analyse non standard

Je préjuge que beaucoup d'entre vos ont entendu parler "d'axiomes de grands cardinaux" sans jamais en avoir vu un digne de ce nom...

Je profite du fil pour vous en écrire un (j'ai choisi un des plus puissants axiomes de grand cardinal "enregistré" à l'académie (Woodin, par exemple, se sert d'axiomes moins puissants).

{\it Il existe un ensemble $E$ qui est {\bf standard} et tel que pour n'importe quel ensemble $F$ standard, il existe une application $f$ de $E$ dans $F$ telle que:

1) Pour tout $b\in F$ standard, il existe $x\in E$ avec $f(x)=b$

2) Pour toute application standard $L$ de $F^E$ dans $E$, il existe un élément standard $b\in F$ tel que $f(L(f))=b$}


\centerline{*************}

Pour les moins gourmands, voici un axiome de grand cardinal raisonnablement puissant:

{\it

Il existe un ensemble $E$ standard et un élément $x\in E$ {\bf non standard} tel que pour toute application {\bf standard} $f$ de $E\to \N$ l'image $f(x)$ de $x$ par $f$ est un entier standard.

}

Cet axiome affirme l'existence de ce qu'on appelle un {\it "cardinal mesurable"}


}

euu, en clair tu dis que c'est faux? ie que il est possible d'étudier sérieusement le comportement des processus différentiels sans une formation en analyse non standard?

Parce n'y connaissant rien aux P.D, je n'ai aucune idée de la valeur de cette déclaration, mais si c'est vrai (enfin à peu près vrai) alors c'est un argument assez direct pour dire qu'il faut s'y former, non?

Ah d'accord...

Je pensais que "processus différentiels" étaient un truc très connu, genre comme "edp", etc...

ok, en fait avant, quelques précisions sur ce qu'est l'ANS socioscientifiquement, car je pense qu'elle a été un peu galvaudée.

Il me semble qu'il y a deux familles de gens: ses fondateurs, autrement dit ceux qui ont prouvé qu'elle est conservative (tout théorème prouvable avec est prouvable sans), etc, qui ont "la bonne vision" de sa place (et de celle qu'elle fait gagner) dans les preuves et l'intuition

Ceux qui l'ont "apprise" et la diffusent mais ne sont pas spécialistes de ses fondements et donc donne une vision erronée de ce qu'elle permet car ils l'ont réimportée dans leur domaines de prédilection à eux et vantent l'accélération qu'elle permet dans leur domaine à eux. Elle est donc sureprésentée publicitairement dans des domaines où elle apporte que peu, mais qui hélas sont les habituels trucs à la mode (les programmes scolaires, les calculs et la vision des limites et de la continuité, etc). Au nom de ça, elle s'est fait un peu décrié par des grand mathématiciens qui à l'inverse mesuraient "le peu de raccourcissement" qu'elle apportait "à ces quelques preuves". La critique était donc illégitime puisque n'attaquait qu'un oubli. Le fait qu'elle soit vantée dans le domaine X médiatique n'impliquait pas qu'elle est sans intérêt dans le domaine Y, ce n'était simplement pas publicité.

Là où elle semble efficace, c'est en topologie et particulièrement en ce qu'elle transforme des preuves de longueur 500 dont 200 utilisée pour passer par les ultrafiltres en preuves de longueur 500-200+1=301, par exemple.

Les edp, et toutle tralala similaire n'a pas tellement besoin de l'axiome de standardication or c'est lui qui est souvent efficace. Par ailleurs la vision qu'elle procure colle aux intuitions.

Quelques classiques:

1) prouver le théorème de Tychonoff en 3 lignes (sans tricher) avec l'ANS
2) prouver les théorèmes d'Ascoli en 5 lignes avec l'ANS

3) Prouver que $f$ est $C^1$ sur $\R$ ssi pour tout $a\in \R$ standard, et tous $x,y$ superproches de $a$, mais différents, $(f(x)-f(y))/(x-y)$ est superproche de $f'(a)$

4) Prouver que tout evt localement compact est de dimension finie en quelques lignes avec l'ANS

un peu moins classique:

5) définition: soit $E$ un ensemble standard. Soit $x\in E$. On dit que $x$ est suspect s'il n'est pas standard et qu'il exists une application standard de $E$ dans $\N$ telle que $f(x)$ n'est pas standard. On dit qu'un ensemble $E$ standard est petit quand $\forall x\in E: x$ est standard ou suspect. On dit que $x$ est un espion quand il n'est ni suspect ni standard.

5.1) Prouver que $\N; \R; P(\R)$ sont petits. Prouver tout $E$ qui est petit, est tel que $P(E)$ est petit.
5.2) Existe-t-il un ensemble $E$ standard contenant un couple $(x,y)$ tel que $(x,y)$ est suspect bien que ni $x$ ni $y$ le soit
5.3) Soit $E$ un ensemble standard et $D$ une partie dénombrable et infinie de $E$. On suppose que pour tout $x\in D$ qui est l'image de $D$ par au moins une fonction standard: $D-\{x\}$ n'est pas suspect. Se peut-il que $D$ soit suspect?
5.4) Soit $H$ un espace de Hilbert et $x\in H$ un espion. Démontrer qu'il existe un "unique" représentant standard $a$ de $x$, ie tel que $\forall b\in H$ standard $dist(b,x)\geq dist(a,x)$.


6) Le théorème de Hindman dit la chose suivante: si $f$ est une application de $\N$ dans $2$ alors il existe une partie infinie $A$ de $\N$ et $i\in 2$ telle que pour toute somme $s$ d'éléments de $A$ (on ne les répète qu'une fois dans la somme) $f(s)=i$. Déduire le théorème de Hindman du théorème de Ramsey en quelques lignes avec l'ANS. (Remarque: sans ANS, toutes les preuves de Hindman sont longues et d'une certaine manière subtiles et il ne me semble pas qu'il soit connu qu'on puisse le déduire de Ramsey facilement).

Aide: il existe un couple d'entiers $(n,p)$ supergrand tous les deux, tels que $p>n$ et tel que pour tout fonction standard de $\N$ dans $\N$, si $f(p)\leq n$ alors $f(p)$ est standard.


7) L'ANS permet aussi d'avoir une vision simplifiée de trucs analytiques probablement assez compliqués: soit $H$ un hilbert et $k$ un cardinal. Je ne définis pas, on peut l'axiomatiser de manière simple, ce que peut bien vouloir dire une hypersurface $C^1$ qui traverse tout $H$. C'est une sorte de généralisation gondolée des hyperplans. Soit $S$ une telle hypersurface. Soient maintenant deux parties $A,B$ deux parties de $H$. on dit qu'elles ont la propriété $P(A,B,H,k,S)$ quand pour tout couple de parties $(X\subseteq A,Y\subseteq $ avec $k>card(X), card(Y)$, $X$ et $Y$ se trouvent de part et d'autre de $S$.

Question: existe-t-il $k$ tel que pour tout $H$ toute S hypersurface blabla de $H$ et tout $A,B$ inclus dans $H$: si $P(A,B,H,k,S)$ alors $A$ et $B$ se trouvent de part et d'autres de $S$? L'ANS permet de voir très vite que c'est raisonnable de le penser. Exercice: donner une condition nécessaire et suffisante "naturelle" concernant uniquement les ordinaux et les cardinaux pour que ça arrive. (Le faire avec les hyperplans et remarquer que l'argument ANS passe tel quel aux hypersurfaces gondolées)


Sinon, je pense qu'en tapant "ANS" dans le moteur avec "toutes les dates", on doit pouvoir trouver pas mal de résolutions ANS courtes de problèmes posés par des intervenants que j'ai posté à divers moments.

Si je pense à d'autres trucs je les posterai.

13) Soit $E$ compact et $f_n$ des fonctions continues de $E\to E$. Prouver en 2 lignes qu'il existe une suite $u\in E^\N$ telle que $\forall n\in \N: u(n)=f(u(n+1))$

lol bon, avec ça un gars qui commence l'ANS a de quoi faire

Concernant le 16, je ne sais pourquoi je n'y ai pas pensé tout de suite. C'est un exemple flagrant.

Par ailleurs, j'avais commencé à proposer la "galère" de tenter d'effectiviser des cas ultraparticulier de ce phénomène général dans fil en lien avec des f très très simples:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,604227,604375#msg-604375

Comme remarque se plaignait de l'indigence des arguments publicitaires de certains promoteurs de l'ANS ayant trop bachoté certaines bricoles, voici un argument publicitaire plus parlant, enfin j'espère:

l'analyse non standard est la découverte qui, entre autre, rend trivial pour quelqu'un qui sait qu'on peut toujours traverser un damier colorié n'importe comment avec DEUX couleurs en restant toujours dans la même couleur le fait que si on dessine un paysage de montagne sur un carré alors il existe un chemin qui va d'un bord au bord opposé à altitude constante.

C'est pas la moindre des choses de passer de 2 à ( IR,> ) automatiquement... Ca a de la valeur

Simplifier en deux lignes un truc de continuité qui en prend six avec des epsilons, c'est bien, mais ça ne suffit pas

Entièrement d'accord, mais je pense qu'elle ne permet loin de là pas que ça, cependant pour te le prouver faudrait vraiment fouiller le sujet et TOUS les domaines (infinitistes)

Par contre, une chose est sûre, elle ne peut rien apporter aux domaines finis (ie complètement finis).

L'axiome de standardisation n'est effectivement pas encore très utilisé par les gens et c'est le seul des trois*** qui ne puisse être qualifié d'amélioration des epsilon: là je peux le prouver.

Il existe une relation unaire sans paramètres $R(x)$ dans le langage de l'ANS qui a la propriété suivante:

pour tout énoncé clos (standard), P est vrai ssi l'entier p qui code P (par exemple avec un codage Godelien) est tel que $R(p)$

Par les godelites, ça démontre que l'ANS est "forte". En effet, la partie médiatisée et qui n'est qu'un petit bout visible de l'iceberg, à savoir le théorème de Tarski, dit que "la vérité" d'un univers lui est inaccessible de manière définissable (et de toute façon, ça n'a même plus de sens de dire qu'elle lui serait accessible autrement), mais en fait ce phénomène est bien plus profond que la partie visible de l'iceberg ne le laisse présager.

*** enfin il y a aussi les instances de l'idéalisation avec paramètres quelconques ( pas seulement standards)

18) Soit A une partie connexe (stantard) d'un evt $E$. On suppose que $\forall (x,y)\in A^2$ si $x-y$ est superproche de $0$ alors le segment $[x,y]$ est inclus dans $A$. L'ensemble $A$ est-il convexe?