bien rosses avec Jean Lismonde. Chacun a ses faiblesses, et Jean nous fait souvent part de réponses promptes et fort valables sur ce forum. Dire qu'il délire me parait à la fois injustifié et agressif à son égard.

dsl, j'ai fait le paranoiaque, je viens de voir de quel post tu parles... lol

On parle de 2 choses différentes... Je respecte profondément ton naturalisme, et j'y adhère même quand il s'agit d'approfondir certains mécanismes subtils, mais moi je te signalais juste que payer le prix de l'arbitraire vaut le coup pour éviter d'embourber des étudiants au moment de l'enseignement d'une définition.

A un moment, tu me réponds {\it c'est cela qui est arbitraire}: mais je te dis oui, et je te signale que je ne t'ai jamais dit non... J'assume pleinenment (et je ne pense pas être le seul) le qualificatif {\it arbitraire} pour les définitions formelle des mots application et fonction que j'ai postées il y a quelques msg

Cela dit, parlementer à perte de vue sur le sens profond et authentique de tel ou tel mot et sur son utilisation quotidienne n'est pas sans intérêt et je respecte ta démarche.

A condition de ne pas redéfinir ces mots d'une manière compliquée et floue auprès d'un publique de TS, par exemple...

Ce qui risque, au contraire, "d'embourber" les élèves, c'est le conflit entre la terminologie qu'ils apprennent en TS et celle généralement adoptée à partir de l'année suivante.

Non, ce n'est pas tout à fait vrai, en tout cas au niveau L1 ou en prepas nous sommes tenus de ne pas faire de distinction en fonctions et applications.

D'autre part, il est tout à fait naturel que des définitions quelques peu "simplistes" à un niveau n d'étude soient approfondies, précisées, nuancées au niveau n+1 ou n+2 ou davantage.

Sylvain : si tu gardes en tête le fait que Jean L. enseigne, si tu regardes ce qu'il dit sur les limites (cf mon lien) et si tu considères que ce n'est pas du moquage de bouche donne moi tes arguments... Sa distinction toute personnelle entre fonction et application ne me choque pas, vu que le vocabulaire n'est pas vraiment fixé. Mais dire que la fonction (l'application !?) cosinus converge en l'infini... D'autant plus qu'il ne l'a pas dit dans un moment d'égarement, il affirmait cela en s'opposant aux messages précédants et en précisant "comme je l'ai déjà signalé récément, cette fonction converge").

Un prof qui ne connait pas son cours, personnellement, je trouve que ça craint. C'est sympa d'être gentil avec les intervenants mais je ne voudrais pas que mes enfants l'aient en cours...

Pour Christophe Chalons :
Je passe sur le fait que tu sois favorable aux définitions fausses (4 points alignés sont toujours les sommets d'un parallélogramme chalonnien), et aux définitions redondantes (rectangle). Il me semble plus gènant de vouloir imposer des visions. Si deux propriétés sont équivalentes, les deux peuvent servir de définition d'une même notion. Et si un programme officiel en impose une, je ne m'interdirai pas d'en choisir une autre. La liberté pédagogique est une condition essentielle de la qualité.
En ce qui concerne la distinction entre fonction et application : tant qu'on confond les mathématiques et leur enseignement, on est dans le vague. Il est clair qu'il n'y a aucune différence entre les deux notions. Prendre un livre d'algèbre générale ou un dictionnaire de maths, ou même le Petit Robert. Si on veut distinguer le sens de ces deux mots dans l'enseignement, il faut se demander : à quoi ça va servir ?

Je suis asssez d'accord avec christophe châlons:

Ramis Deschamps Odoux, Cours de mathématiques Spéciales tome 1, page 12:

Définition III: graphe fonctionel (avec la remarque des auteurs: c'est que l'on appelait fonction dans le secondaire)

suivie de la définition d'application (telle qu'elle a déjà été donnée dans ce fil).

Arnaudies & Fraysse, Cours de mathématiques tome 1, page 15

définition I.3.4: graphe fonctionnel
définition I.3.5: application (telle qu'elle déjà été donnée)
MAIS: les auteurs conviennent d'appeler également fonction toute application (malgré les deux définitions), ce n'est pas très cohérent, mais c'est sans doute les impératifs du programme en vigueur!

Je pourrais aussi vous ressortir mon cours de seconde quand j'étais lycéen si je le retrouve (et oui on faisait la logique élémentaire en seconde!)

Donc, avant de rentrer dans les autres en les accusant de vouloir imposer leur définition, il faudrait peut-être réviser vos classiques!

1) Les programmes ne sont pas des messages divins et surtout, ils sont remplis d'incohérence... Donc exit les programmes, ils ne peuvent servir d'argumentation

2) Là, précisément, ils ne se fourvoient pas spécialement, ils disent juste, {\bf non pas} que fonction$=$application, mais que {\bf le fait que fonction$\neq$application} ne doit pas faire l'objet de développements interminables**** de la part du prof

3) Toute application est une fonction, au même titre que tout carré est un rectangle

4) Entre dire que la différence entre les 2 mots n'est pas un thème sur lequel il faut insister, et vouloir les définir avec la même définition il y a un certain parcours à faire

****je suppose, je n'en suis pas sûr, que les programmes donnent cette consigne pour éviter que des profs un peu "fanatiques" mettent dans leur contrôle, ou voir d'une manière répétée sur plusieurs contrôles, des question du genre {\it Soit $f$ une fonction de A dans B. Prouver que $f$ est une application} ainsi que mille variations sur ce thème, {\bf et c'est tout à fait rspectable}... Mais comme l'intention des programmes n'est pas écrite dans les programmes (ou l'intention de l'intention, etc...)

En réponse aux quatre points de Christophe :

1) Je ne m'appuie pas uniquement sur les programmes, loin de là. Au fait, sur quels arguments ta distinction entre fonction et application s'appuie-t-elle ?

2) Je suis d'accord pour éviter les développements inutiles. Mais alors, la solution la plus simple ne consiste-t-elle pas à ne pas utiliser le terme "application" au lycée, et à n'y parler que de fonctions (d'une variable réelle à valeur réelle) ?

3) Avec le vocabulaire mathématique habituel, c'est au contraire toute fonction qui est une application (à savoir une application dont l'ensemble d'arrivée est numérique).

4) La question est plutôt : pourquoi vouloir introduire deux notions là où une seule suffit pour travailler ? Par exemple, pour 1/x, plutôt que de parler de "fonction de R vers R, de domaine R^*", on peut tout aussi bien dire "fonction de R^* vers R".

Non, mais attends tu as le droit de penser ce que tu veux, je te donnais juste les définitions officielles, après, ya pas de loi qui t'empèche de les changer...

De toute façon ce ne sont que des définitions, en cas de doute, on demande de préciser:

Donc je redonne les définitions, quand-même, pour éviter la confusion:

Une {\it application} f de E dans F est une partie de $E\times F$ telle que pour tout élément x de E, il existe un unique élément y de F tel que $(x,y)\in f$

Une {\it fonction} f de E dans F est une partie de $E\times F$ telle que pour tout élément x de E, il n'existe pas plus d'un élément y de F tel que $(x,y)\in f$.

L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des x de E tels qu'il existe un y dans F avec $(x,y)\in f$. Une application de E dans F est une fonction de n'importe quel E' qui contient E dans F.

L'unicité du y pour chaque x permet de le nommer et on a choisi f(x).

Faites quand-même attention à ne pas confondre les discours affectivo-philosophiques des auteurs de vos manuels avec des définitions de maths, vous risquez de transmettre du flou à vos élèves, même si vous n'êtes pas les premiers depuis la réforme de 82... Et chaque fois qu'il y a un doute, prenez quelques minutes pour {\bf définir} votre vocabulaire, plutôt que rester sur des ambiguités qui peuvent resurgir quand on ne s'y attend pas...

Je ne comprends pas ta phrase: {\it Avec le vocabulaire mathématique habituel, c'est au contraire toute fonction qui est une application (à savoir une application dont l'ensemble d'arrivée est numérique)}

christophe chalons Écrivait:

---

> je te donnais juste les définitions
> officielles,

Qu'entends-tu par "officielles" ?


> quelques minutes pour {\bf définir} votre
> vocabulaire, plutôt que rester sur des ambiguités
> qui peuvent resurgir quand on ne s'y attend
> pas...

Pour rappel :
- Application : même définition que toi.
- Fonction : application dont l'ensemble d'arrivée (F dans ton dernier message) est un ensemble de nombres.


> Je ne comprends pas ta phrase: {\it Avec le
> vocabulaire mathématique habituel, c'est au
> contraire toute fonction qui est une application
> (à savoir une application dont l'ensemble
> d'arrivée est numérique)}

Cf. les définitions ci-dessus.

"officielles = celles que j'utilise et celles qu'utilisent les français"
Pour l'instant, parmi les français, on recense Christophe Chalons et Jean-Louis Boursin (Dictionnaire élémentaire de math moderne Bordas 1972). Par contre Bourbaki n'est pas français. ::o

christophe chalons Écrivait:

---

> {\it officielles}$=$ [...] celles qu'utilisent
> les français en théorie des ensembles.

Désolé, mais c'est faux. Voir les exemples que j'ai cités plus haut ; en voici deux autres rebondissant sur des posts précédents :
- personne ne prend soin de dire, dans un même discours mathématique, "fonction logarithme" et "application cosinus" ; tout le monde continue à utiliser le terme "fonction" dans le contexte numérique.
- personne n'appelle "application méromorphe" une fonction méromorphe définie sur C tout entier. Par contre, il existe une autre terminologie spécifique à ce cas particulier, à savoir... "fonction entière".


> Pourquoi voudrais-tu que les fonctions aient un
> ensemble d'arrivée inclus dans $\R$ ou $\C$?????

Ce n'est pas moi qui le veux ; c'est l'usage que je constate chez les mathématiciens.


> Ya pas que les nombres dans la vie, et une
> application linéaire à valeurs dans $\R ^3$ ne
> serait plus une fonction selon toi?

Cf. ma réponse à incognito ci-dessous.


> Pourquoi souhaites-tu que les fonctions (comme je
> les définis) cessent de porter les noms de
> fonction (par quel mot tu remplacerais "fonction"
> pour désigner les ensembles de couples tels que,
> il n'arrive jamais que (x,y) et (x,z) soit dedans
> si $y\neq z$?)?

On s'exprime simplement de telle manière que l'ensemble de départ coïncide d'emblée avec le domaine. Par exemple, pour 1/x, on ne dit pas "fonction de R vers R, de domaine R^*", mais "fonction de R^* vers R".



incognito Écrivait:

---

> Encore un qui n'a jamais entendu parler de
> fonctions vectorielles!

Effectivement, la terminologie "fonction vectorielle" est courante. Mais là encore, la distinction fonction vs application ne vient pas de deux définitions formellement distinctes, mais de deux contextes d'utilisation différents :
- la terminologie "fonction vectorielle" est généralement utilisée quand on fait de l'analyse (calcul diff. et int.) sur ces objets.
- en algèbre linéaire, par contre, personne n'appelle "fonctions" les applications linéaires à valeurs... vectorielles (après tout, elles le sont toutes !) La seule terminologie particulière est celle de forme linéaire, dans le cas justement où l'espace d'arrivée est... le corps de base.

En tout cas, les fonctions vectorielles ne s'appellent pas "fonction" parce que elles risquent de ne pas être définies partout.


> Je ne dirai plus jamais
> fonction, je dirai plus simplement:
>
> "Soit f une correspondance dont le graphe est un
> graphe fonctionnel"

Cf. plus haut : on peut continuer à dire fonction ; il suffit de s'arranger d'emblée pour que l'ensemble de départ soit le domaine.


> il n'est pas étonnant qu'à force de
> diminuer les exigences mathématiques à tous les
> niveaux

Il n'est pas question de diminuer les exigences mathématiques, mais simplement d'éviter un vocabulaire qui entre en conflit avec celui utilisé par les mathématiciens. Les définitions que j'ai décrites (modulo ta remarque sur les fonctions vectorielles) répondent très bien aux deux exigences à la fois.

Bizarre les programmes du secondaire...
Pour tout chercheur mathématicien, fonction ou application, c'est la même chose ! On utilisera plutôt fonction si l'espace d'arrivée est le corps des scalaires.

"Dois-je réécrire les définitions de fonction et de application?"

Donne seulement la source. C'est quoi une définition \emph{officielle} en math ?