Paradoxe de niveau 2

christophe c · February 2007

Vous connaissez tous le "paradoxe" de la phrase qui dit "je suis fausse". Disons qu'il est de niveau zéro

Le "théorème de Godel" est en substance un paradoxe de niveau1, il établit rigoureusement que les phrase qui dit "je ne suis pas démontrable" dit quelque chose de mathématique sur le monde (à la définition près de "être démontrable")

Que pensez-vous du paradoxe de niveau2 (dans la même tradition, mais offrant une objection de moins) suivant?

Un voyant (modéré? lol) s'adresse au peuple en disant: je suis infaillible, je peux prédire l'avenir!

Quelqu'un (de méchant) lui demande ok, il est 14H, je te promets de dire une couleur à 15H, dis-moi laquelle je vais dire. Le voyant répond "tu vas dire vert"

Ils attendent 15H et le méchant dit "rouge!!!"

Le voyant, sans se démonter, rétorque: attends, attends, je n'ai pas dit que je prévois l'avenir influençable par mes réponses. Là en fait je savais que tuy allais te comporter de la manière suivante, je savais que tu allais agir modulo une application $f$ de l'ensemble des couleurs $C$ dans $C$ qui n'a pas de point fixe, qui à $x$ mon annonce à 14H $\mapsto$ (merci AD) $f(x)$ ta couleur dite à 15H...

à suivre dans 5mn (je le fais en plusieurs fois, pour éviter, un envoi global avec du latex erroné et un refus global où je mets 10ans à toruver l'erreur latex)

christophe c · February 2007

Ok, répond le méchant, donc, en fait, il faut que je te teste sur un truc où tu ne pourras pas prétendre que ta prévision influençait l'évènement prédit...

Je peux te cloner?

Le voyant répond "hé hé NON!!! je suis unique"
(exercice: d'après vous, pourquoi le méchant veut cloner le voyant)

Bon snif, alors, voilà: on joue à un jeu, j'écris quelque chose MAINTENANT sur un papier concernant un évènement FUTUR. Et ensuite, {\bf je ne fais plus rien}. Ainsi tu ne pourras pas dire, si tu te trompes, que ta réponse a influencé l'avenir... Si tu prévois que le truc va arriver tu dis tout fort "rouge" et sinon tu dis tout fort "vert"

Le voyant répond OK:

Le méchant prend alors un papier et écrit "tu vas dire vert".

Le voyant répond alors "rouge"

christophe c · February 2007

"HHHHAAAAA!!! " dit le méchant, t'as perdu....

Le voyant, tranquillement, répond: je ne pouvais pas gagner, je savais très bien que j'allais dire "rouge" mais tu m'as demandé de dire "rouge" si je prévois que le truc arrive et vert s'il n'arrive pas. Si j'avais dit, disons, changé d'avis, tu m'aurais aussi répondu que je me suis trompé.

"Grrr" mais alors quelles sont les vraies règles du jeu??? répond le méchant.

christophe c · February 2007

Le voyant lui dit "bah ne triche pas, demande-moi vraiment un truc précis et clair, dont tu sois sûr que mon intervention, quand j'obéis à tes caprices de te manifester, d'une manière ou d'une autre, que je sais ce qui va se passer, n'ait aucune influence sur l'évènement.

Ok, répond le méchant: donc si je te demande un truc qui concerne le passé là avoues tu ne peux pas prétendre que ta réponse l'influence!

Certes, répond le voyant...

christophe c · February 2007

M:donc tu connais intégralement le passé?

V: oui!

M: ok, ok, alors on recommence avec rouge et vert.

V: si tu veux, tu veux que je fasse quoi?

M: comme tout à l'heure, mais on inverse. Si tu prévois que la phrase que j'écris est vrai tu dis vert, et sinon, tu dis rouge

V: ok

christophe c · February 2007

M: T'as le droit de te tromper par contre, mais dans ce cas, on est bien d'accord, si tu te trompes, ça voudra dire que j'ai dit une phrase qui concerne l'avenir!!

V: Euh, bah oui... ou qui n'a aucun sens.

M: bah là il te suffit de me le signaler

V: oui effectivement...

christophe c · February 2007

M: J'appelle $I$ l'affirmation que toutes les phrases qui sont prouvées sont vraies.

V: le sens du mot "vrai" hum, hum...

M: concrêtement, celle auxquelles tu répondrais "vert" si je les écrivais sur le papier. Toi-même garantis que ça a un sens...

V: oui, là d'accord...

(vile flatteur vit au dépends de celui qui l'écoute)

christophe c · February 2007

Et là, le méchant écrit sur le papier

{\it Je peux prouver que $I$ implique que tu vas dire rouge}

et le donne à V

Le voyant semble déconcerté.

M: qu'est-ce qui va pas? demande M au voyant

V: non, en fait ca va, c'est curieux, au départ, j'ai cru que ca concernait le futur, mais en fait, non, tu me dis bien que tu peux prouver que je vais dire "rouge" en te servant de l'hypothèse I, donc...

M (qui finit sa phrase): cette phrase ne concerne pas le futur, et même plus que ça, on peut carrément dire qu'au moment du big bang, elle avait déjà un sens... Hé, hé en fait, je te pose une question d'histoire...

V (qui se met à pleurer) dit: "vert"

... et meurt!

christophe c · February 2007

Condamnation du voyant (ie preuve qu'il va avoir des problèmes TRES sérieux, plus sérieux qu'avec le niveau 1 ou le niveau0):

Si $I$ et $P$ alors

il est prouvé que $I\to nonP$

Mais, comme $I$,

$I\to nonP$

On vient de prouver que $I\to nonP$

Donc $P$

Donc $nonI$

Mais $I$ n'est que l'idée qui dit que tout ce qui est prouvé arrive.

Interdit, pour résoudre le paradoxe, de répondre qu'énoncer $I$ est trop problématique. Car je vous répondrai que, fondamentalement, énoncer le vrai sens de $2+2=4$ l'est aussi...

L'existence de $P$ est encore moins problématique, à priori... C'est une "godélite" (certes, un peu plus exotique que d'habitude) puisqu'elle dépend de $I$ elle-même évanescente

L'Axone du Choix · July 2015

Je continue à déterrer des vieux sujets, mais n'est ce pas simplement l'indéfinabilité de la vérité?

L'Axone du Choix · July 2015

J'ai l'impression que l'on prouve que "tout ce qui est prouvable est vrai" est fausse, mais que pour autant, on ne peut pas construire d'énoncé prouvable qui soit faux...

christophe c · July 2015

Encore bravo tu as compris

christophe c · July 2015

Je formalise pour pouvoir poser une question technique que j'ai déjà abordée sur le forum.

Dem (X) veut dire X est démontrable. On s'est placée dans une logique sur second ordre "propositionnelle" dont je vous laisse deviner les axiomes. Elle est un peu hybride

P=dem(W=>(P=>tout)) (Rappel tout est l'énoncé pour tout X:X, c'est ce que les matheux appellent le faux)

remarque P est "il est démontrable que ma conjonction avec W implique tout". Pas besoin de Gödel (C'est un point mal compris en général) pour voir qu'a la définition près des mots qui la composent P est un énoncé de maths: elle prétends qu'une certaine suite de caractère a une certaine propriété calculable

W est l'énoncé "pour tout X dem(X)=>X"

Exercice: prouver que W=>(P=>tout)
En déduire P
En déduire non W

On obtient donc "il existe X tel que dem(X) et non X"

Question: ne peut on pas aller un peu plus loin dans ce système et trouver une formule close prouvable et fausse?

Paradoxe de niveau 2

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