Eloge du finitisme

Il y a deux choses differentes : soit ne pas considerer l'axiome de l'infini, soit prendre comme axiome son contraire. J'ignore si cette derniere theorie est fructueuse, toutefois je sais que dans ce cadre, l'axiome du choix est vrai.

Par contre, il se paut qu'alors certains resultats concernant les nombres entiers deviennent indecidables (par exemple le comportement des suites de Goodstein).

Bonjour,

J'ai vraiment un compte personnel à régler avec l'infini.

Remplacer l'axiome de l'infini par sa négation ne résout pas le problème, car alors ce n'est plus l'ensemble des entiers qui est infini, mais la collection des entiers qui l'est, et à fortiori la collection de tous les objets que l'on considère, le modèle (ou univers) de la théorie des ensembles que l'on choisit. A mon sens, une bonne façon de calmer ses angoisses métaphysique et de retrouver le sommeil, c'est de se dire que les mathématiques ne sont pas un discours sur des objets dont on se demande sans arrêt s'ils existent ou non, et si oui, où, mais le summum de la pensée hypothético-déductive : Si il existe des objets possédant telles et telles propriétés, alors ils possèdent telles et telles autres. C'était la position de Russell dans son "Principles of mathematics". Et de fait, toute démonstration étant de longueur finie, elle ne fait intervenir qu'un nombre fini d'axiomes. On peut donc réécrire tout théorème de mathématiques sous la forme
pure tautologie.

Non, cela fait longtemps que la question de l’infini en acte est close, cela fait longtemps qu’elle n’est plus une question philosophique mais qu’elle est à la place une question axiomatique.

En fait, si on refuse l’infini en acte (qui existe vraiment en mathématiques), alors on doit refuser le mouvement (et le calcul infinitésimal). C’est un point de vue moderne.

"l'infini pollue tout en mathématiques" : je ne comprends pas le sens de cette phrase.

"Et le seul mathématicien qui se soit vraiment frotté à l'infini, Georg Cantor, est tombé malade" : à ma connaissance, il n'y a aucun rapport entre ces deux faits, c'est un rapprochement sournois.

"Il faut reconnaitre l'infini pour ce qu'il est, une volonté de puissance" : à ce moment là, tout est volonté de puissance : les maths, le jogging, le camembert, etc..

Qu'est-ce que c'est que tout ce délire ?

Aleg, ça vous ennuie tant que çela que l'infini ne soit pas une notion assurée mais discutable ? mais il y a de nombreuses choses obscures dans la Science et dans les mathématiques. Listons quelques points:

1)la notion d'infini, qui, de plus est omniprésente en Analyse
2)le fait que l'on ne puisse pas définir les entiers naturels sans faire appel..aux entiers naturels
3) l'intelligence des machines

Concernant l'infini, la première fois que l'on nous en parle, ça se passe à l'école primaire,les élèves sont petits , la maitresse trace un segment de droite sur le cahier et énonce "la droite du plan est infinie". On voit qu'il s'agit d'un acte de foi.

cordialement,

Bonjour tous le monde,
pour notre cher mathelot en ce qui concerne le point 2) je ne peux que te conseiller d'aller voir du côté de la théorie des ensembles et là tu apprendra deux ou trois petit truc pas banal sur la construction des entiers naturels!
Quant à l'nfini j'ai eu un problème avec lui jusqu'à ce qu'un prof génial me fasse cette remarque:
soit un monde circulaire en deux dimensions supossons que ces habitants en se rapprochant du bord du dit cercle rétrécissent du double de la distance qui les séparent du bord! Atteindront ils le bord du cercle?
Je sais que c'est pas top comme représentation mais moi ca m'as paru tout de suite plus clair!
Plus tard avec le temps je me suis rendu compte que ca se rapprocher du paradoxe du livre et de la tortue je crois.
Bonne journée à tous!

mathelot a écrit:

dommage.

Cela veut dire qu’il faut que tu expliques.

Pour rendre mon propos moins provocateur et moins borné, il est quand même vrai qu’on aime bien que de temps en temps les résultats mathématiques suivent un peu notre intuition et aient quelques applications qui fonctionnent. Mais il ne faut pas croire que son intuition fait les mathématiques, c’est le travers dans lequel tombent beaucoup de farfelus.

mathelot Écrivait:

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> 1) la construction des entiers naturels :
> - celle de Péano : personnellement, à ce que j'en ai compris, si $\sigma$ est la fonction de succession, l'entier $n$ est défini par :
> $n=\sigma^{(n)}(0)$. on se mord la queue.

Certes $n=\sigma^{(n)}(0)$ est un raccourci saisissant permettant de faire le lien entre la notion "intuitive" des entiers et la définition axiomatique de Peano, mais {\bf ceci n'est pas} la définition des entiers (la preuve c'est que cette définition ne permet pas d'obtenir les entiers non standards).

Pour alimenter la réflexion mathématique et (ou) philosophique, une citation

"Pascal et Leibniz sont en effet allés de l'application d'une réflexion sur un art de penser, inspiré par leurs travaux mathématiques, à une réflexion globale (métaphysique, morale, anthropologique voire cosmologique selon les différents commentateurs) sur l'infini ; l'un et l'autre chercheront aussi une articulation entre la Foi, domaine de l'infini absolu que serait Dieu, et la Raison, considérant (chacun à leur manière) la visée apologétique comme la finalité ultime de l'ensemble de leurs réflexions voire de leurs vies. Mais même si Pascal et Leibniz se situent dans une continuité scientifique, ils en dériveront des conceptions métaphysiques et théologiques à la fois proches mais souvent en radicale opposition.

Au cours de tout ce cheminement, la réflexion sur les infinis apparaîtra donc au cœur : centrale pour Leibniz et Pascal, elle soulève en effet des problématiques importantes pour l'histoire de la philosophie et des idées, ainsi que pour les fondements de notre connaissance.

Il y a tout d'abord un " infini mathématique ", dont les enjeux sont essentiels. Avant les travaux de Pascal et Leibniz, l'infini est en effet source de " paradoxes " et de " mystères " pour un esprit humain conçu comme radicalement fini. Réputé résister à la connaissance , et attribut d'un " Dieu caché " (Deus Absconditus), il est objet de vénération ou d'admiration, quand il n'est pas plus concrètement source de " disputes ". En revanche, avec le calcul infinitésimal mis au point par Pascal et Leibniz est affirmée la possibilité (au moins partielle), contre Descartes notamment, pour un entendement fini, de connaître quelque chose de l'infini rationnellement, de poser des rapports entre " quantités inassignables ". De la même façon, les probabilités inventées par Pascal permettent de développer des savoirs rigoureux sur des phénomènes trop complexes à appréhender dans le détail ou imperméables à la mesure (comme les jeux de hasard ou aujourd'hui la physique quantique) : de l'infini est d'une certaine façon " enveloppé " dans les questions de probabilité. Il s'agit donc d'examiner comment le concept d'infini s'insère dans le champ mathématique, met un terme à certains paradoxes et implique une réforme dans ses méthodes et fondements. Déjà les conceptions de Pascal et Leibniz ne se confondent pas : Pascal introduit des concepts audacieux comme le " nombre infini ", témoignant de conceptions de la vérité, de la connaissance et de la finitude humaine singulièrement différentes de celles de Leibniz, qui refuse l'infini catégorématique, discret et actuel.

Mais cette réflexion déborde le cadre des mathématiques. La réforme des méthodes mathématiques affecte en effet la logique, la physique et la métaphysique, qui comprennent aussi des notions enveloppant " en quelque façon " la notion d'infini. De plus, mathématiques et méthodes ont parties liées : Pascal et Leibniz s'inscrivent dans un mouvement plus général, annonçant les Lumières, où l'on s'efforce de raisonner dans tous les domaines " à la manière des géomètres " en s'appuyant sur des démonstrations, des axiomes, des définitions et des principes logiques de raisonnement. Ainsi, de même qu'on a pu délivrer la raison de certains " labyrinthes, paradoxes ou mystères " mathématiques liés à l'infini peut-on espérer résorber en d'autres matières les impénétrables mystères, les éléments réputés " irrationnels ", voir des absolus (problème de la liberté humaine, de l'union de l'âme et de Dieu). Il s'agira donc d'examiner comment des " conclusions " qui mettent d'une certaine façon l'infini à la portée de la raison vont mettre en cause les champs physique (la nature et la matière), psychologique (l'âme), métaphysique (la substance et le monde) et enfin théologique (Dieu).

En quoi l'introduction de l'entité " infini " en mathématiques est-elle " principe de réforme " ? En quoi entraîne-t-elle une redéfinition de la question des limites à la connaissance et, en particulier du pouvoir de la raison ? Y a-t-il plusieurs ordres d'infinis dont certains continueraient à nous échapper ? Demeure-t-il de l'infini irrationnel en droit ?"

fin de citation