Pour continuer dans le trollesque on pourrait lancer le débat sur la définition de la limite : pour la limite d'une fonction en un point, on regarde ce qu'il se passe pour des valeurs proche de ce point ou pour des valeurs proches du point mais différentes du points ?
Citation de Christophe Chalons :
>je te l'ai déjà donné, source: moi.
C'est tout ce que je voulais savoir.
Plus sérieusement, on voit la difficultés de certains à accepter que deux termes distincts désignent la même chose en mathématiques. C'est nier l'histoire qui a amené ces termes jusqu'à nous. Inversement, il est fréquent qu'un terme donné signifie plein de choses différentes en maths (ordre, normal, unitaire,... pour prendre ce qui me vient à l'esprit). Qu'est-ce que ça a de gênant? Le contexte est là pour trancher. Pour ce qui est des deux termes qui nous occupent, il est clair qu'on emploie l'un ou l'autre mais pas de manière aléatoire. Ainsi des fonctions affines au lycée et des applications affines de la géométrie. La tradition nous amène à des usages séparés mais l'essentiel est qu'on y voie la même chose : associer à chaque élément d'un ensemble A un élément de l'ensemble B.
Au collège vers la fin des années 70, j'ai appris moi aussi la distinction prônée par C. Chalons (entre autres). Il a bien fallu que je l'abandonne devant la réalité des enseignements et des ouvrages de maths que j'ai rencontrés ensuite (dés la classe de première, un de mes professeurs était revenu là-dessus). Quelle est l'origine de cette distinction arbitraire qui a sévi alors et qui persiste aujourd'hui (grâce au concours des élèves d'hier devenus professeurs aujourd'hui)? Presque sûrement dû à la folie normalisatrice qui régnait à l'époque de l'enseignement des maths modernes. Ces définitions ne provenaient pas du monde des mathématiques vivantes (des mathématiciens même bourbakistes), mais des IG, des concepteurs de programmes. Lichnerowicz s'en arrachait les cheveux : "je vois chaque jour dans les livres de maths du secondaire des nouveaux termes que je ne connais même pas, inventés par des gens n'ayant aucune légitimité" (citation de mémoire). Les fossoyeurs de sa réforme ont réussi leur coup.
J'ai lu la définition de "troll" dans le wiki... Je suis fasciné par internet, j'avoue! Ca a créé tout à un tas de nouvelles notions désopilantes.
Je n'alimenterai pas outre mesure ce fil pour éviter qu'il devienne un vrai troll. J'ai fait ma part de job, au départ javais juste remarqué que les "gens" d'ici n'avaient pas eu la gentillesse de donner à l'auteur du fil D2W les définitions des mots {\it fonction} et {\it définition} alors que probablement, lui ou elle, n'avait comme prosaique préoccupation que de préparer ou réviszer pour un concours ou un exam
Au lieu de ça je voyais le fil s'engluer dans une polémique pédagogique portant, non sur la définition des mots mais sur les abus de langage pédagogico-renvendiqués des uns ou des autres et sur leurs problèmes intimes de relation avec les codages de fonctions (qui n'ont rien à voir avec les fonctions elles-même), leur domaine, les "ensembles de définitions, etc...
Pensant à notre étudiant(e) j'avais mis les def des mots (après tout, peut-être ne demandait-il que ça?) et, contre toute attente, un genre de ruée de posteurs qui se sont mis à tout contester...
Comme je suis un (involontaire) trolleur novice, je m'en tiendrai aux def que j'ai donnés en reprécisant, tt de même, que s'ils veulent, ils peuvent les indicer par mon pseudo, tant, en maths, il n'y a pas de réalité officielle (du moment que chacun reprécise bien de quoi il parle, si des malentendus peuvent survenir... Je remets le lien (voir msg suivant) vers le post ou il y a les définitions des mots {\it fonction} et {\it application} pour que D2W puisse avoir un truc clair à se mettre sous la dent
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Une {\it application} f de E dans F est une partie de $E\times F$ telle que pour tout élément x de E, il existe un unique élément y de F tel que $(x,y)\in f$
Une {\it fonction} f de E dans F est une partie de $E\times F$ telle que pour tout élément x de E, il n'existe pas plus d'un élément y de F tel que $(x,y)\in f$.
L'ensemble de définition (ou domaine) d'une fonction f est l'ensemble des x de E tels qu'il existe un y dans F avec $(x,y)\in f$
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je cite: {\it Plus sérieusement, on voit la difficultés de certains à accepter que deux termes distincts désignent la même chose en mathématiques. C'est nier l'histoire qui a amené ces termes jusqu'à nous. Inversement, il est fréquent qu'un terme donné signifie plein de choses différentes en maths (ordre, normal, unitaire,... pour prendre ce qui me vient à l'esprit). Qu'est-ce que ça a de gênant? Le contexte est là pour trancher. Pour ce qui est des deux termes qui nous occupent, il est clair qu'on emploie l'un ou l'autre mais pas de manière aléatoire. Ainsi des fonctions affines au lycée et des applications affines de la géométrie. La tradition nous amène à des usages séparés mais l'essentiel est qu'on y voie la même chose : associer à chaque élément d'un ensemble A un élément de l'ensemble B.
Au collège vers la fin des années 70, j'ai appris moi aussi la distinction prônée par C. Chalons (entre autres). Il a bien fallu que je l'abandonne devant la réalité des enseignements et des ouvrages de maths que j'ai rencontrés ensuite (dés la classe de première, un de mes professeurs était revenu là-dessus). Quelle est l'origine de cette distinction arbitraire qui a sévi alors et qui persiste aujourd'hui (grâce au concours des élèves d'hier devenus professeurs aujourd'hui)? Presque sûrement dû à la folie normalisatrice qui régnait à l'époque de l'enseignement des maths modernes. Ces définitions ne provenaient pas du monde des mathématiques vivantes (des mathématiciens même bourbakistes), mais des IG, des concepteurs de programmes. Lichnerowicz s'en arrachait les cheveux : "je vois chaque jour dans les livres de maths du secondaire des nouveaux termes que je ne connais même pas, inventés par des gens n'ayant aucune légitimité" (citation de mémoire). Les fossoyeurs de sa réforme ont réussi leur coup.}
Olala le joli texte. Pourquoi tu ne viens pas raconter tout ça sur mon forum (lien ci-dessous). Je suis en manque de pub, et J'ACCEPTE LES TROLLS! Par contre, il sera sympa de t'identifier (nous sommes quelques uns à parlementer à perte de vue, mais sous nos vraies identités.
C'est vrai, je pense, qu'il y a un vrai problème.. Ca fait 4 ou 5 fois en moins de 3 semaines que je lis et entend l'étrange expression "mathematiques vivantes" entre autre, par exemple, dans une polémique entre le directeur du magazine tangente et celui de sesamaths dont j'ai mis mis les textes complet sur mon forum trollique... Je l'entends à toutes les sauces pour excuser les erreurs ou les imprécisions non graves des auteurs qui les évoque comme notion bouclier..
Je ne PRONE rien comme tu dis, (je disais juste qu'il est important de garder pendant un temps correct les mêmes definitions, parce que si on en change tous les matins... Je suis vieux mais un peu jeune pour etre boubakiste. Par ailleurs, souhaiter que {\bf fonction} et {\bf application} signifient la meme chose est une chose, mais dans ce cas, il faut proposer 2 nouvelles definitions (identiques, ou équivalentes) ce que vous ne faites pas. Les 2 mots comme je les ai définis n'étant pas équivalents, les garder mais les déclarer équivalents est une volonté que je n'ose vous attribuer de peur d'insulter vos intelligences...
Je ne souhaite pas développer ici cette discussion car elle serait apparentée à un troll, venez donc "troller" sur mon site, je ne demande que ça..
Merci pour ton site. Ne t'inquiète pas si tu ne m'y voies pas.
Pour mon identité, tu cliques sur mon pseudo.
Pour la définition que tu réclames, elle figure dans mon texte précédent.
Chris Écrivait:
> Plus sérieusement, on voit la difficultés de
> certains à accepter que deux termes distincts
> désignent la même chose en mathématiques. C'est
> nier l'histoire qui a amené ces termes jusqu'à
> nous. Inversement, il est fréquent qu'un terme
> donné signifie plein de choses différentes en
> maths (ordre, normal, unitaire,... pour prendre ce
> qui me vient à l'esprit). Qu'est-ce que ça a de
> gênant? Le contexte est là pour trancher. Pour ce
> qui est des deux termes qui nous occupent, il est
> clair qu'on emploie l'un ou l'autre mais pas de
> manière aléatoire. Ainsi des fonctions affines au
> lycée et des applications affines de la géométrie.
> La tradition nous amène à des usages séparés mais
> l'essentiel est qu'on y voie la même chose :
> associer à chaque élément d'un ensemble A un
> élément de l'ensemble B.
Voilà un parfait résumé de la situation !
Quant aux points soulevés dans les posts suivants, j'y ai déjà répondu plus haut ; liront ceux qui ont des yeux pour lire. Ne souhaitant pas tourner en rond, je termine donc ici mes interventions dans ce fil.
{\it > ***à part quelques trucs fafelus que j'ai pu lire
> qui fixe l'ensemble d'arrivée arbitrairement à
> $\R$...
En quoi est-ce farfelu ?}
C'est farfelu en ce sens que, mis à part pendant les études "scolaires", classes prépa, concours enseignement capes et agreg (qui sont des "bacs" bis), les fonctions et les applications (dans le sens que j'ai dit) n'ont que rarissimement des ensembles d'arrivée inclus dans $\R$. Quel mot devra-t-on inventer, selon vos préceptes, pour parler de toutes les "fonctions" autres que celles dont l'image est incluse dans $\R$? (coloration de graphes, stratégies à des jeux, résultats d'algorithmes, etc)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
{\it Christophe Chalon : n'est-ce pas prétentieux (voire délirant) de qualifier d'officielle sa propre définition ?}
{\bf oui} pour prétentieux, {\bf non} pour délirant. Tu connaissais la réponse en plus... {\bf je prétends} avec tout ce que ça a de péjoratif que j'ai donné les définitions officielles des mots {\it fonction} et {\it application}, et je le prétends {\bf prétentieusement!}
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Citation: "C'est farfelu en ce sens que, mis à part pendant les études "scolaires", classes prépa, concours enseignement capes et agreg (qui sont des "bacs" bis), les fonctions et les applications (dans le sens que j'ai dit) n'ont que rarissimement des ensembles d'arrivée inclus dans $\R$."
Rarissime, mon oeil! Il y a des tas de fonctions scalaires en physique, chimie, ingénierie, météorologie, astronautique, économie et j'en passe. Tes exemples (coloration etc) sont certainement très, très intéressants, mais faudrait de temps en temps sortir de ta tour d'ivoire!
{\it Rarissime, mon oeil! Il y a des tas de fonctions scalaires en physique, chimie, ingénierie, météorologie, astronautique, économie et j'en passe. Tes exemples (coloration etc) sont certainement très, très intéressants, mais faudrait de temps en temps sortir de ta tour d'ivoire!}
Je raffole de cette initiation au trolisme... C'est vrai que ça existe, c'est trop mignon!
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
La distinction de christophe chalons me semble intéressante, mais vraiment trop proche du pinaillage. C’est vrai qu’on parle de fonctions réelles avec un ensemble de définition, comme si certains points pouvaient ne pas avoir d’image. Mais en fait, on se ramène bien vite à ce qu’il appelle une application. Ça peut être intéressant formellement ou en informatique de séparer les deux, mais pour les mathématiques courantes, je ne vois pas trop l’intérêt.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about. -- Schnoebelen, Philippe
Hum! Sur internet la tactique de crier au troll pour dire qu'on est pas d'accord est un peu... euh... usée. Crois moi. C'est une façon de dire qu'on a pas d'argument.
Je n'ai pas été obséquieux mais avec ton ineptie sur l'utilité pratique des fonctions tu l'as cherché un peu.
Bonsoir à tous, j'ai lu ce débat...
En gros, pour ceux qui soutiennent la thèse fonction $\neq$ application, cela veut dire que si je dis l'"application racine carrée" je n'ai pas besoin de préciser que je vais considérer des nombres positifs, alors que si je parle de la "fonction racine carrée" je dois préciser qu'elle n'est définie que pour les réels positifs ?
Pour ma part, je ne faisais pas de distinction, et à l'avenir, je ne sais quelle attitude adopter !
Un petit tour dans mon quasi-troll préféré. Tu as le droit de dire ce que tu veux, car "l'objet" qui porte le nom "racine carrée" est l'ensemble des couples $(x,y)$ de réels qui sont tels que, d'une part $y\geq 0$ et d'autre part $y^2=x$.
J'offre un diner dans un très bon restaurant de poissons (la cagouille) pas loin de montparnasse à qui {\bf me prouve} que $\sqrt{\ \ }$ est autre chose... (je suis seul juge, mais je suis honnête lol le pari ne me ruinerait pas en cas de perte de toute façon)
Tant que tu n'as pas justifié qu'il n'y a qu'un et un seul nombre réel positif $y$ à être tel que $y^2=x$ si $x$ est positif et qu'il n'y en a pas du tout si $x$ est strictement négatif, tu te rends "coupable" d'affirmation gratuite en disant que la racine carrée est une fonction ou est une application...
Je te signale d'ailleurs qu'une preuve élégante, mais rigoureuse de {\bf l'existence} (j'ai envie de chauffer la salle lol) de $\sqrt{x}$ pour un nombre $x$ positif nécessite pas mal de prose auprès des enfants, et même des post ados non passionnés que par les maths...
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
D'accord, donc en supposant de plus que j'ai montré que, s'il existe, cet y est unique, est-ce que cela veut dire que si je dis l'"application racine carrée" je n'ai pas besoin de préciser que je vais considérer des nombres positifs, alors que si je parle de la "fonction racine carrée" je dois préciser qu'elle n'est définie que pour les réels positifs ?
J'offre un diner dans un très bon restaurant de poissons (la cagouille) pas loin de montparnasse à qui {\bf me prouve} que $\sqrt{\ \ }$ est autre chose... (je suis seul juge, mais je suis honnête lol le pari ne me ruinerait pas en cas de perte de toute façon)
Alors je propose : sqrt, c'est n'importe laquelle des applications (fonctions) (R+,A,G) avec R+ inclus dans A inclus dans R, et G = {(x,y)|x,y€R+ et y²=x}.
Par exemple, l'application (R+,R+,G) est surjective, (R+,R,G) ne l'est pas.
Pour le dîner, on s'organisera, vu que j'habite à 600 km de Paris
P.S. ne pas confondre
relation binaire : relation R(x,y) à deux variables libres x et y
relation fonctionnelle en y : relation R(x,y) telle que R(x,y) & R(x,z) => y=z
graphe (en dehors de la théorie des graphes) : ensemble de couples
graphe fonctionnel : graphe F tel que (x,y) € F soit une relation fonctionnelle
correspondance : triplet (A,B,G) tel que G est un graphe et proj1(G) inclus ds A, proj2(G) inclus ds B
fonction ou application : correspondance (A,B,G) telle que proj1(G)=A et G graphe fonctionnel
Bon allez, comme je suis novice en art du troll, j'ai encore la chance de l'apprécier... Je vais donc faire l'effort de vous "éclairer" (hum hum, qui va me traiter de prétentieux?)
Petit guide à l'usage de menagex:
Avertissement préliminaire: je n'aborde pas la question pédagogique, je t'aide juste à "formuler" les choses mathématiquement. Peut-être, rien que faire ç, c'est être un mauvais pédagogue, mais peu importe, c'est un (interminable) débat
1) Quand tu désignes un objet par son nom , rien ne t'oblige à l'agrémenter d'un nom commun supplémentaire. Quand tu appelles ton chat, tu dis "Félix, viens manger", tu ne dis pas "Mon chat Félix, viens manger"
2) La théorie ambiante des maths est ZFC, certes, et la tradition est ensembliste, mais je ne crois pas que les "ensemblistes" revendiquent le pouvoir. Il y a un axiome (l'axiome d'extensionnalité) qui rend égaux bien des objets que l'homme aborde par des chemins différents... Pour te dire à quel point c'est un phénomène profond et non du "pinaillage" comme j'en ai reçu l'accusation, voici un petit exercice délicieux: prouve "P ou nonP" (P étant une proposition quelconque) à l'aide de la logique intuitionniste seule, de l'axiome du choix et de l'axiome d'extensionnalité (lol je suis méchant, mais ce sont là des maths, purement et simplement, et non des polémiques philosophiques)
3) 2 mots différents ou 2 expressions différentes peuvent être équivalentes, sans qu'on puisse le prouver. Idem, elles peuvent être prouvablement équivalente.
4) L'expression {\it f est une fonction de A dans B} est une expression avant tout écrite en français. Mathématiquement, il fallait bien lui donner un sens formel (tu ne vas quand-même pas me dire qu'on peut mettre des tonnes d'expressions parmi les notions premières), et ce sens formel est un prédicat 3-aire (je suis un peu chiant, j'avoue). Ainsi, {\it f est une application de A dans B} signifie mathématiquement que le triplet $(f,A,B)$ appartient à une certaine collection C1 (bien précise). De même, {\it f est une fonction de A dans B} signifie mathématiquement que le triplet $(f,A,B)$ appartient à une certaine collection C2 (bien précise). Ces 2 collections sont {\bf différentes} (et pas d'une manière artificielle!!). Elles ne contiennent pas les mêmes élements
5) dire "$f$ est une fonction" nécessite, si tu te trouves en face de quelqu'un qui te trouve ambigu, que tu t'expliques (tu ne vas quand même pas l'envoyer chier...)
Or, ni la collection C1, ni la collection C2 ne vont te satisfaire
6) Comme tu es un bon prof de lycée, soucieux de ne pas laisser l'ambiguité se pérenniser, que vas-tu dire à ton interlocuteur?
7) Comme tu es prof, je ne fais pas preuve de pédagogie, je te donne juste les infos, à l'état brut:
C1 est incluse dans C2. Si $f$ est telle que il existe A et B avec $(f,A,B)$ qui appartient à C2, alors il existe $A'$ inclus dans A tel que $(f,A',B)$ est dans C1.
Si j'ai pas joliment relancé le minitroll là... lol
****
Rajout 12h plus tard. Bon, bah ça n'a pas marché ma tentative de trol-catalyse...
J'ai dit (****) {\it Si $f$ est telle que il existe A et B avec $(f,A,B)$ qui appartient à C2, alors il existe $A'$ inclus dans A tel que $(f,A',B)$ est dans C1. }
Et personne ne m'a repris lol. J'aurais dû dire:
Si $f$, $A$ et $B$ sont tels que $(f,A,B)$ appartient à C2, alors il existe $A'$ inclus dans A tel que $(f,A',B)$ est dans C1.
Car dans la conclusion de (****), {\it ... il existe $A'$ inclus dans A tel que $(f,A',B)$ est dans C1} on ne sait pas de quel A je parle
Et personne ne m'a sauté dessus, snif...
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
à GG (je ne peux te citer, tu n'as pas semble-t-il écrit en latex...):
T'as gagné l'entrée parce que je suis gentil (et parce que tu défends mon bord) et que je veux faire connaitre le macquereau à la moutarde de ce resto.
Mais je suis vraiment gentil, parce que j'ai bien dit que je donnais une définition de $\sqrt{\ \ }$. (Pour reprendre mon analogie du post précédent, j'ai défini Félix, pour éviter toute ambiguïté: {\bf je n'ai pas prétendu définir "le chat Félix"} lol)
Dis-moi quand tu viens à Paris... Quand les trolls deviennent payants lol
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
J'ai peur que le maquereau à la moutarde, bien que bon, ne soit lourd pour les 600 km de trajet... !!
Pour Christophe Chalons, merci pour tes explications claires (un peu moins pour le ton employé, mais bon, j'ai au moins une réponse).
Cependant je crois que je vais continuer à parler de fonction et de domaine de définition, puisqu'a priori on a le droit mathématiquement de le faire. Je n'utiliserai pas le terme d'application, puisque l'on peut s'en passer (pourquoi leur préciser, \ital{pour l'instant, en lycée,} que la restriction de la fonction à son ensemble de définition est une application ?)
Car cela ne me parait pas gênant de dire que la fonction racine carrée est croissante sur $\R$+, c'est vrai que c'est plus court de dire que l'application racine carrée est croissante tout court, mais au contraire les élèves risquent d'oublier l'importance du $\R$+...
Bon je viens de lire tout ce magnifique troll, et je vais rajouter ma dose :
y'en a un qui a écrit la fonction de R dans R 1/x a pour domaine R*.
Je dis non son domaine est R (voir n'importe quel bouquin de catégorie) mais elle est définie sur R* par contre.
La je cite CC :
3) 2 mots différents ou 2 expressions différentes peuvent être équivalentes, sans qu'on puisse le prouver. Idem, elles peuvent être prouvablement équivalente.
Encore heureux que Hilbert est mort car sinon il se retournerait dans sa tombe ce qui n'est pas prouvable n'est pas vrai (théorème de complétude) donc soit deux trucs sont équivalents et c'est alors prouvable, soit ils ne sont pas équivalents et c'est prouvable, soit on ne sait pas mais on peut prouver qu'on ne sait pas ou enfin on est condamné à chercher pendant l'éternité (rien n'est prouvable) (je crois bien qu'il n'y a pas d'autres cas).
Bon sinon le truc initial fonction vs. application
Je crois bien qu'il y a des définitions officielles (celles de CC) que les écoles se doivent de respecter au concours de même pour l'examen du bac (la loi est la loi et elle est la même pour tous), dans le même esprit qu'une école n'a pas le droit de parler de ce qui est classé hors-programme au concours. Bien sûr dans ce domaine là on ne pourra jamais faire respecter ses droits. Il y a des autorités (compétentes ? non) mandatées par l'état pour fixer les programmes, on se doit de les respecter, ou au moins de dire aux élèves ce qui est officiel pour qu'ils le sachent le jour de l'exam, concours ou autre. Et bien sûr il faut avoir conscience qu'en règle générale la communauté mathématique n'emploie pas du tout les mêmes définitions que les programmes et qu'entre eux ils ne sont pas d'accord (suffit de voir la définiton des entiers positifs des anglais et celle des français).
Le but étant de fournir un bagage suffisant aux élèves pour comprendre leur interlocuteur (je me souviens avoir lutté trois quatre minutes quand mon prof écrivait que les pôles d'une fonction rationnelle faisait parti de l'ensemble de définition (ou qqc comme ça) vu qu'il ne le disait pas clairement et que mes définitions étaient différentes).
Bonjour à tous,
Je suis novice et viens récemment de m'intéresser à la différence entre application et fonction.
Je suis donc tombé sur ce forum.
Les définitions de C.Chalons me conviennent parfaitement mais il est vrai que ce troll semble long et compliqué pour donner une réponse simple et concise à D2W ou à toute autre personne qui n'étant pas spécialiste, désire tout de meme des éclaircissements quand elle n'a aucune réference initiale.
Comme il l'a été répété plusieurs fois ici, je crois qu'avant tout il faut extraire les notions de fonction et d'application du seul domaine des mathématiques analytiques et les élargir à la logique et à n'importe quelle situation d'analyse qui cherche à lier deux éléments.
Avant de parler de fonction ou d'application on parle d'abord de relation.
Alors la différence entre fonction et application prend son sens ; sinon elle est imperceptible voire inexistante.
Plutot qu'un long discours mieux vaut un court exemple :
Je prends l'exemple du Larousse encyclopédique 1991 (origin. 1977) qui me semble parlant pour un novice et qui illustre la "définition officielle" mais dans un cas qui sort des maths (ce qui m'a bien aidé pour initier un raisonnement) ; pour la suite on peut repartir sur toutes les considérations philosophiques mais nécessaires de ce troll (d'ailleurs je ne sais meme pas exactement ce qu'est un troll.):
Erlangen a semble-t-il clos le débat en rappelant non seulement le sens des mots, leur contexte historique d'emploi, leur lien avec les approches mathématiques à l'étranger... ce que je partage totalement.
Je voulais juste ajouter que l'enseignement des mathématiques en France aime cultiver les subtiles différences à faire suer les gamins. On avait les inoubliables problèmes de robinets puis les trains qui se croisent en pleine cambrousse sur de joyeux graphiques où il ne vaut mieux pas dessiner de jolies marguerites, avant que les "maths modernes" ne soient ravalées à cette si pertinente différence a posteriori entre fonction et application. Il est vrai qu'en revenant en arrière en supprimant des programmes la nécessité de préciser les "domaines" sous la protestation de parents face à ces soi-disant maths modernes (post soixantehuitarde de surcroît) qui font que leurs enfants sont des attardés bien sûr, on est sûr que les dits gamins ont plus de chance de se perdre dans les mathématiques et leur jargon. Mais peut-être que c'est une manière d'enseigner une certaine logique cartésienne dans ce pays où la logique mathématique reste la grande absente des programmes (mais peut-être ne veut-on pas pousser les enfants à devoir plancher sur la différence entre prédicat et dogme, je plaisante bien entendu).
Je te cite :"Erlangen a semble-t-il clos le débat en rappelant non seulement le sens des mots, leur contexte historique d'emploi, leur lien avec les approches mathématiques à l'étranger... ce que je partage totalement."
Peux-tu m'indiquer alors ce qu'a conclu Erlangen, s'il te plaît ?
Ou, à défaut, m'indiquer une référence, de préférence sur internet ?
Certes j'avais zappé sur les pages 2,3,4 et 5, mais ce qu'a indiqué Erlangen :
La distinction historique entre "fonction" et "application" est d'un tout autre ordre :
- le mot "fonction" est associé à l'expression "varier en fonction de" ; il avait initialement été introduit pour modéliser la dépendance de deux grandeurs physiques et ne concernait donc de ce fait que les fonctions numériques (en termes modernes : à variable réelle et à valeur réelle)
- le mot "application" provient au contraire d'une connotation plus géométrique, ce qui se voit sans doute plus clairement dans ses équivalents anglais "map" (littéralement : "carte") et surtout allemand "Abbildung" (littéralement : "image", au sens purement visuel du terme). En français, on a même adopté le mot "carte" en géométrie différentielle, par référence à sa signification géographique : une carte est une "image" plane d'une portion de la surface de la Terre.
Il faudra attendre l'essor du langage ensembliste pour se rendre compte que ces deux notions, jusque là sans lien car apparaissant dans des contextes totalement différents, peuvent en fait se formaliser de la même manière : ensemble de départ A, d'arrivée B, etc.
Malgré cela, les habitudes de vocabulaire sont largement restées les mêmes : la plupart des mathématiciens continuent à utiliser plutôt le mot "fonction" quand les valeurs sont numériques, et plutôt le mot "application" dans d'autres contextes, notamment géométriques.
La distinction qu'on a vu apparaître dans les manuels (fonction="il existe au plus un" ; application="il existe un et un seul") n'a donc rien à voir avec l'origine (même mathématique) de ces deux termes, et est somme toute assez arbitraire et artificielle.
fournissait les tenants et aboutissants de la subtilité de sens que l'on veut conférer aux deux termes aujourd'hui. Certains peuvent vouloir persévérer dans cette subtilité mais d'autres ne pas y accorder une importance universelle. Il est toujours possible de préciser le terme fonction s'il est flou, soit synomyme d'application, soit fonction au sens du CAPES, question de contexte.
Je viens d'assister à un oral de CAPES et une nouvelle révolution mentale m'es tombé dessus !
J'ai le droit d'écrire f: R -> R : x |-> 1/x !!!
Moi qui croyait qu'il fallait absoluement écrire f: R* -> R : x |-> 1/x...
J'en suis venu à discuter de la notion de fonction et d'aplication avec le prof qui faisait office de jury.
Il m'a confirmé la chose, on peut donner une fonction réelle sans préciser son domaine de définition et plus fort, il m'a dit que le domaine de définition d'une fonction n'avait pas (plus) de sens. Au passage, la recherche d'un domaine de définition n'est plus au programme du secondaire. On donne une fonction en donnant son expression et le domaine sur laquelle on la considère.
En revanche, on ne peut parler d'application d'une partie de R dans R que si elle est bien définie sur cette partie.
Pourriez-vous m'éclairer en me donnant une bonne distinction entre fonction et application. J'avais posé la question à un prof d'algèbre, il y a longtemps, qui disait dans le cadre d'un cours sur les applications linéaires, que l'on était plus au lycée et qu'on parlait désormais d'applications et non de fonctions. Il m'avait juste dit que les fonctions étaient des cas particuliers d'applications définies sur R (ou C). Il semble que ce soit simpliste voir complètement faux.
Si vous avez des liens sur le sujet ou des références bibliographiques, je suis aussi intéressé.
C'est un des marronniers du forum , fais une recherche.
En attendant que tu te fasses une idée, si tu peux donner une fonction sans préciser son domaine de définition, comment définis-tu l'égalité de deux fonctions ?
Je croyais que cela faisait un siècle qu'on avait des définitions sympathiques (mais très formelles) de fonction/application, du genre : une fonction/application est un triplet (A,B,C) tel que ...
A quoi ça sert que Cantor et compagnie se soient décarcassés :S
P.S. peut-on dire que cette question est un troll ?
Bonjour à tous,
je viens à la suite de ce vieux fil pour exploiter la question soulevée par incognito et gb :
La question est intéressante, incognito prétend que l'ensemble des fonctions de R dans R n'est pas un espace vectoriel...
et gb fait remarquer que si on somme 2 fonctions dont l'intersection des domaines de définition est vide (exemple R+* inter R-) ça semble poser problème...
mais dans son livre "toute l'algèbre de la licence" de Jean Pierre Escoffier, de Rennes 1, dans les toutes premières pages il explique qu'on peut considérer la fonction vide dont la source est l'ensemble vide....
donc moi je dirais que l'ensemble des fonctions de R dans R reste bien un espace vectoriel...
Qu'en pensez vous ? (ceci n'est pas un troll... ;-)
Le problème que je vois sur la structure d'espace vectoriel de l'ensemble des fonctions, c'est que:
- le seule élément neutre possible est la fonction nulle (définie sur tout l'ensemble de départ)
- si f n'est pas définie sur tout l'ensemble de départ, on n'a donc pas d'élément g tel que f+g=0 (même avec g=-f)
Enfin, la fonction vide n'est pas un élément neutre (si on avait envie qu'elle le soit, il faudrait construire la somme de deux fonction en considérant que l'ensemble de définition de f+g est l'union des ensembles de définition... mais avec ça, la fonction vide aussi bien que la fonction nulle seraient des éléments neutres. Or il n'y a qu'un élément neutre dans un espace vectoriel... bref!).
À part cela, je découvre ce fil, et je l'ai trouvé assez intéressant. Merci aux contributeurs. Sans vouloir décevoir Christophe Chalons, je suis prof en prépa, et pourtant, je ne maîtrisais pas la différence entre les deux notions. B-)-
Bonjour,
\begin{quote}La question est intéressante, incognito prétend que l'ensemble des fonctions de R dans R n'est pas un espace vectoriel...
et gb fait remarquer que si on somme 2 fonctions dont l'intersection des domaines de définition est vide (exemple R+* inter R-) ça semble poser problème... \end{quote}
Puisque je suis cité, je me sens obligé d'intervenir.
Je ne puis que renvoyer au petit couplet que j'ai écrit dans une précédente réponse
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?7,347392,347475#msg-347475}
sur les fonctions méromorphes.
Cela ne me gêne pas de dire que $f(z) = \dfrac{1}{z(z+1)}$ et $g(z) = \dfrac{1}{z(z-1)}$ sont des fonctions méromorphes sur $\C$, et que leur somme $h(z) = \dfrac{2}{z^2-1}$ l'est également.
Ce que l'on appelle traditionnellement l'ensemble de définition de $h$ n'est, ni la réunion, ni l'intersection, de ceux de $f$ et $g$.
Comme j'ose prétendre que les mathématiques sont, non pas un discours formel, mais un discours formalisable, il faut formaliser cette addition des fonctions, de façon à en faire une loi de composition interne sur un "ensemble des fonctions méromorphes", et on y arrive.
Par contre, en appelant "fonction" tout triplet $(E,F,G)$ où $E$ et $F$ sont des parties de $\R$, et $G$ un sous-ensemble de $\R^2$ qui est un graphe fonctionnel, je ne vois pas comment définir une structure d'espace vectoriel avec des lois de composition fournissant les résultats que l'on est en droit d'en attendre.
Cela ne me gêne pas outre mesure que la somme de $f(x) = \ln(x-1)$ et de $g(x) = \ln(-1-x)$ soit l'application vide, mais cette application vide risque fort d'obtenir le statut d'absorbant additif...
Pour les fonctions méromorphes : ce ne sont pas vraiment des fonctions qu'on ajoute (ou multiplie) mais plutôt des classes d'équivalence de fonctions (pour une certaine relation d'équivalence).
Le formalisme classique fournit tout ce qu'il faut pour rester rigoureux sans trop alourdir le discours
Voilà pourquoi le mot {\it officiel} est utile en maths (même si aucune autorité ne sert de gardienne de l'officialité). Il y a 2 niveaux de lecture:
1) la manière "parfaite" d'écrire. Et c'est important, sinon, ce qui est écrit n'aurait pas de sens
2) la manière "tolérée" d'écrire. Cette dernière n'est pas officielle, mais utilisée sans que ça pose trop de problème. Par contre, il est effectivement dangereux de laisser "cette manière" tolérée "revendiquer" de se hisser à un statut officiel. Si elle y parvenait ce ne serait pas inconséquent, car on se retrouverait avec plein de contradictions irrémédiablement, à la fois certes superficielles, mais inextricables.
Si tu veux, c'est un peu comme les fautes d'orthographe (et j'en fais pas mal): certes, on comprend un texte avec des fautes, mais la "composante connexe" incluant les textes parfaits et stable par la relation (à une faute près) finit par contenir toutes les suites de lettres de l'alphabet (exercice).
Donc je te redonne la signification "officielle" des mots {\it fonction} et {\it application} et après tu en fais ce que tu veux lol:
1) L'expression française {\it $f$ est une fonction de $A$ dans $B$} signifie que $f$ est une partie de $A\times B$ telle que pour tout $x\in A$ il existe au plus un élément $y\in B$ tel que $(x,y)\in f$. Il est alors "mérité" d'appeler $f(x)$ cet (éventuel) unique $y$ (aucune confusion possible), et au pire de dire que $f(x)$ n'existe pas quand $\forall y\in B:(x,y)\notin f$
{\it L'ensemble de définition} de la $f$ ci-dessus (qu'on devrait en toute rigueur appeler $(A,B,f)$ est l'ensemble des $x\in A$ tels qu'il existe $y\in B$ avec $(x,y)\in f$ (vicieusement, ça se dit: ... tel que $f(x)$ existe)
2) L'expression française {\it $f$ est une application de $A$ dans $B$} signifie que $f$ est une partie de $A\times B$ telle que pour tout $x\in A$ il existe exactement un élément $y\in B$ tel que $(x,y)\in f$. Il est alors "mérité" d'appeler $f(x)$ cet unique $y$ (aucune confusion possible)
Une expression par exemple comme $x\mapsto x^2+3$ désigne l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que $y=x^2+3$. A mon avis tu peux bien mettre ce que tu veux à la droite de la flêche, ce n'est pas grave, de toute façon c'est un abus de langage dès le départ.
Pour pousser un peu plus loin l'analyse du pipi des matheux, la notion de variable liée (je ne te ferai pas tout un exposé) est à la clé de tout ça.
Peu importe comment tu comprends $x\mapsto 1/x^2$, du moment que tu le comprends comme $\lambda x (x\mapsto 1/x^2)$ qui lie la variable $x$.
Quand par exemple les (très mauvais) rédacteurs des sujets de bac ou autres examens un peu précoces (en maitrise à la rigueur, on peut peut-être exiger une compréhension du candidat) écrivent {\it on va étudier la fonction $f(x)=1/sin(x^2-7)$}, ils veulent dire:
{\it on va étudier la fonction $f:=\lambda x (1/sin(x^2-7))$} ou encore
{\it on va étudier la fonction $f:=x\mapsto (1/sin(x^2-7))$} ou encore
{\it on va étudier la fonction $f$ telle que $\forall x (f(x)=1/sin(x^2-7))$} ou encore {\it on va étudier la fonction $f$ telle que $\forall x (f(x):=1/sin(x^2-7))$}
Bref...
Les 3e et 4e versions posent le problème de l'ensemble de définition, problème qui serait évité par:
{\it on va étudier la fonction $f$ ensemble des couples $(x,y)$ tels que $(y=1/sin(x^2-7))$}
{\bf Remarque:} il n'existe pas (ça n'a pas été inventé, ni n'est authentiquement inventable) de notion de fonction qui serait distincte de celle de graphe. Attention, donc, si tu croises quelqu'un qui te dit le contraire: il s'agit probablement d'une personne qui ne maitrise pas ces questions, et se ressource à ses propres habitudes, mal psychanalysées.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
il n'existe pas (ça n'a pas été inventé, ni n'est authentiquement inventable) de notion de fonction qui serait distincte de celle de graphe. Attention, donc, si tu croises quelqu'un qui te dit le contraire: il s'agit probablement d'une personne qui ne maitrise pas ces questions, et se ressource à ses propres habitudes, mal psychanalysées.
Il n'existe pas de notion de fonction qui serait distincte de celle de graphe (jusque là, ça va?).
Attention, donc, si tu croises quelqu'un qui te dit le contraire: sans commentaire
il s'agit probablement d'une personne qui ne maitrise pas ces questions ( catalyse trollisante),
et se ressource (du verbe "ressourcer") à ses propres habitudes, mal (à la place de "mal" j'aurais dû écrire "informellement, non mathématiquement") psychanalysées (en effet, la bienséante façon dont les gens experts comprennent des expressions insensées ne suffit pas à fonder un abus de langage, plus précisément à le rendre "non abusif").
En fait, c'est un fait sociologique que ces abus de langage sont tolérés par tous les experts. Du coup, les écriveurs de ces abus les utilisent quotidiennement avec un sentiment "d'impunité" (lol). Quand ensuite ils doivent faire une introspection du pourquoi ils s'autorisent ces abus de langage, ils en oublient presque (d'où la psychanalyse ratée) qu'ils ne font, au fond, que puiser dans l'acceptation des autres (leurs lecteurs) cette autorisation. C'est donc une introspection vouée à l'échec, puisque c'est dans les autres qu'il faut cherche, ie c'est une extraspection qu'il serait utile de faire
Que j'aime parler comme ça
Remarque: toujours se rappeler la dualité "prouveur-sceptique" des maths. Dès qu'on commence à confondre les rôles, les discussions interminables commencent.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
Bon troll...
> ***à part quelques trucs fafelus que j'ai pu lire
> qui fixe l'ensemble d'arrivée arbitrairement à
> $\R$...
En quoi est-ce farfelu ?
>je te l'ai déjà donné, source: moi.
C'est tout ce que je voulais savoir.
Plus sérieusement, on voit la difficultés de certains à accepter que deux termes distincts désignent la même chose en mathématiques. C'est nier l'histoire qui a amené ces termes jusqu'à nous. Inversement, il est fréquent qu'un terme donné signifie plein de choses différentes en maths (ordre, normal, unitaire,... pour prendre ce qui me vient à l'esprit). Qu'est-ce que ça a de gênant? Le contexte est là pour trancher. Pour ce qui est des deux termes qui nous occupent, il est clair qu'on emploie l'un ou l'autre mais pas de manière aléatoire. Ainsi des fonctions affines au lycée et des applications affines de la géométrie. La tradition nous amène à des usages séparés mais l'essentiel est qu'on y voie la même chose : associer à chaque élément d'un ensemble A un élément de l'ensemble B.
Au collège vers la fin des années 70, j'ai appris moi aussi la distinction prônée par C. Chalons (entre autres). Il a bien fallu que je l'abandonne devant la réalité des enseignements et des ouvrages de maths que j'ai rencontrés ensuite (dés la classe de première, un de mes professeurs était revenu là-dessus). Quelle est l'origine de cette distinction arbitraire qui a sévi alors et qui persiste aujourd'hui (grâce au concours des élèves d'hier devenus professeurs aujourd'hui)? Presque sûrement dû à la folie normalisatrice qui régnait à l'époque de l'enseignement des maths modernes. Ces définitions ne provenaient pas du monde des mathématiques vivantes (des mathématiciens même bourbakistes), mais des IG, des concepteurs de programmes. Lichnerowicz s'en arrachait les cheveux : "je vois chaque jour dans les livres de maths du secondaire des nouveaux termes que je ne connais même pas, inventés par des gens n'ayant aucune légitimité" (citation de mémoire). Les fossoyeurs de sa réforme ont réussi leur coup.
J'ai lu la définition de "troll" dans le wiki... Je suis fasciné par internet, j'avoue! Ca a créé tout à un tas de nouvelles notions désopilantes.
Je n'alimenterai pas outre mesure ce fil pour éviter qu'il devienne un vrai troll. J'ai fait ma part de job, au départ javais juste remarqué que les "gens" d'ici n'avaient pas eu la gentillesse de donner à l'auteur du fil D2W les définitions des mots {\it fonction} et {\it définition} alors que probablement, lui ou elle, n'avait comme prosaique préoccupation que de préparer ou réviszer pour un concours ou un exam
Au lieu de ça je voyais le fil s'engluer dans une polémique pédagogique portant, non sur la définition des mots mais sur les abus de langage pédagogico-renvendiqués des uns ou des autres et sur leurs problèmes intimes de relation avec les codages de fonctions (qui n'ont rien à voir avec les fonctions elles-même), leur domaine, les "ensembles de définitions, etc...
Pensant à notre étudiant(e) j'avais mis les def des mots (après tout, peut-être ne demandait-il que ça?) et, contre toute attente, un genre de ruée de posteurs qui se sont mis à tout contester...
Comme je suis un (involontaire) trolleur novice, je m'en tiendrai aux def que j'ai donnés en reprécisant, tt de même, que s'ils veulent, ils peuvent les indicer par mon pseudo, tant, en maths, il n'y a pas de réalité officielle (du moment que chacun reprécise bien de quoi il parle, si des malentendus peuvent survenir... Je remets le lien (voir msg suivant) vers le post ou il y a les définitions des mots {\it fonction} et {\it application} pour que D2W puisse avoir un truc clair à se mettre sous la dent
Une {\it fonction} f de E dans F est une partie de $E\times F$ telle que pour tout élément x de E, il n'existe pas plus d'un élément y de F tel que $(x,y)\in f$.
L'ensemble de définition (ou domaine) d'une fonction f est l'ensemble des x de E tels qu'il existe un y dans F avec $(x,y)\in f$
Au collège vers la fin des années 70, j'ai appris moi aussi la distinction prônée par C. Chalons (entre autres). Il a bien fallu que je l'abandonne devant la réalité des enseignements et des ouvrages de maths que j'ai rencontrés ensuite (dés la classe de première, un de mes professeurs était revenu là-dessus). Quelle est l'origine de cette distinction arbitraire qui a sévi alors et qui persiste aujourd'hui (grâce au concours des élèves d'hier devenus professeurs aujourd'hui)? Presque sûrement dû à la folie normalisatrice qui régnait à l'époque de l'enseignement des maths modernes. Ces définitions ne provenaient pas du monde des mathématiques vivantes (des mathématiciens même bourbakistes), mais des IG, des concepteurs de programmes. Lichnerowicz s'en arrachait les cheveux : "je vois chaque jour dans les livres de maths du secondaire des nouveaux termes que je ne connais même pas, inventés par des gens n'ayant aucune légitimité" (citation de mémoire). Les fossoyeurs de sa réforme ont réussi leur coup.}
Olala le joli texte. Pourquoi tu ne viens pas raconter tout ça sur mon forum (lien ci-dessous). Je suis en manque de pub, et J'ACCEPTE LES TROLLS! Par contre, il sera sympa de t'identifier (nous sommes quelques uns à parlementer à perte de vue, mais sous nos vraies identités.
C'est vrai, je pense, qu'il y a un vrai problème.. Ca fait 4 ou 5 fois en moins de 3 semaines que je lis et entend l'étrange expression "mathematiques vivantes" entre autre, par exemple, dans une polémique entre le directeur du magazine tangente et celui de sesamaths dont j'ai mis mis les textes complet sur mon forum trollique... Je l'entends à toutes les sauces pour excuser les erreurs ou les imprécisions non graves des auteurs qui les évoque comme notion bouclier..
Je ne PRONE rien comme tu dis, (je disais juste qu'il est important de garder pendant un temps correct les mêmes definitions, parce que si on en change tous les matins... Je suis vieux mais un peu jeune pour etre boubakiste. Par ailleurs, souhaiter que {\bf fonction} et {\bf application} signifient la meme chose est une chose, mais dans ce cas, il faut proposer 2 nouvelles definitions (identiques, ou équivalentes) ce que vous ne faites pas. Les 2 mots comme je les ai définis n'étant pas équivalents, les garder mais les déclarer équivalents est une volonté que je n'ose vous attribuer de peur d'insulter vos intelligences...
Je ne souhaite pas développer ici cette discussion car elle serait apparentée à un troll, venez donc "troller" sur mon site, je ne demande que ça..
\lien{http://www.logique.jussieu.fr/\~chalons/mareactg.php}
http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/mareactg.php
Pour mon identité, tu cliques sur mon pseudo.
Pour la définition que tu réclames, elle figure dans mon texte précédent.
> Plus sérieusement, on voit la difficultés de
> certains à accepter que deux termes distincts
> désignent la même chose en mathématiques. C'est
> nier l'histoire qui a amené ces termes jusqu'à
> nous. Inversement, il est fréquent qu'un terme
> donné signifie plein de choses différentes en
> maths (ordre, normal, unitaire,... pour prendre ce
> qui me vient à l'esprit). Qu'est-ce que ça a de
> gênant? Le contexte est là pour trancher. Pour ce
> qui est des deux termes qui nous occupent, il est
> clair qu'on emploie l'un ou l'autre mais pas de
> manière aléatoire. Ainsi des fonctions affines au
> lycée et des applications affines de la géométrie.
> La tradition nous amène à des usages séparés mais
> l'essentiel est qu'on y voie la même chose :
> associer à chaque élément d'un ensemble A un
> élément de l'ensemble B.
Voilà un parfait résumé de la situation !
Quant aux points soulevés dans les posts suivants, j'y ai déjà répondu plus haut ; liront ceux qui ont des yeux pour lire. Ne souhaitant pas tourner en rond, je termine donc ici mes interventions dans ce fil.
> qui fixe l'ensemble d'arrivée arbitrairement à
> $\R$...
En quoi est-ce farfelu ?}
C'est farfelu en ce sens que, mis à part pendant les études "scolaires", classes prépa, concours enseignement capes et agreg (qui sont des "bacs" bis), les fonctions et les applications (dans le sens que j'ai dit) n'ont que rarissimement des ensembles d'arrivée inclus dans $\R$. Quel mot devra-t-on inventer, selon vos préceptes, pour parler de toutes les "fonctions" autres que celles dont l'image est incluse dans $\R$? (coloration de graphes, stratégies à des jeux, résultats d'algorithmes, etc)
{\bf oui} pour prétentieux, {\bf non} pour délirant. Tu connaissais la réponse en plus... {\bf je prétends} avec tout ce que ça a de péjoratif que j'ai donné les définitions officielles des mots {\it fonction} et {\it application}, et je le prétends {\bf prétentieusement!}
Rarissime, mon oeil! Il y a des tas de fonctions scalaires en physique, chimie, ingénierie, météorologie, astronautique, économie et j'en passe. Tes exemples (coloration etc) sont certainement très, très intéressants, mais faudrait de temps en temps sortir de ta tour d'ivoire!
Je raffole de cette initiation au trolisme... C'est vrai que ça existe, c'est trop mignon!
-- Schnoebelen, Philippe
Je n'ai pas été obséquieux mais avec ton ineptie sur l'utilité pratique des fonctions tu l'as cherché un peu.
En gros, pour ceux qui soutiennent la thèse fonction $\neq$ application, cela veut dire que si je dis l'"application racine carrée" je n'ai pas besoin de préciser que je vais considérer des nombres positifs, alors que si je parle de la "fonction racine carrée" je dois préciser qu'elle n'est définie que pour les réels positifs ?
Pour ma part, je ne faisais pas de distinction, et à l'avenir, je ne sais quelle attitude adopter !
J'offre un diner dans un très bon restaurant de poissons (la cagouille) pas loin de montparnasse à qui {\bf me prouve} que $\sqrt{\ \ }$ est autre chose... (je suis seul juge, mais je suis honnête lol le pari ne me ruinerait pas en cas de perte de toute façon)
Tant que tu n'as pas justifié qu'il n'y a qu'un et un seul nombre réel positif $y$ à être tel que $y^2=x$ si $x$ est positif et qu'il n'y en a pas du tout si $x$ est strictement négatif, tu te rends "coupable" d'affirmation gratuite en disant que la racine carrée est une fonction ou est une application...
Je te signale d'ailleurs qu'une preuve élégante, mais rigoureuse de {\bf l'existence} (j'ai envie de chauffer la salle lol) de $\sqrt{x}$ pour un nombre $x$ positif nécessite pas mal de prose auprès des enfants, et même des post ados non passionnés que par les maths...
Merci.
C'est la meme chose quand on note par f une fonction et son prolongement je pense.
Alors je propose : sqrt, c'est n'importe laquelle des applications (fonctions) (R+,A,G) avec R+ inclus dans A inclus dans R, et G = {(x,y)|x,y€R+ et y²=x}.
Par exemple, l'application (R+,R+,G) est surjective, (R+,R,G) ne l'est pas.
Pour le dîner, on s'organisera, vu que j'habite à 600 km de Paris
P.S. ne pas confondre
relation binaire : relation R(x,y) à deux variables libres x et y
relation fonctionnelle en y : relation R(x,y) telle que R(x,y) & R(x,z) => y=z
graphe (en dehors de la théorie des graphes) : ensemble de couples
graphe fonctionnel : graphe F tel que (x,y) € F soit une relation fonctionnelle
correspondance : triplet (A,B,G) tel que G est un graphe et proj1(G) inclus ds A, proj2(G) inclus ds B
fonction ou application : correspondance (A,B,G) telle que proj1(G)=A et G graphe fonctionnel
Petit guide à l'usage de menagex:
Avertissement préliminaire: je n'aborde pas la question pédagogique, je t'aide juste à "formuler" les choses mathématiquement. Peut-être, rien que faire ç, c'est être un mauvais pédagogue, mais peu importe, c'est un (interminable) débat
1) Quand tu désignes un objet par son nom , rien ne t'oblige à l'agrémenter d'un nom commun supplémentaire. Quand tu appelles ton chat, tu dis "Félix, viens manger", tu ne dis pas "Mon chat Félix, viens manger"
2) La théorie ambiante des maths est ZFC, certes, et la tradition est ensembliste, mais je ne crois pas que les "ensemblistes" revendiquent le pouvoir. Il y a un axiome (l'axiome d'extensionnalité) qui rend égaux bien des objets que l'homme aborde par des chemins différents... Pour te dire à quel point c'est un phénomène profond et non du "pinaillage" comme j'en ai reçu l'accusation, voici un petit exercice délicieux: prouve "P ou nonP" (P étant une proposition quelconque) à l'aide de la logique intuitionniste seule, de l'axiome du choix et de l'axiome d'extensionnalité (lol je suis méchant, mais ce sont là des maths, purement et simplement, et non des polémiques philosophiques)
3) 2 mots différents ou 2 expressions différentes peuvent être équivalentes, sans qu'on puisse le prouver. Idem, elles peuvent être prouvablement équivalente.
4) L'expression {\it f est une fonction de A dans B} est une expression avant tout écrite en français. Mathématiquement, il fallait bien lui donner un sens formel (tu ne vas quand-même pas me dire qu'on peut mettre des tonnes d'expressions parmi les notions premières), et ce sens formel est un prédicat 3-aire (je suis un peu chiant, j'avoue). Ainsi, {\it f est une application de A dans B} signifie mathématiquement que le triplet $(f,A,B)$ appartient à une certaine collection C1 (bien précise). De même, {\it f est une fonction de A dans B} signifie mathématiquement que le triplet $(f,A,B)$ appartient à une certaine collection C2 (bien précise). Ces 2 collections sont {\bf différentes} (et pas d'une manière artificielle!!). Elles ne contiennent pas les mêmes élements
5) dire "$f$ est une fonction" nécessite, si tu te trouves en face de quelqu'un qui te trouve ambigu, que tu t'expliques (tu ne vas quand même pas l'envoyer chier...)
Or, ni la collection C1, ni la collection C2 ne vont te satisfaire
6) Comme tu es un bon prof de lycée, soucieux de ne pas laisser l'ambiguité se pérenniser, que vas-tu dire à ton interlocuteur?
7) Comme tu es prof, je ne fais pas preuve de pédagogie, je te donne juste les infos, à l'état brut:
C1 est incluse dans C2. Si $f$ est telle que il existe A et B avec $(f,A,B)$ qui appartient à C2, alors il existe $A'$ inclus dans A tel que $(f,A',B)$ est dans C1.
Si j'ai pas joliment relancé le minitroll là... lol
****
Rajout 12h plus tard. Bon, bah ça n'a pas marché ma tentative de trol-catalyse...
J'ai dit (****) {\it Si $f$ est telle que il existe A et B avec $(f,A,B)$ qui appartient à C2, alors il existe $A'$ inclus dans A tel que $(f,A',B)$ est dans C1. }
Et personne ne m'a repris lol. J'aurais dû dire:
Si $f$, $A$ et $B$ sont tels que $(f,A,B)$ appartient à C2, alors il existe $A'$ inclus dans A tel que $(f,A',B)$ est dans C1.
Car dans la conclusion de (****), {\it ... il existe $A'$ inclus dans A tel que $(f,A',B)$ est dans C1} on ne sait pas de quel A je parle
Et personne ne m'a sauté dessus, snif...
T'as gagné l'entrée parce que je suis gentil (et parce que tu défends mon bord) et que je veux faire connaitre le macquereau à la moutarde de ce resto.
Mais je suis vraiment gentil, parce que j'ai bien dit que je donnais une définition de $\sqrt{\ \ }$. (Pour reprendre mon analogie du post précédent, j'ai défini Félix, pour éviter toute ambiguïté: {\bf je n'ai pas prétendu définir "le chat Félix"} lol)
Dis-moi quand tu viens à Paris... Quand les trolls deviennent payants lol
J'ai peur que le maquereau à la moutarde, bien que bon, ne soit lourd pour les 600 km de trajet... !!
Pour Christophe Chalons, merci pour tes explications claires (un peu moins pour le ton employé, mais bon, j'ai au moins une réponse).
Cependant je crois que je vais continuer à parler de fonction et de domaine de définition, puisqu'a priori on a le droit mathématiquement de le faire. Je n'utiliserai pas le terme d'application, puisque l'on peut s'en passer (pourquoi leur préciser, \ital{pour l'instant, en lycée,} que la restriction de la fonction à son ensemble de définition est une application ?)
Car cela ne me parait pas gênant de dire que la fonction racine carrée est croissante sur $\R$+, c'est vrai que c'est plus court de dire que l'application racine carrée est croissante tout court, mais au contraire les élèves risquent d'oublier l'importance du $\R$+...
Pardonne-moi: on ne maintient pas une bonne ambiance trollique sans casser des oeufs...
(Humour du soir !)
y'en a un qui a écrit la fonction de R dans R 1/x a pour domaine R*.
Je dis non son domaine est R (voir n'importe quel bouquin de catégorie) mais elle est définie sur R* par contre.
La je cite CC :
3) 2 mots différents ou 2 expressions différentes peuvent être équivalentes, sans qu'on puisse le prouver. Idem, elles peuvent être prouvablement équivalente.
Encore heureux que Hilbert est mort car sinon il se retournerait dans sa tombe ce qui n'est pas prouvable n'est pas vrai (théorème de complétude) donc soit deux trucs sont équivalents et c'est alors prouvable, soit ils ne sont pas équivalents et c'est prouvable, soit on ne sait pas mais on peut prouver qu'on ne sait pas ou enfin on est condamné à chercher pendant l'éternité (rien n'est prouvable) (je crois bien qu'il n'y a pas d'autres cas).
Bon sinon le truc initial fonction vs. application
Je crois bien qu'il y a des définitions officielles (celles de CC) que les écoles se doivent de respecter au concours de même pour l'examen du bac (la loi est la loi et elle est la même pour tous), dans le même esprit qu'une école n'a pas le droit de parler de ce qui est classé hors-programme au concours. Bien sûr dans ce domaine là on ne pourra jamais faire respecter ses droits. Il y a des autorités (compétentes ? non) mandatées par l'état pour fixer les programmes, on se doit de les respecter, ou au moins de dire aux élèves ce qui est officiel pour qu'ils le sachent le jour de l'exam, concours ou autre. Et bien sûr il faut avoir conscience qu'en règle générale la communauté mathématique n'emploie pas du tout les mêmes définitions que les programmes et qu'entre eux ils ne sont pas d'accord (suffit de voir la définiton des entiers positifs des anglais et celle des français).
Le but étant de fournir un bagage suffisant aux élèves pour comprendre leur interlocuteur (je me souviens avoir lutté trois quatre minutes quand mon prof écrivait que les pôles d'une fonction rationnelle faisait parti de l'ensemble de définition (ou qqc comme ça) vu qu'il ne le disait pas clairement et que mes définitions étaient différentes).
"Je dis non son domaine est R"
-> tu dis ce que tu veux (Hilbert disait bien chaise et table au lieu de point et droite).
A croire que djeloul a pris le pseudo de jean...
Je vous laisse à votre troll, oubliez pas de le nourrir
t-mouss
Je suis novice et viens récemment de m'intéresser à la différence entre application et fonction.
Je suis donc tombé sur ce forum.
Les définitions de C.Chalons me conviennent parfaitement mais il est vrai que ce troll semble long et compliqué pour donner une réponse simple et concise à D2W ou à toute autre personne qui n'étant pas spécialiste, désire tout de meme des éclaircissements quand elle n'a aucune réference initiale.
Comme il l'a été répété plusieurs fois ici, je crois qu'avant tout il faut extraire les notions de fonction et d'application du seul domaine des mathématiques analytiques et les élargir à la logique et à n'importe quelle situation d'analyse qui cherche à lier deux éléments.
Avant de parler de fonction ou d'application on parle d'abord de relation.
Alors la différence entre fonction et application prend son sens ; sinon elle est imperceptible voire inexistante.
Plutot qu'un long discours mieux vaut un court exemple :
Je prends l'exemple du Larousse encyclopédique 1991 (origin. 1977) qui me semble parlant pour un novice et qui illustre la "définition officielle" mais dans un cas qui sort des maths (ce qui m'a bien aidé pour initier un raisonnement) ; pour la suite on peut repartir sur toutes les considérations philosophiques mais nécessaires de ce troll (d'ailleurs je ne sais meme pas exactement ce qu'est un troll.):
Erlangen a semble-t-il clos le débat en rappelant non seulement le sens des mots, leur contexte historique d'emploi, leur lien avec les approches mathématiques à l'étranger... ce que je partage totalement.
Je voulais juste ajouter que l'enseignement des mathématiques en France aime cultiver les subtiles différences à faire suer les gamins. On avait les inoubliables problèmes de robinets puis les trains qui se croisent en pleine cambrousse sur de joyeux graphiques où il ne vaut mieux pas dessiner de jolies marguerites, avant que les "maths modernes" ne soient ravalées à cette si pertinente différence a posteriori entre fonction et application. Il est vrai qu'en revenant en arrière en supprimant des programmes la nécessité de préciser les "domaines" sous la protestation de parents face à ces soi-disant maths modernes (post soixantehuitarde de surcroît) qui font que leurs enfants sont des attardés bien sûr, on est sûr que les dits gamins ont plus de chance de se perdre dans les mathématiques et leur jargon. Mais peut-être que c'est une manière d'enseigner une certaine logique cartésienne dans ce pays où la logique mathématique reste la grande absente des programmes (mais peut-être ne veut-on pas pousser les enfants à devoir plancher sur la différence entre prédicat et dogme, je plaisante bien entendu).
Euzenius
Je te cite :"Erlangen a semble-t-il clos le débat en rappelant non seulement le sens des mots, leur contexte historique d'emploi, leur lien avec les approches mathématiques à l'étranger... ce que je partage totalement."
Peux-tu m'indiquer alors ce qu'a conclu Erlangen, s'il te plaît ?
Ou, à défaut, m'indiquer une référence, de préférence sur internet ?
Mes sincères remerciements.
Certes j'avais zappé sur les pages 2,3,4 et 5, mais ce qu'a indiqué Erlangen :
La distinction historique entre "fonction" et "application" est d'un tout autre ordre :
- le mot "fonction" est associé à l'expression "varier en fonction de" ; il avait initialement été introduit pour modéliser la dépendance de deux grandeurs physiques et ne concernait donc de ce fait que les fonctions numériques (en termes modernes : à variable réelle et à valeur réelle)
- le mot "application" provient au contraire d'une connotation plus géométrique, ce qui se voit sans doute plus clairement dans ses équivalents anglais "map" (littéralement : "carte") et surtout allemand "Abbildung" (littéralement : "image", au sens purement visuel du terme). En français, on a même adopté le mot "carte" en géométrie différentielle, par référence à sa signification géographique : une carte est une "image" plane d'une portion de la surface de la Terre.
Il faudra attendre l'essor du langage ensembliste pour se rendre compte que ces deux notions, jusque là sans lien car apparaissant dans des contextes totalement différents, peuvent en fait se formaliser de la même manière : ensemble de départ A, d'arrivée B, etc.
Malgré cela, les habitudes de vocabulaire sont largement restées les mêmes : la plupart des mathématiciens continuent à utiliser plutôt le mot "fonction" quand les valeurs sont numériques, et plutôt le mot "application" dans d'autres contextes, notamment géométriques.
La distinction qu'on a vu apparaître dans les manuels (fonction="il existe au plus un" ; application="il existe un et un seul") n'a donc rien à voir avec l'origine (même mathématique) de ces deux termes, et est somme toute assez arbitraire et artificielle.
fournissait les tenants et aboutissants de la subtilité de sens que l'on veut conférer aux deux termes aujourd'hui. Certains peuvent vouloir persévérer dans cette subtilité mais d'autres ne pas y accorder une importance universelle. Il est toujours possible de préciser le terme fonction s'il est flou, soit synomyme d'application, soit fonction au sens du CAPES, question de contexte.
Pardon pour m'être mal exprimé sans doute.
Euzenius
Euzenius
Je viens d'assister à un oral de CAPES et une nouvelle révolution mentale m'es tombé dessus !
J'ai le droit d'écrire f: R -> R : x |-> 1/x !!!
Moi qui croyait qu'il fallait absoluement écrire f: R* -> R : x |-> 1/x...
J'en suis venu à discuter de la notion de fonction et d'aplication avec le prof qui faisait office de jury.
Il m'a confirmé la chose, on peut donner une fonction réelle sans préciser son domaine de définition et plus fort, il m'a dit que le domaine de définition d'une fonction n'avait pas (plus) de sens. Au passage, la recherche d'un domaine de définition n'est plus au programme du secondaire. On donne une fonction en donnant son expression et le domaine sur laquelle on la considère.
En revanche, on ne peut parler d'application d'une partie de R dans R que si elle est bien définie sur cette partie.
Pourriez-vous m'éclairer en me donnant une bonne distinction entre fonction et application. J'avais posé la question à un prof d'algèbre, il y a longtemps, qui disait dans le cadre d'un cours sur les applications linéaires, que l'on était plus au lycée et qu'on parlait désormais d'applications et non de fonctions. Il m'avait juste dit que les fonctions étaient des cas particuliers d'applications définies sur R (ou C). Il semble que ce soit simpliste voir complètement faux.
Si vous avez des liens sur le sujet ou des références bibliographiques, je suis aussi intéressé.
Cordialement
Quentin
En attendant que tu te fasses une idée, si tu peux donner une fonction sans préciser son domaine de définition, comment définis-tu l'égalité de deux fonctions ?
A quoi ça sert que Cantor et compagnie se soient décarcassés :S
P.S. peut-on dire que cette question est un troll ?
je viens à la suite de ce vieux fil pour exploiter la question soulevée par incognito et gb :
La question est intéressante, incognito prétend que l'ensemble des fonctions de R dans R n'est pas un espace vectoriel...
et gb fait remarquer que si on somme 2 fonctions dont l'intersection des domaines de définition est vide (exemple R+* inter R-) ça semble poser problème...
mais dans son livre "toute l'algèbre de la licence" de Jean Pierre Escoffier, de Rennes 1, dans les toutes premières pages il explique qu'on peut considérer la fonction vide dont la source est l'ensemble vide....
donc moi je dirais que l'ensemble des fonctions de R dans R reste bien un espace vectoriel...
Qu'en pensez vous ? (ceci n'est pas un troll... ;-)
merci :-)
Fabrice
- le seule élément neutre possible est la fonction nulle (définie sur tout l'ensemble de départ)
- si f n'est pas définie sur tout l'ensemble de départ, on n'a donc pas d'élément g tel que f+g=0 (même avec g=-f)
Enfin, la fonction vide n'est pas un élément neutre (si on avait envie qu'elle le soit, il faudrait construire la somme de deux fonction en considérant que l'ensemble de définition de f+g est l'union des ensembles de définition... mais avec ça, la fonction vide aussi bien que la fonction nulle seraient des éléments neutres. Or il n'y a qu'un élément neutre dans un espace vectoriel... bref!).
À part cela, je découvre ce fil, et je l'ai trouvé assez intéressant. Merci aux contributeurs. Sans vouloir décevoir Christophe Chalons, je suis prof en prépa, et pourtant, je ne maîtrisais pas la différence entre les deux notions. B-)-
\begin{quote}La question est intéressante, incognito prétend que l'ensemble des fonctions de R dans R n'est pas un espace vectoriel...
et gb fait remarquer que si on somme 2 fonctions dont l'intersection des domaines de définition est vide (exemple R+* inter R-) ça semble poser problème... \end{quote}
Puisque je suis cité, je me sens obligé d'intervenir.
Je ne puis que renvoyer au petit couplet que j'ai écrit dans une précédente réponse
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?7,347392,347475#msg-347475}
sur les fonctions méromorphes.
Cela ne me gêne pas de dire que $f(z) = \dfrac{1}{z(z+1)}$ et $g(z) = \dfrac{1}{z(z-1)}$ sont des fonctions méromorphes sur $\C$, et que leur somme $h(z) = \dfrac{2}{z^2-1}$ l'est également.
Ce que l'on appelle traditionnellement l'ensemble de définition de $h$ n'est, ni la réunion, ni l'intersection, de ceux de $f$ et $g$.
Comme j'ose prétendre que les mathématiques sont, non pas un discours formel, mais un discours formalisable, il faut formaliser cette addition des fonctions, de façon à en faire une loi de composition interne sur un "ensemble des fonctions méromorphes", et on y arrive.
Par contre, en appelant "fonction" tout triplet $(E,F,G)$ où $E$ et $F$ sont des parties de $\R$, et $G$ un sous-ensemble de $\R^2$ qui est un graphe fonctionnel, je ne vois pas comment définir une structure d'espace vectoriel avec des lois de composition fournissant les résultats que l'on est en droit d'en attendre.
Cela ne me gêne pas outre mesure que la somme de $f(x) = \ln(x-1)$ et de $g(x) = \ln(-1-x)$ soit l'application vide, mais cette application vide risque fort d'obtenir le statut d'absorbant additif...
Le formalisme classique fournit tout ce qu'il faut pour rester rigoureux sans trop alourdir le discours
1) la manière "parfaite" d'écrire. Et c'est important, sinon, ce qui est écrit n'aurait pas de sens
2) la manière "tolérée" d'écrire. Cette dernière n'est pas officielle, mais utilisée sans que ça pose trop de problème. Par contre, il est effectivement dangereux de laisser "cette manière" tolérée "revendiquer" de se hisser à un statut officiel. Si elle y parvenait ce ne serait pas inconséquent, car on se retrouverait avec plein de contradictions irrémédiablement, à la fois certes superficielles, mais inextricables.
Si tu veux, c'est un peu comme les fautes d'orthographe (et j'en fais pas mal): certes, on comprend un texte avec des fautes, mais la "composante connexe" incluant les textes parfaits et stable par la relation (à une faute près) finit par contenir toutes les suites de lettres de l'alphabet (exercice).
Donc je te redonne la signification "officielle" des mots {\it fonction} et {\it application} et après tu en fais ce que tu veux lol:
1) L'expression française {\it $f$ est une fonction de $A$ dans $B$} signifie que $f$ est une partie de $A\times B$ telle que pour tout $x\in A$ il existe au plus un élément $y\in B$ tel que $(x,y)\in f$. Il est alors "mérité" d'appeler $f(x)$ cet (éventuel) unique $y$ (aucune confusion possible), et au pire de dire que $f(x)$ n'existe pas quand $\forall y\in B:(x,y)\notin f$
{\it L'ensemble de définition} de la $f$ ci-dessus (qu'on devrait en toute rigueur appeler $(A,B,f)$ est l'ensemble des $x\in A$ tels qu'il existe $y\in B$ avec $(x,y)\in f$ (vicieusement, ça se dit: ... tel que $f(x)$ existe)
2) L'expression française {\it $f$ est une application de $A$ dans $B$} signifie que $f$ est une partie de $A\times B$ telle que pour tout $x\in A$ il existe exactement un élément $y\in B$ tel que $(x,y)\in f$. Il est alors "mérité" d'appeler $f(x)$ cet unique $y$ (aucune confusion possible)
Une expression par exemple comme $x\mapsto x^2+3$ désigne l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que $y=x^2+3$. A mon avis tu peux bien mettre ce que tu veux à la droite de la flêche, ce n'est pas grave, de toute façon c'est un abus de langage dès le départ.
Pour pousser un peu plus loin l'analyse du pipi des matheux, la notion de variable liée (je ne te ferai pas tout un exposé) est à la clé de tout ça.
Peu importe comment tu comprends $x\mapsto 1/x^2$, du moment que tu le comprends comme $\lambda x (x\mapsto 1/x^2)$ qui lie la variable $x$.
Quand par exemple les (très mauvais) rédacteurs des sujets de bac ou autres examens un peu précoces (en maitrise à la rigueur, on peut peut-être exiger une compréhension du candidat) écrivent {\it on va étudier la fonction $f(x)=1/sin(x^2-7)$}, ils veulent dire:
{\it on va étudier la fonction $f:=\lambda x (1/sin(x^2-7))$} ou encore
{\it on va étudier la fonction $f:=x\mapsto (1/sin(x^2-7))$} ou encore
{\it on va étudier la fonction $f$ telle que $\forall x (f(x)=1/sin(x^2-7))$} ou encore {\it on va étudier la fonction $f$ telle que $\forall x (f(x):=1/sin(x^2-7))$}
Bref...
Les 3e et 4e versions posent le problème de l'ensemble de définition, problème qui serait évité par:
{\it on va étudier la fonction $f$ ensemble des couples $(x,y)$ tels que $(y=1/sin(x^2-7))$}
{\bf Remarque:} il n'existe pas (ça n'a pas été inventé, ni n'est authentiquement inventable) de notion de fonction qui serait distincte de celle de graphe. Attention, donc, si tu croises quelqu'un qui te dit le contraire: il s'agit probablement d'une personne qui ne maitrise pas ces questions, et se ressource à ses propres habitudes, mal psychanalysées.
Le texte fondateur est où ?
(C'est vrai que ce fil a une délicieuse tendance trollique)
Je ne comprends pas. Se quoi ? Mal quoi ?
-- Schnoebelen, Philippe
Il n'existe pas de notion de fonction qui serait distincte de celle de graphe (jusque là, ça va?).
Attention, donc, si tu croises quelqu'un qui te dit le contraire: sans commentaire
il s'agit probablement d'une personne qui ne maitrise pas ces questions ( catalyse trollisante),
et se ressource (du verbe "ressourcer") à ses propres habitudes, mal (à la place de "mal" j'aurais dû écrire "informellement, non mathématiquement") psychanalysées (en effet, la bienséante façon dont les gens experts comprennent des expressions insensées ne suffit pas à fonder un abus de langage, plus précisément à le rendre "non abusif").
En fait, c'est un fait sociologique que ces abus de langage sont tolérés par tous les experts. Du coup, les écriveurs de ces abus les utilisent quotidiennement avec un sentiment "d'impunité" (lol). Quand ensuite ils doivent faire une introspection du pourquoi ils s'autorisent ces abus de langage, ils en oublient presque (d'où la psychanalyse ratée) qu'ils ne font, au fond, que puiser dans l'acceptation des autres (leurs lecteurs) cette autorisation. C'est donc une introspection vouée à l'échec, puisque c'est dans les autres qu'il faut cherche, ie c'est une extraspection qu'il serait utile de faire
Que j'aime parler comme ça
Remarque: toujours se rappeler la dualité "prouveur-sceptique" des maths. Dès qu'on commence à confondre les rôles, les discussions interminables commencent.
je voulais dire une référence en dehors de ce forum, dans un livre de maths par exemple, écrit par un mathématicien ..