principe de contradiction, tiers exclu

ill-logic
ill-logic
dans Fondements et Logique
bonjour

la question est simple "quelle est la différence entre le principe de contradiction et celui du tiers exclu?"

Merci d'avance.

Réponses

  • bs
    bs
    Bonjour,

    La réponse me parait simple:

    principe de contradiction : un exemple, p et (non p) [j'ajoute: Lemberg précise que ce sont des énoncés qui n'ont que des F dans leur table de vérité, ie qui sont toujours faux, synonyme: antilogie]

    tiers exclu: p ou (non p)

    mais, à confirmer.
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour ill-logic.

    A chaque formule $P(v_1,...,v_n)$ dépendant des variables propositionnelles $(v_1,...,v_n)$ on associe sa négation $\neg P(v_1,...,v_n)$.

    Tiers exclu : pour toute assignation $(v_1,...v_n) \in \{V,F\}^n$ $P(v_1,...,v_n)$ prend la valeur de vérité $V$ ou $\neg P(v_1,...,v_n)$ prend cette valeur.

    Non contradiction : il n'existe pas d'assignation $(v_1,...v_n) \in \{V,F\}^n$, telle que $P(v_1,...,v_n)$ et $\neg P(v_1,...,v_n)$ prennent toutes deux la valeur $V$.

    Bruno
  • Bruno
    Bruno
    Bon, bs a fait plus rapide mais plus lapidaire :D.

    Bruno
  • bs
    bs
    Bruno, disons que chacun répond selon son niveau de culture en mathématiques ;)
    On n'est que tous les deux ce matin, on dirait...
    Bonne journée Bruno.
  • gb
    gb
    Principe de contradiction :
    dans les systèmes logiques en vigueur, si une théorie contient une formule de la forme $p \wedge (\neg p)$, la théorie contient toutes les formules. Il n'y a donc plus rien à faire, on passe à l'étude d'une autre théorie...


    Tiers exclu :
    si pour toute formule $p$ d'une théorie, la formule $p \vee (\neg p)$ est un axiome ou un théorème, cette théorie satisfait le tiers exclu. Certaines théories ne satisfont pas le tiers exclu...
  • Mas Oyama
    Mas Oyama
    lesquelles par exemple ?

    t-mouss
  • GERARD
    GERARD
    Les logiques intuitionnistes, premier essai historique de se dégager du principe du tiers exclu.
    Voir les travaux de Brouwer, par exemple.

    Cordialement
  • gb
    gb
    La logique intuitionniste par exemple, ne satisfait pas le tiers exclu.

    En fait, comme toujours, tout dépend des axiomes avec lesquels on travaille.

    Le "socle commun" sur lequel tout le monde est d'accord, satisfait le principe de contradiction.
    On pourrait bien évidemment construire une théorie qui ne satisfasse pas ce principe, mais il faudrait appauvrir les axiomes, ce que personne n'est prêt à faire. Ce serait un peu comme faire de la théorie des ensembles en supprimant l'axiome de la réunion...

    Par contre ce "socle commun" ne contient pas le tiers exclu. Certaines théories ne le satisfont donc pas. Celles qui le satisfont le posent comme axiome, ou posent des axiomes dont il découle. C'est comme l'axiome de l'infini ou l'axiome du choix, on peut faire des mathématiques sans cela. Tout ceci en gardant à l'esprit que, "refuser un axiome", ce n'est pas "admettre sa négation".
  • christophe c
    christophe c
    Je ne sais pas ce que tu appelles "principe de contradiction":

    Dans les versions épurées du 21e siècle (lol), le fait que P et nonP entraine tout provient du fait que nonP est une abréviation de (P==>tout) et de la règle du modus ponens.

    Le faux est par définition l'énoncé qui dit que "tout est vrai"

    et le raisonnement par l'absurde, équivalent* au tiers exclus est en fait un simple axiome (et non une règle d'inférence): non(nonP) implique P.

    Compte-tenu des abréviations: ((P==>tout)==>tout) entraine P

    *Preuve:

    Dans un sens, c'est presque "évident" et dans l'autre, il suffit de montrer non(non(P ou nonP)). Or non(P ou nonP) entraine à la fois nonP, mais aussi
    non(nonP), qui dit (nonP)==>tout. Donc non(P ou nonP) entraine tout.

    Remarque: il n'est pas possible de prouver ((P==>tout)==>tout) entraine P à l'aide d'arguments autres "acceptables", d'où la découverte de la logique intuitionniste.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    je fais un "up" parce que je viens de corriger des fautes typographiques** que j'avais faites dans le post précédent, fautes assez confusionnantes pour les novices... Aucun problème si les modérateurs jugent que ce "up" n'est pas pertinent et l'effacent...

    ** A plusieurs endroits, j'avais mis "tout" à la place de P, et je n'avais pas précisé que "le faux"="tout"="tout est vrai"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • SylowBoutLeMérouPète
    SylowBoutLeMérouPète
    Bonjour,

    J'aimerai savoir s'il y a un lien entre l'indécidabilité d'une proposition et les deux principes cités dans cette discussion...
    Une proposition est indécidable s'il existe un système consistant fondé sur elle et un tout aussi consistant fondé sur sa négation, si j'ai bien compris.
    Une telle proposition contredit-elle donc le principe de non-contradiction ?

    Enfin, n'ayant pas étudié la logique, ma seconde question pourra paraître manquer de sens ou de clarté, je m'en excuse mais je la pose quand même :
    Une théorie ne satisfaisant pas le tiers exclu possèderait-elle alors pour ses propositions un troisième "état" différent de la vérité ou de la non-vérité ?
    Ou bien une superposition d'états (je pense à certains paradoxes de physique comme par exemple le chat de Schrödinger), ou encore une abscence de détermination comme les questions de dualité...

    Merci pour vos lumières
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