le forcing expliqué aux matheux ordinaires

Je n'ai pas précisé ce que veut dire {\it sous-ensemble de $E$ définissable avec paramètres}:

Ici , je vais supposer (par pure commodité, pour ne pas êcrire un message pendant 1H) que $E^n\subseteq E$, pour tout entier $n>0$. Ainsi, ça évitera de passer par une usine à gaz de définitions (certes naturelles) où on doit chaque fois préciser "l'arité".

Les ensembles définissables forment le plus petit ensemble stable par les opérations suivantes:

* projection: si $A$ est définissable alors l'ensemble des $x$ tel qu'il existe $y\in E$ avec $(x,y)\in A$ l'est aussi

* passage au complémentaire

* "diagonalisation" si A est def alors l'ensemble des $x$ tel que $(x,x)\in A$ l'est aussi

* je ne sais pas comment l'appeler (lignation peut-être): si $A$ est def et si $a\in E$ alors $\{x/ (a,x)\in A\} $ l'est aussi (d'où le mot paramètre)

* subsititutions: si $A$ est def et si $\sigma \in S_n$ alors $\{ (x_1,..,x_n)/(x_{\sigma (1)},..,x_{\sigma (n)})\}$ l'est aussi

* passage aux produits finis

Et je crois que c'est tout. En gros tout ce qui nous permet de faire des phrases

On considère $\{(x,y)\in E^2/ x\in y \}$ comme définissable et on clôt par les opérations précédentes.

S'il y avait une contradiction dans la théorie ZFC+HC, on pourrait écrire une preuve du "faux" (c'est à dire, une preuve que tout est vrai) en utilisant des axiomes de ZFC et éventuellement HC. Pour simplifier imaginons cette preuve écrite "textuellement" sous forme d'une liste de phrase $P_1,..,P_n, All$. Chaque $P_i$ qui ne découle pas d'une manière évidente et formelle des précédentes est soit un axiome de ZFC soit HC.

(Remarque: c'est ça une preuve, même si ya plein de versions lol)

On remplace chaque $P_i$ par $P_i^L$. ***

***Quand $Q$ est une phrase, $Q^L$ est la phrase obtenue en "la relativisant" à $L$.

Les seules $P_i^L$ qui ne découlent pas des $P_j^L$ précédentes sont de la forme $HC^L$. ou $P_i^L$, $P_i^L$ étant un axiome de ZFC

Comme $HC^L$ est un théorème de ZFC (et comme pour tout axiome $Q$, $Q^L$ est un théorème de $ZFC$) la preuve $P_1^L,..,All^L, All$ peut se "raffiner" en une preuve valable dans ZFC et qui aboutit à All (le faux, ou encore la contradiction)

Pour en revenir un peu à HC, voici un exercice (qui est une des étapes de la démonstration d'indépendance) que je ne crois pas avoir encore donné:

{\it Soit $E$ un ensemble et on s'intéresse aux applications partielles de $E\times \N$ dans $\{0,1\}$, dont le domaine (ensemble de définition) est fini. On considère 2 telles applications $f$ et $g$ comme incompatibles quand elles vérifient: il existe un élément $(x,n)$ qui $\in D_f\Cap D_g$ tel que $f(x,n)\neq g(x,n)$. Soit $T$ un ensemble de d'applications partielles à domaines finis 2 à 2 incompatibles: prouvez que $T$ est dénombrable}

Je rappelle qu'une application partielle $f$ de $E$ dans $F$ (aussi appelée fonction) est un ensemble de couples $\in E\times F$ tel qu'il n'existe pas 2 couples ayant la même abscisse (l'abscisse de $(a,b)$ est $a$). L'ensemble des "abscisses" des couples de $f$ est le "domaine" ou encore "l'ensemble de définition" de $f$ et je le note $D_f$.

rep à "tapis": Il n'y en a pas!

Au sens propre du terme, ZFC+HC décide évidemment HC (de même $ZFC+\neg HC$ décide HC) mais ce n'est pas une théorie constituée d'axiomes tous acceptables.

Hugh Woodin a accompli toute une étude qui donne un "avantage" {\bf déontologique*} à $\neg HC$. Là je suis dans un cyber, mais je mettrai le lien ultérieurement vers un pdf "subjectif" de P.Dehornoy qui résume l'aventure de Woodin.

*{\it En ce sens que ça ne convainc pas que HC est faux, mais plutôt que "nous aurions divers avantages à accepter l'axiome $\neg HC$, un peu de la même façon qu'une définition n'est pas "une vérité absolue" comme on voudrait le croire de nos axiomes, mais présente des avantages à "être crue". }

Je rappelle ce qu'est $L$: c'est la plus petit collection qui contient tous les ordinaux et qui, quand elle contient un ensemble $E$ contient forcément aussi toutes les parties définissables de $E$ ainsi que l'ensemble $T$ des parties définissables de $E$.


Une partie étant dite "définissable" quand elle est l'ensemble des éléments tels que ..., où les pointillés sont remplacés par une phrase écrite avec les connecteurs logiques "et" "ou" "implique" et les quantificateurs $\forall$ et $\exists$

C'est une bonne idée, mais je vous recommande de recopier l'avant avant dernier post qui était particulièrement pourri et que je viens de corriger.

***

Après avoir parlé (volontairement) en termes d'algèbre de Boole, je vais présenter une version moins intuitive, mais plus historique.

Etant donné un ordre partiel {\bf absolument quelconque}, noté $P$, le forcing consiste à donner un sens à une notion amusante:

$p$ force $ A\to B$ quand tout $q\leq p$ qui force $A$ force aussi $B$

$p$ force $\forall xR(x)$ quand $p$ force n'importe quelle $R(u)$ pour $u$ variant sur une collection que je préciserai plus tard.

Donc si $G$ (éventuellement extérieur à l'univers) est générique, il {\bf donne} comme un "oracle" la réponse à la question "tu préfères $P$ ou tu préfères $nonP$? pour chaque énoncé $P$. En effet, par définition, il rencontre chaque dense précité (au post d'avant).

Maintenant, vous pourriez vous demander {\it mais, même à l'extérieur de l'univers, au fond, existe-t-il des $G$ génériques?}

A cette question, la réponse ne peut être que {\it philosophique}, mais, exactement de la même façon qu'on s'autorise les définitions (qui ne sont pas des axiomes "vrais" mais plutôt des axiomes {\bf inoffensifs}) P.Cohen a montré qu'on peut {\bf inoffensivement} croire à l'existence de $G$ (extérieur à l'univers).

Supposons que chaque $D_n\subseteq P$ soit dense pour $n\in \N$. Prenons $p_n\in D_n$ tel que $p_{n+1}\leq p_n$. Alors, au regard uniquement des $D_n$, l'ensemble des $p_n$ est générique.

Si vous imaginez que les $D_n$ énumèrent surjectivement tous les denses d'un monde $M$ dénombrable (qui ne se sait pas dénombrable!) répondant à tous les axiomes des maths, alors l'ensemble des $p_n$ est un générique "extérieur" au monde $M$ auquel les habitants de $M$ (qui en rêvent) ne courent aucun risque de croire à son existence.

Solution (résumée) à l'un des exercices:

L'exercice: soit T un ensemble de "disjonctions", chaque disjonction étant un ensemble d'objets de la forme (0,a) ou (1,a), les "a" variant dans un ensemble appelé P.



Démontrer que, ou bien il existe une "preuve" (un enchainement d'évidences) qu'il n'existe pas d'ensemble M qui ne contient jamais à la fois (0,x) et (1,x) et qui a une intersection non vide avec chaque disjonction de T ou bien il existe un algebre de boole complete B et une application f de {0,1}xP dans B telle que:

la disjonction (au sens de des f(y) pour y dans H vaut 1_B, quelquesoit H appartenant à T

la conjonction (au sens de de f((0,a)) et de f((1,a)) vaut toujours 0, pour n'importe quel a dans P.


Correction: j'ai la flemme... lol

Avant d'aller au dodo, rappel ou first information:

J'appelle V l'univers de tous les ensembles. Je suppose qu'ils sont tous bien fondés ce qui implique que l'univers est la réunion des V_alpha, où pour chaque alpha, V_alpha est défini par: V_alpha:=ensemble des parties de la réunion des V_beta, beta<alpha

Modele booléen (cette construction a été un grand progrès dans la présentation intuitive du forcing). Soit B une algebre de Boole complete.

Au lieu de prendre l'ensemble des parties (qui consiste à ne s'interesser qu'à "vrai" et à "faux" comme valeurs de vérité), on va faire une autre construction. T_alpha est l'ensemble des applications de la réunion des T_beta, beta<alpha dans B. Par abus de langage, si f est une telle application et que x n'est pas dans la réunion des T_beta ci-dessus, on decrete que f(x)=0_B (ie la NON-appartenance de x au pseudo ensemble f est totalement sûre.

Les objets ainsi construits sont des "pseudo-ensembles". Etant donné 2 tels objets, a et b, l'appartenance (sa valeur de vérité, ou encore histoire d'être provoquant, sa probabilité, ou encore son amplitude) de a à b est toujours un élément de B donné par b(a) (réel ou langagièrement abusé).

Soit maintenant, un sous-ensemble de B, G qui soit "générique" (et sauf cas triviaux en dehors de l'univers).

Pour chaque a on définit (récursivement) a':=l'ensemble des b' tels que l'appartenance de a à b est dans G (ie b(a) appartient à .

Autrement dit, la valeur de vérité de la phrase "a appartient à b" qui est un élément de B est "tranché" par la donnée une bonne fois pour toute de G. Les a' pour a variant dans tout l'univers forment un univers plus grand (contenant) l'univers des V du début du post. C'est ça une extension générique.

Histoire de faire remonter le fil, je donne une correction d'un des "laissé au lecteur". Il s'agit de l'équivalence suivante pour un G (éventuellement extérieur à l'univers (plupart des cas)):

(1) Etre générique (c'est à dire filtrant, intersecter tous les denses et stable par "surélément", ie si a est dans G et si b>a alors b est dans G)

(2) pour chaque famille $(a_i)_i$ de l'univers, si tous les $a_i$ pour i dans I sont dans G, alors leur conjonction est dans G et aussi a est dans G ou non(a) est dans G, et of course, si a est dans G et $\geq a$, alors b est dans G.

(1) implique (2). Soit D l'ensemble des éléments qui sont orthogonaux à la réunion des a_i (borne sup plutot) ou qui sont plus petit que l'un des a_i. D est dense et dans l'univers. G l'intersecte. Comme G est filtrant, et qu'il contient tous les a_i, il ne peut contenir un élément orthogonal à la disjonction des a_i. Donc il contient un $b\leq$ l'un des $a_i$, CQFD

(2) implique (1). Soit D un ensemble dense qui est dans l'univers. Soit $(a_i)_i$ une "antichaine" maximale d'éléments qui sont dans D (ie les $a_i$ sont 2 à 2 incompatibles (orthogonaux), et on ne peut rajouter un b, orthogonal à tous les $a_i$. Il existe un des $a_i$ qui est dans G. En effet, sinon, la conjonction c des $non(a_i)$ serait dans G, mais comme l'antichaine que forment les $(a_i)$ est maximale, c serait =0. En effet, sinon, comme D est dense, il existerait un $e\leq c$ qui est dans D, et pourrait être ajouté aux $a_i$.

Un jeu infini est la donnée d'un sous-ensemble $A$ de $E^\N$

Le cadre imaginatif consiste à considérer que 2 joueurs s'affrontent, en jouant alternativement $u_1;u_2;u_3...$ de manière à former une suite $u$.

Le joueur nommé pair joue les $u_1;u_3;u_5;...$

Et le joueur nommé pair joue les $u_{2n}$

Voici un théorème qui ne semble jamais mentionné nulle part (donc j'en profite) et qui est pourtant "esthétique" et peut-être important:

Quelque soit le jeu $A$, ou bien le joueur pair a une stratégie infaillible, ou bien il existe une extension générique de l'univers dans laquelle le joueur impair bat toutes les stratégies de l'univers de départ sans se faire soupçonner d'être "à l'extérieur" de l'univers (je vais préciser ultérieurement)

Merci...

Avant de prouver ce que j'ai dit au-dessus, j'introduis des définitions abstraites pour parle de "jeux".

Une {\it structure ludique} est la donnée de $(M,G,D,P)$ où $M:G\times D\to P$ est une application appelée "opération match". Les éléments de $G$ sont les stratégies du joueur de gauche et ceux de $D$ sont les stratégies du joueur de droite. Si $(s,t)\in G\times D$ alors $M(s,t)\in P$ s'appelle la partie jouée quand les stratégies $s$ et $t$ s'affrontent

Une strcuture ludique est dite {\it déterminée} quand pour tout sous-ensemble $E\subseteq P$ de $P$ on a (1) ou (2) avec

(1) $\exists s\in G \forall t\in M(s,t)\in E$

(2) $\exists t\in D \forall s\in G: M(s,t)\notin E$

Autrement dit, quand pour n'importe quel jeu, il existe pour un des 2 joueurs une stratégie infaillible.

{\bf Théorème1:}

Toute structure "observable-réduite" est déterminée

{\bf Théorème2:}

Si une structure est réactive ET déterminée, alors elle est observables-réduite.

Pour faire remonter le fil, et parce que je n'en ai pas assez parlé: le théorème de Lowenheim Skolem

J'ai ouie dire que beaucoup de gens le trouvent "surprenant" et le considèrent comme un paradoxe. Je n'ai pas l'habitude de nier le "caractère paradoxal" de quelque chose, je trouvé ça malhonnête en général, mais présentement, le th de LS n'a rien d'un paradoxe.

Tout ce que vous prouvez, vous le prouvez avec un nombre fini de mots. Les mots utilisés, peuvent être détournés de leur rôle pour devenir des "objets" formant un modèle qui vérifie des énoncés dont les négations ne sont pas prouvables. Ces modèles ne contiennent pas plus d'objets qu'il y a des mots.

En maths, on admet tacitement (et officiellement) des axiomes (ceux de ZF+en option AC;AD;AF). Ces axiomes forment une théorie comme une autre. Et si elle est consistante, elle a un modèle (par le théorème de complétude) dénombrable. Dans les posts suivant, je vais introduire une manière "différente" (de celle utilisée par le forcing) de "croire en l'existence" d'objets "extérieurs" à l'univers. Ca permettra aussi de "réviser" tout un tas de démonstrations non... convaincante.

Commençons par un premier argument. Vous avez tous entendu dire que l'axiome du choix permet de mettre un bon ordre sur chaque ensemble. Très bien! Faisons-le avec $\R$:

Soit $\phi $ une application de $P(\R)$ dans $\R$

Etant donné une partie non vide $A\subseteq \R$ de l'ensemble des réels {\bf quelconque}, on suppose que $\phi (A)\notin A$. On construit une "suite ordinale" comme suit:

$u_\alpha:=\phi (\{u_\beta/\beta<\alpha\}$

Soit le premier ordinal $\theta$ tel que $\exists \alpha<\theta$ avec $u_\alpha = u_\theta $. Il s'ensuit que $u$ est une bijection entre $\theta$ et $\R$. En effet, $\{u_\beta/\beta<\theta\}$ ne peut qu'être $\R$ "tout entier"!

Très bien... C'est un amusant raisonnement (qui fait penser au raisonnement par l'bsurde). Finalement tout est "donné" par les axiomes. On n'est pas convaincu-convaincu que ce raisonnement fait de $\R$ (le "vrai $\R$" ensemble de tous les nombres réels) "réellement" un ensemble bien ordonnable. Voici les objections philosophiques incontournables auxquelles on n'a rien à répondre:

1) La fonction $\phi $ n'a permis, via les autres axiomes, que de mettre un bon ordre sur $\R\cap M$, où $M$ est le modèle dans lequel on "travaille". Ainsi, si vous croisez un extraterrestre qui vous présente un {\bf incontestable nombre réel} (une suite de zéros et de 1), {\bf rien ne vous dit qu'il est dans $\R\cap M$}. La seule chose que vous avez c'est que l'axiome du choix {\bf proposé par $M$ va avec l'existence de $\phi$}

2) L'axiome dit "de remplacement" donne accès à "$\theta$". Mais a-t-on un "contrôle" sur la taille de $\theta$? Et bien la réponse est non! Et prouvablement "non"! C'est toute la découverte de Paul Cohen. Ainsi, en dehors de notre axiome-hypothèse de remplacement comme on dit, {\bf rien ne devrait garantir dans l'absolu} que la "suite ordinale" des $u_\alpha$ s'arrête un jour. Elle ne s'arrête que {\bf parce qu'on décrête} qu'il ne doit pas y avoir d'injection des ordinaux dans $\R$.

Il est notable qu'en plus de ça, l'objection (2) {\bf est soutenu par un jeu} (comme il en a été question dans les posts ci-dessus). Le voici (post suivant, pour éviter de chercher des heures les erreurs latex lol):

{\it l'idée suivante consiste à munir les $B\subseteq \R$ (stables ou non) d'un bon ordre (si on peut).

Un couple $ ( B , < ) $ est "opé" par définition ssi:

1) $<$ est un bon ordre sur $B$

2) pour tout $x\in B:x=\phi (I_x)$ en notant $I_x:=$ l'ensemble des $y\in B/ y<x$

On "sent" qu'on tient là un petit peu la même chose que la $u$ de tout à l'heure...
}

Je reviens aux jeux, matchs, et stratégies définis au post du 24/8/2007 à 14h42

l'ensemble $E$ sera $2$ ie $E:=\{0;1\}$

Il y a 3 théorèmes qui ont défrayé la chronique des théoriciens des ensembles entre 1975 et 1990 environ:

1) Les jeux boréliens sont déterminés. Ce qui s'exprime formellement par:

Pour toute partie borélienne $A$ de $2^\N$ ou bien il existe $s$ telle que $\forall t: M(s,t)\in A$ ou bien il existe $t$ telle que $\forall s: M(s,t)\notin A$.

Ca été démontré par Martin en 1975. H.Friedman a prouvé que pour prouver ce théorème on est obligé d'utiliser "presque toute" la puissance de ZF

C'est un des rares problèmes {\bf décidables} dont on a {\bf prouvé} que toutes ses démonstrations sont subtiles et longues.


2) Les jeux analytiques sont déterminés si on suppose l'existence de grand cardinaux (J'ai mis un fil où sont énoncés quelques tels axiomes). Je n'insiste pas pour l'instant, je vais écrire la preuve dans un futur post. Un ensemble analytique dans $2^\N$ est l'image par une application continue de $\N ^\N$ dans $2^\N$ d'un borélien dans $\N ^\N $

3) On fait si on suppose qu'il existe de très grand cardinaux, tous les jeux projectifs sont déterminés. Et l'axiome AD est consistant. Je détaillerai dans de prochains posts.

J'énonce maintenant un axiome accessible à la clientèle "profs de prépa" de ce forum qui ressemble assez à AD et utilise des objets qui leur sont familiers.

{\bf Axiome:}

Pour toute partie $A$ de $\R ^2$ il existe une application $f$ de $\R$ dans $\R$ continue sur $\R-\Q$ et telle que:

$(\forall x (x,f(x))\in A)$ ou $(\forall x (f(x),x)\notin A)$


Autrement dit le grpahe de $f$ est inclus dans $A$ ou le symétrique du grpahe de $f$ par rapport à la diagonale du plan est disjoint de $A$

uops, j'ai délaissé un peu ce fil ces derniers mois: promis "mediat", dès que j'ai 2H de libre d'affilée, je me force à copier-coller tous les posts, à débugger et à mettre en ligne un joli html et un pdf avec des gros caractères.